專題18三角形解答題（40題）姓名：__________________班級：______________得分：_________________專題18三角形解答題（40題）一、解答題1．（2021·廣西中考真題）如圖，點D、E分別是AB、AC的中點，BE、CD相交于點O，∠B＝∠C，BD＝CE．求證：（1）OD＝OE；（2）△ABE≌△ACD．【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.【分析】(1)根據∠B=∠C，∠DOB=∠EOC，BD=CE可以用“AAS”證明△DOB≌△EOC，再由全等三角形的性質，即可得到OD=OE；(2)根據D、E分別是AB、AC的中點，可以得到AB=2BD，AC=2CE，AD=BD，AE=EC，再根據BD=CE，即可得到AB=AC，AD=AE，再由∠A=∠A即可用“SAS”證明兩個三角形全等.【詳解】解：(1)∵∠B=∠C，∠DOB=∠EOC，BD=CE∴△DOB≌△EOC（AAS）∴OD=OE；(2)∵D、E分別是AB、AC的中點∴AB=2BD，AC=2CE，AD=BD，AE=EC又∵BD=CE∴AB=AC，AD=AE∵∠A=∠A∴△ABE≌△ACD（SAS）【點睛】本題主要考查了全等三角形的性質與判定，解題的關鍵在于能夠熟練掌握相關知識進行求解.2．（2021·廣東中考真題）如圖，點E、F在線段BC上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0．【答案】見解析【分析】利用AAS證明△ABE≌△DCF，即可得到結論．【詳解】證明：∵SKIPIF1<0，∴∠B=∠C，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴△ABE≌△DCF（AAS），∴SKIPIF1<0．【點睛】此題考查全等三角形的判定及性質，熟記全等三角形的判定定理是解題的關鍵．3．（2021·廣西中考真題）如圖，在平行四邊形ABCD中，點O是對角線BD的中點，EF過點O，交AB于點E，交CD于點F．（1）求證：∠1＝∠2；（2）求證：△DOF≌△BOE．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析．【分析】（1）根據平行四邊形的性質可得AB//CD，根據平行線的性質即可得結論；（2）由（1）可知∠1=∠2，根據中點的性質可得OD=OB，利用AAS即可證明△DOF≌△BOE．【詳解】（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB//CD，∴∠1＝∠2．（2）∵點O是對角線BD的中點，∴OD=OB，在△DOF和△BOE中，SKIPIF1<0，∴△DOF≌△BOE．【點睛】本題考查平行四邊形的性質及全等三角形的判定，熟練掌握相關性質及判定定理是解題關鍵．4．（2021·湖北中考真題）某海域有一小島P，在以P為圓心，半徑r為SKIPIF1<0海里的圓形海域內有暗礁．一海監船自西向東航行，它在A處測得小島P位于北偏東SKIPIF1<0的方向上，當海監船行駛SKIPIF1<0海里后到達B處，此時觀測小島P位于B處北偏東SKIPIF1<0方向上．（1）求A，P之間的距離AP；（2）若海監船由B處繼續向東航行是否有觸礁危險？請說明理由．如果有觸礁危險，那么海監船由B處開始沿南偏東至多多少度的方向航行能安全通過這一海域？【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）海監船由B處開始沿南偏東小于SKIPIF1<0的方向航行能安全通過這一海域【分析】(1)如圖1,作SKIPIF1<0，交AB的延長線于C，利用等腰直角三角形PBC,含30°角的直角三角形APC計算即可;(2)作差比較x與r的大小，判斷有危險；以P為圓心，半徑r為SKIPIF1<0作圓，作圓的切線SKIPIF1<0計算∠PBD的大小，從而得到∠CBD的大小，從而判斷即可.【詳解】解：（1）如圖1，作SKIPIF1<0，交AB的延長線于C，由題意知：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．設SKIPIF1<0：則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，經檢驗：SKIPIF1<0是原方程的根，且符合題意，SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．因此海監船繼續向東航行有觸礁危險；設海監船無觸礁危險的新航線為射線BD，以SKIPIF1<0為圓心，SKIPIF1<0為半徑作圓，過SKIPIF1<0作圓P的切線SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點D，∴∠PDB=90°，由（1）得：SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴∠PBD=60°，∴∠CBD=15°，∴海監船由B處開始沿南偏東小于SKIPIF1<0的方向航行能安全通過這一海域．【點睛】本題考查了方位角，特殊角的三角函數值，解直角三角形，圓的切線的判定，直徑所對的圓周角是直角，熟練掌握特殊角的三角函數值，靈活解直角三角形是解題的關鍵．5．（2021·湖南中考真題）如圖，矩形SKIPIF1<0中為邊SKIPIF1<0上一點，將SKIPIF1<0沿AE翻折后，點B恰好落在對角線SKIPIF1<0的中點F上．（1）證明：SKIPIF1<0；（2）若SKIPIF1<0，求折痕SKIPIF1<0的長度【答案】（1）證明見解析；（2）SKIPIF1<0【分析】（1）由折疊的性質證明SKIPIF1<0再證明SKIPIF1<0從而可得結論；（2）利用折疊與三角形全等的性質求解SKIPIF1<0再利用SKIPIF1<0的余弦求解SKIPIF1<0即可.【詳解】解：（1）SKIPIF1<0矩形SKIPIF1<0，SKIPIF1<0由對折可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0由折疊可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0【點睛】本題考查的是矩形的性質，軸對稱的性質，三角形全等的判定與性質，銳角三角函數的應用，靈活應用以上知識解題是解題的關鍵.6．（2021·廣東中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，SKIPIF1<0，點E是AC的中點，且SKIPIF1<0（1）尺規作圖：作SKIPIF1<0的平分線AF，交CD于點F，連結EF、BF（保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）在（1）所作的圖中，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0為等邊三角形．【答案】（1）圖見解析；（2）證明見解析．【分析】（1）根據基本作圖—角平分線作法，作出SKIPIF1<0的平分線AF即可解答；（2）根據直角三角形斜邊中線性質得到SKIPIF1<0并求出SKIPIF1<0，再根據等腰三角形三線合一性質得出SKIPIF1<0，從而得到EF為中位線，進而可證SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，從而由有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形得出結論．【詳解】解：（1）如圖，AF平分SKIPIF1<0，（2）∵SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又∵AF平分SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0又∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0為等邊三角形．【點睛】本題主要考查了基本作圖和等腰三角形性質以及與三角形中點有關的兩個定理，解題關鍵是掌握等腰三角形三線合一定理、直角三角形斜邊中線等于斜邊一半以及三角形中位線定理．7．（2021·湖北中考真題）已知等邊三角形SKIPIF1<0，過A點作SKIPIF1<0的垂線l，點P為l上一動點（不與點A重合），連接SKIPIF1<0，把線段SKIPIF1<0繞點C逆時針方向旋轉SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0，連SKIPIF1<0．

（1）如圖1，直接寫出線段SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的數量關系；（2）如圖2，當點P、B在SKIPIF1<0同側且SKIPIF1<0時，求證：直線SKIPIF1<0垂直平分線段SKIPIF1<0；（3）如圖3，若等邊三角形SKIPIF1<0的邊長為4，點P、B分別位于直線SKIPIF1<0異側，且SKIPIF1<0的面積等于SKIPIF1<0，求線段SKIPIF1<0的長度．【答案】（1）AP=BQ；（2）見詳解；（3）SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【分析】（1）根據旋轉的性質以及等邊三角形的性質，可得CP=CQ，∠ACP=∠BCQ，AC=BC，進而即可得到結論；（2）先證明SKIPIF1<0是等腰直角三角形，再求出∠CBD=45°，根據等腰三角形三線合一的性質，即可得到結論；（3）過點B作BE⊥l，過點Q作QF⊥l，根據SKIPIF1<0，可得AP=BQ，∠CAP=∠CBQ=90°，設AP=x，則BQ=x，MQ=x-SKIPIF1<0，QF=(x-SKIPIF1<0)×SKIPIF1<0，再列出關于x的方程，即可求解．【詳解】（1）證明：∵線段SKIPIF1<0繞點C逆時針方向旋轉SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0，∴CP=CQ，∠PCQ=60°，∵在等邊三角形SKIPIF1<0中，∠ACB=60°，AC=BC，∴∠ACP=∠BCQ，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0=SKIPIF1<0；（2）∵SKIPIF1<0，CA⊥l，∴SKIPIF1<0是等腰直角三角形，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0是等腰直角三角形，∠CBQ=90°，∵在等邊三角形SKIPIF1<0中，AC=AB，∠BAC=∠ABC=60°，∴AB=AP，∠BAP=90°-60°=30°，∴∠ABP=∠APB=(180°-30°)÷2=75°，∴∠CBD=180°-75°-60°=45°，∴PD平分∠CBQ，∴直線SKIPIF1<0垂直平分線段SKIPIF1<0；（3）①當點Q在直線上方時，如圖所示，延長BQ交l與點E，過點Q作SKIPIF1<0與點F，由題意得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，即AP的長度為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；②當點Q在直線l下方時，過點B作BE⊥l，過點Q作QF⊥l，由（1）小題，可知：SKIPIF1<0，∴AP=BQ，∠CAP=∠CBQ=90°，∵∠ACB=60°，∠CAM=90°，∴∠AMB=360°-60°-90°-90°=120°，即：∠BME=∠QMF=60°，∵∠BAE=90°-60°=30°，AB=4，∴BE=SKIPIF1<0，∴BM=BE÷sin60°=2÷SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，設AP=x，則BQ=x，MQ=x-SKIPIF1<0，QF=MQ×sin60°=(x-SKIPIF1<0)×SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0的面積等于SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0AP×QF=SKIPIF1<0，即：SKIPIF1<0x×(x-SKIPIF1<0)×SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（不合題意，舍去），∴AP=SKIPIF1<0．綜上所述，AP的長為：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．

【點睛】本題主要考查等邊三角形的性質，旋轉的性質，全等三角形的判定和性質，解直角三角形，根據題意畫出圖形，添加輔助線，構造直角三角形，是解題的關鍵．8．（2021·江蘇）（1）如圖①，O為AB的中點，直線l1、l2分別經過點O、B，且l1∥l2，以點O為圓心，OA長為半徑畫弧交直線l2于點C，連接AC．求證：直線l1垂直平分AC；（2）如圖②，平面內直線l1∥l2∥l3∥l4，且相鄰兩直線間距離相等，點P、Q分別在直線l1、l4上，連接PQ．用圓規和無刻度的直尺在直線l4上求作一點D，使線段PD最短．（兩種工具分別只限使用一次，并保留作圖痕跡）【答案】（1）見解析；（2）見解析.【分析】（1）利用平行線等分線段定理證明直線l1平分AC；利用直角三角形的判定證明直線l1垂直AC；（2）以l2與PQ的交點O為圓心，OP長為半徑畫弧交直線l3于點C，連接PC并延長交直線l4于點D，此時線段PD最短，點D即為所求．【詳解】（1）解：如圖①，連接OC，∵OB=OA，l1∥l2，∴直線l1平分AC，由作圖可知：OB=OA=OC，∴∠ACB=90°，∴l2垂直AC，∵l1∥l2，∴l1垂直AC，即直線l1垂直平分AC．（2）如圖②，以l2與PQ的交點O為圓心，OP長為半徑畫弧交直線l3于點C，連接PC并延長交直線l4于點D，此時線段PD最短，點D即為所求．【點睛】本題主要考查了直角三角形的判定，如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形，與考查了尺規作圖．9．（2021·湖南中考真題）如圖，在SKIPIF1<0中，點SKIPIF1<0在SKIPIF1<0邊上，SKIPIF1<0，將邊SKIPIF1<0繞點SKIPIF1<0旋轉到SKIPIF1<0的位置，使得SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交于點SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求證：SKIPIF1<0；（2）求SKIPIF1<0的度數．【答案】（1）見詳解；（2）SKIPIF1<0【分析】（1）由題意易得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，然后問題可求證；（2）由（1）可得SKIPIF1<0，然后可得SKIPIF1<0，進而根據三角形外角的性質可進行求解．【詳解】（1）證明：∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（2）解：∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴根據三角形內角和可得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，由（1）可得SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．【點睛】本題主要考查等腰三角形的性質及全等三角形的性質與判定，熟練掌握等腰三角形的性質及全等三角形的性質與判定是解題的關鍵．10．（2021·江蘇中考真題）如圖，將一張長方形紙片SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0折疊，使SKIPIF1<0兩點重合．點SKIPIF1<0落在點SKIPIF1<0處．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求證：SKIPIF1<0是等腰三角形；（2）求線段SKIPIF1<0的長．【答案】（1）見解析；（2）3【分析】（1）根據矩形的性質可得SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0,因為折疊，SKIPIF1<0，即可得證；（2）設SKIPIF1<0用含SKIPIF1<0的代數式表示SKIPIF1<0，由折疊，SKIPIF1<0，再用勾股定理求解即可【詳解】（1）SKIPIF1<0四邊形SKIPIF1<0是矩形SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0因為折疊，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0是等腰三角形（2）SKIPIF1<0四邊形SKIPIF1<0是矩形SKIPIF1<0,SKIPIF1<0設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0因為折疊，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中SKIPIF1<0即SKIPIF1<0解得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0【點睛】本題考查了矩形的性質，等腰三角形的判定定理，圖像的折疊，勾股定理，熟悉以上知識點是解題的關鍵．11．（2021·貴州中考真題）在四邊形ABCD中，對角線AC平分∠BAD．

（探究發現）（1）如圖①，若∠BAD＝SKIPIF1<0，∠ABC＝∠ADC＝SKIPIF1<0．求證：AD＋AB＝AC；（拓展遷移）（2）如圖②，若∠BAD＝SKIPIF1<0，∠ABC＋∠ADC＝SKIPIF1<0．①猜想AB、AD、AC三條線段的數量關系，并說明理由；②若AC＝10，求四邊形ABCD的面積．【答案】（1）見解析；（2）①AD＋AB＝AC，見解析；②SKIPIF1<0【分析】（1）根據角平分線的性質得到∠DAC＝∠BAC＝SKIPIF1<0，然后根據直角三角形中SKIPIF1<0是斜邊的一半即可寫出數量關系；（2）①根據第一問中的思路，過點C分別作CE⊥AD于E，CF⊥AB于F，構造SKIPIF1<0證明△CFBSKIPIF1<0△CED，根據全等的性質得到FB＝DE，結合第一問結論即可寫出數量關系；②根據題意應用SKIPIF1<0的正弦值求得SKIPIF1<0的長，然后根據SKIPIF1<0的數量關系即可求解四邊形ABCD的面積．【詳解】（1）證明：∵AC平分∠BAD，∠BAD＝SKIPIF1<0，∴∠DAC＝∠BAC＝SKIPIF1<0，∵∠ADC＝∠ABC＝SKIPIF1<0，∴∠ACD＝∠ACB＝SKIPIF1<0，∴AD＝SKIPIF1<0．∴AD＋AB＝AC，（2）①AD＋AB＝AC，理由：過點C分別作CE⊥AD于E，CF⊥AB于F．，∵AC平分∠BAD，∴CF＝CE，∵∠ABC＋∠ADC＝SKIPIF1<0，∠EDC＋∠ADC＝SKIPIF1<0，∴∠FBC＝∠EDC，又∠CFB＝∠CED＝SKIPIF1<0，∴△CFBSKIPIF1<0△CEDSKIPIF1<0，∴FB＝DE，∴AD＋AB＝AD＋FB＋AF＝AD＋DE＋AF＝AE＋AF，在四邊形AFCE中，由⑴題知：AE＋AF＝AC，∴AD＋AB＝AC；②在Rt△ACE中，∵AC平分∠BAD，∠BAD＝SKIPIF1<0∴∠DAC＝∠BAC＝SKIPIF1<0，又∵AC＝10，∴CE＝ASKIPIF1<0，∵CF＝CE，AD＋AB＝AC，∴SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質，角平分線的性質和應用，解直角三角形，關鍵是辨認出本題屬于角平分線類題型，作垂直類輔助線．12．（2021·吉林中考真題）圖①、圖2均是SKIPIF1<0的正方形網格，每個小正方形的頂點稱為格點，小正方形的邊長為1，點SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0均在格點上，在給定的網格中按要求畫圖，所畫圖形的頂點均在格點上．（1）在圖①中，以點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為頂點畫一個等腰三角形；（2）在圖②中，以點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為頂點畫一個面積為3的平行四邊形．【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）根據等腰三角形的定義畫出圖形即可：如以SKIPIF1<0為頂點，SKIPIF1<0為底邊，即可做出等腰三角形；（2）作底為1，高為3的平行四邊形即可．【詳解】解：（1）如圖①中，此時以SKIPIF1<0為頂點，SKIPIF1<0為底邊，該SKIPIF1<0即為所求（答案不唯一）．（2）如圖②中，此時底SKIPIF1<0，高SKIPIF1<0，因此四邊形SKIPIF1<0即為所求．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質和平行四邊形的性質，解題的關鍵掌握等腰三角形和平行四邊形的基本性質．13．（2021·山東中考真題）如圖，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0的平分線交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0；交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0．（1）求證：SKIPIF1<0；（2）若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的度數．【答案】（1）見詳解；（2）SKIPIF1<0【分析】（1）由題意易得SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，然后問題可求證；（2）由題意易得SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，然后由（1）可求解．【詳解】（1）證明：∵BD平分SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（2）解：∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，由（1）可得SKIPIF1<0．【點睛】本題主要考查等腰三角形的判定、角平分線的定義及平行線的性質，熟練掌握等腰三角形的判定、角平分線的定義及平行線的性質是解題的關鍵．14．（2021·內蒙古中考真題）如圖，在山坡SKIPIF1<0的坡腳A處豎有一根電線桿SKIPIF1<0（即SKIPIF1<0），為固定電線桿，在地面C處和坡面D處各裝一根引拉線SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，它們的長度相等．測得SKIPIF1<0米，SKIPIF1<0，求點D到SKIPIF1<0的距離．【答案】SKIPIF1<0【分析】作DE⊥AB于E，BF⊥AP于F，利用三角函數及勾股定理求出AD的長，再利用三角函數求出答案即可．【詳解】如圖：作DE⊥AB于E，BF⊥AP于F，在Rt△ABC中，SKIPIF1<0，AC=6，∴AB=8，∴SKIPIF1<0，在Rt△ABF中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在Rt△ADE中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∴點D到SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0米．．【點睛】此題考查解直角三角形的實際應用，勾股定理的計算，正確理解題意引出輔助線構建直角三角形是解題的關鍵．15．（2021·吉林中考真題）如圖①，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是斜邊SKIPIF1<0上的中線，點SKIPIF1<0為射線SKIPIF1<0上一點，將SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0折疊，點SKIPIF1<0的對應點為點SKIPIF1<0．（1）若SKIPIF1<0．直接寫出SKIPIF1<0的長（用含SKIPIF1<0的代數式表示）；（2）若SKIPIF1<0，垂足為SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0與點SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0的異側，連接SKIPIF1<0，如圖②，判斷四邊形SKIPIF1<0的形狀，并說明理由；（3）若SKIPIF1<0，直接寫出SKIPIF1<0的度數．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）菱形，見解析；（3）SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【分析】（1）根據“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”得SKIPIF1<0；（2）由題意可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由“直角三角形中SKIPIF1<0角所對的直角邊等于斜邊的一半”，得SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，則四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形，再由折疊得SKIPIF1<0，于是判斷四邊形SKIPIF1<0是菱形；（3）題中條件是“點SKIPIF1<0是射線SKIPIF1<0上一點”，因此SKIPIF1<0又分兩種情況，即點SKIPIF1<0與點SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0的異側或同側，正確地畫出圖形即可求出結果．【詳解】解：（1）如圖①，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0是斜邊SKIPIF1<0上的中線，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．（2）四邊形SKIPIF1<0是菱形．理由如下：如圖②∵SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；由折疊得，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形；∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴四邊形SKIPIF1<0是菱形．（3）如圖③，點SKIPIF1<0與點SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0異側，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；由折疊得，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；如圖④，點SKIPIF1<0與點SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0同側，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，由折疊得，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．綜上所述，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．【點睛】此題主要考查了直角三角形的性質、軸對稱的性質、平行四邊形及特殊平行四邊形的判定等知識與方法，在解第（3）題時，應進行分類討論，解題的關鍵是準確地畫出圖形，以免丟解．16．（2021·內蒙古中考真題）如圖，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的角平分線，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，垂足分別是E、F，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相交千點H．（1）求證：SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0滿足什么條件時，四邊形SKIPIF1<0是正方形？說明理由．【答案】（1）見解析；（2）SKIPIF1<0滿足∠BAC=90°時，四邊形SKIPIF1<0是正方形，理由見解析【分析】（1）根據角平分線的的性質定理證得DE=DF，再根據HL定理證明△AED≌△AFD，則有AE=AF，利用等腰三角形的三線合一性質即可證得結論；（2）只需證得四邊形AEDF是矩形即可，【詳解】解：（1）∵SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的角平分線，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴DE=DF，∠AED=∠AFD=90°，又∵AD=AD，∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），∴AE=AF，又SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的角平分線，∴AD⊥EF；（2）SKIPIF1<0滿足∠BAC=90°時，四邊形SKIPIF1<0是正方形，理由：∵∠AED=∠AFD=90°，∠BAC=90°，∴四邊形AEDF是矩形，又∵AE=AF，∴四邊形AEDF是正方形．【點睛】本題考查角平分線的性質、全等三角形的判定與性質、等腰三角形的三線合一性質、矩形的判定、正方形的判定，熟練掌握相關知識間的聯系和運用是解答的關鍵．17．（2021·遼寧中考真題）如圖，點A，D，B，E在一條直線上SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．求證：SKIPIF1<0．【答案】見詳解【分析】由題意易得SKIPIF1<0，進而易證SKIPIF1<0，然后問題可求證．【詳解】證明：∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．【點睛】本題主要考查全等三角形的性質與判定，熟練掌握全等三角形的性質與判定是解題的關鍵．18．（2021·遼寧中考真題）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）找出與SKIPIF1<0相等的角并證明；（2）求證：SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0．【答案】（1）SKIPIF1<0（2）見解析（3）SKIPIF1<0【分析】（1）根據三角形外角的性質直接求解即可；（2）在BF上截取BP，使AE=BP，即可證明SKIPIF1<0，進一步證明SKIPIF1<0和SKIPIF1<0均為等腰三角形且頂角相等，即可證明SKIPIF1<0；（3）由（2）可得SKIPIF1<0，即可得SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，根據SKIPIF1<0，可求得SKIPIF1<0，即可證明SKIPIF1<0，列比例求出SKIPIF1<0，代入以上數據即可求得SKIPIF1<0的值．【詳解】（1）根據題意可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）如圖，在BF上截取BP，使AE=BP，由（1）得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0均為等腰三角形，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0和SKIPIF1<0為頂角相等的等腰三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0；（3）又（1）可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由此得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．【點睛】本題主要考查三角形綜合，涉及到的知識點有，等腰三角形判定與性質，全等三角形的判定與性質，三角形內角和定理，相似三角形的判定與性質，根據題意用含字母的式子表示出AE和MF的值是解題關鍵．19．（2021·內蒙古中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，且AC=AD．（1）作∠BAC的平分線，交BC于點E；(要求尺規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡)（2）在（1）的條件下，連接DE，證明SKIPIF1<0．【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）首先以A為圓心，小于AC長為半徑畫弧，交AC、AB于N、M，再分別以N、M為圓心，大于SKIPIF1<0MN長為半徑畫弧，兩弧交于點Q，再畫射線AQ交CB于E；（2）依據SKIPIF1<0證明SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0，進一步可得結論．【詳解】解：（1）如圖，SKIPIF1<0為所作SKIPIF1<0的平分線；（2）證明：如圖．連接DE，由(1)知：SKIPIF1<0在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0又∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0【點睛】此題主要考查了基本作圖，以及全等三角形的判定和性質，關鍵是得到SKIPIF1<0．20．（2021·廣西中考真題）已知在SKIPIF1<0ABC中，O為BC邊的中點，連接AO，將SKIPIF1<0AOC繞點O順時針方向旋轉（旋轉角為鈍角），得到SKIPIF1<0EOF，連接AE，CF．（1）如圖1，當∠BAC＝90°且AB＝AC時，則AE與CF滿足的數量關系是；（2）如圖2，當∠BAC＝90°且AB≠AC時，（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由；（3）如圖3，延長AO到點D，使OD＝OA，連接DE，當AO＝CF＝5，BC＝6時，求DE的長．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）成立，證明見解析；（3）SKIPIF1<0【分析】（1）結論SKIPIF1<0．證明SKIPIF1<0，可得結論．（2）結論成立．證明方法類似（1）．（3）首先證明SKIPIF1<0，再利用相似三角形的性質求出SKIPIF1<0，利用勾股定理求出SKIPIF1<0即可．【詳解】解：（1）結論：SKIPIF1<0．理由：如圖1中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（2）結論成立．理由：如圖2中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（3）如圖3中，由旋轉的性質可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．【點睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了旋轉變換，全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質，勾股定理等知識，解題的關鍵是正確尋找全等三角形或相似三角形解決問題，屬于中考壓軸題．21．（2021·廣西中考真題）尺規作圖（只保留作圖痕跡，不要求寫出作法），如圖，已知SKIPIF1<0ABC，且AB＞AC．（1）在AB邊上求作點D，使DB＝DC；（2）在AC邊上求作點E，使SKIPIF1<0ADE∽SKIPIF1<0ACB．【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）作線段SKIPIF1<0的垂直平分線交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0即可．（2）作SKIPIF1<0，射線SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0即為所求．【詳解】解：（1）如圖，點SKIPIF1<0即為所求．（2）如圖，點SKIPIF1<0即為所求．【點睛】本題考查作圖SKIPIF1<0相似變換，線段的垂直平分線的性質等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．22．（2021·江蘇中考真題）如圖，B、F、C、E是直線l上的四點，SKIPIF1<0．（1）求證：SKIPIF1<0；（2）將SKIPIF1<0沿直線l翻折得到SKIPIF1<0．①用直尺和圓規在圖中作出SKIPIF1<0（保留作圖痕跡，不要求寫作法）；②連接SKIPIF1<0，則直線SKIPIF1<0與l的位置關系是__________．【答案】（1）見詳解；（2）①見詳解；②平行【分析】（1）根據“SAS”即可證明SKIPIF1<0；（2）①以點B為圓心，BA為半徑畫弧，以點C為圓心，CA為半徑畫畫弧，兩個弧交于SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0B，SKIPIF1<0C，即可；②過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0M⊥l，過點D作DN⊥l，則SKIPIF1<0M∥DN，且SKIPIF1<0M=DN，證明四邊形SKIPIF1<0MND是平行四邊形，即可得到結論．【詳解】（1）證明：∵SKIPIF1<0，∴BC=EF，∵SKIPIF1<0，∴∠ABC=∠DEF，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（2）①如圖所示，SKIPIF1<0即為所求；②SKIPIF1<0∥l，理由如下：∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0關于直線l對稱，∴SKIPIF1<0，過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0M⊥l，過點D作DN⊥l，則SKIPIF1<0M∥DN，且SKIPIF1<0M=DN，∴四邊形SKIPIF1<0MND是平行四邊形，∴SKIPIF1<0∥l，故答案是：平行．【點睛】本題主要考查全等三角形的判定和性質，平行四邊形的判定和性質，添加輔助線，構造平行四邊形是解題的關鍵．23．（2021·湖北中考真題）如圖，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的邊SKIPIF1<0上一點，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0點，SKIPIF1<0．（1）求證：SKIPIF1<0≌SKIPIF1<0；（2）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的長．【答案】（1）證明見詳解；（2）1．【分析】（1）根據SKIPIF1<0證明即可；（2）根據（1）可得SKIPIF1<0，即由SKIPIF1<0，根據SKIPIF1<0求解即可．【詳解】（1）證明：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0SKIPIF1<0；（2）由（1）得SKIPIF1<0SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0．【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質、平行線的性質等知識，熟練掌握基本知識是解題的關鍵．24．（2021·貴州中考真題）如圖，在矩形SKIPIF1<0中，點SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，垂足為SKIPIF1<0．（1）求證：SKIPIF1<0；（2）若SKIPIF1<0，求四邊形SKIPIF1<0的面積．【答案】（1）見詳解；（2）4SKIPIF1<0-8【分析】（1）由矩形的性質可得∠D=90°，AB∥CD，從而得∠D=∠ANB，∠BAN=∠AMD，進而即可得到結論；（2）由SKIPIF1<0以及勾股定理得AN=DM=4，AB=SKIPIF1<0，進而即可求解．【詳解】（1）證明：∵在矩形SKIPIF1<0中，∴∠D=90°，AB∥CD，∴∠BAN=∠AMD，∵SKIPIF1<0，∴∠ANB=90°，即：∠D=∠ANB，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0（AAS），（2）∵SKIPIF1<0，∴AN=DM=4，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴AB=SKIPIF1<0，∴矩形SKIPIF1<0的面積=SKIPIF1<0×2=4SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴四邊形SKIPIF1<0的面積=4SKIPIF1<0-4-4=4SKIPIF1<0-8．【點睛】本題主要考查矩形的性質，勾股定理，全等三角形的判定和性質，熟練掌握AAS證明三角形全等，是解題的關鍵．25．（2021·吉林中考真題）圖①、圖②、圖③均是SKIPIF1<0的正方形網格，每個小正方形的邊長均為1．每個小正方形的頂點稱為格點，點A、B、C均為格點，只用無刻度的直尺，分別在給定的網格中找一格點M，按下列要求作圖：（1）在圖①中，連結MA、MB，使SKIPIF1<0．（2）在圖②中，連結MA、MB、MC，使SKIPIF1<0．（3）在圖③中，連結MA、MC，使SKIPIF1<0．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析【分析】（1）由勾股定理可求得AM=BM=SKIPIF1<0，即可得點M的位置；（2）由勾股定理可求得AB=BC=SKIPIF1<0，AC=SKIPIF1<0，即可得SKIPIF1<0，再由勾股定理的逆定理可判定△ABC為等腰直角三角形，點M即為斜邊AC的中點，由此可得點M的位置；（3）作出AB、AC的垂直平分線，交點即為M，M即為△ABC外接圓的圓心，連接AM，CM，根據圓周角定理可得SKIPIF1<0，由此即可確定點M的位置．【詳解】（1）如圖①所示，點M即為所求．（2）如圖②所示，點M即為所求．（3）如圖③所示，點M即為所求．【點睛】本題考查了基本作圖，解決第（3）題時，確定△ABC外接圓的圓心是解決問題的關鍵．26．（2021·湖北中考真題）已知SKIPIF1<0和SKIPIF1<0都為正三角形，點B，C，D在同一直線上，請僅用無刻度的直尺完成下列作圖，不寫作法，保留作圖痕跡．

（1）如圖1，當SKIPIF1<0時，作SKIPIF1<0的中線SKIPIF1<0；（2）如圖2，當SKIPIF1<0時，作SKIPIF1<0的中線SKIPIF1<0．【答案】（1）圖見解析；（2）圖見解析．【分析】（1）連接SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0即可；（2）先延長SKIPIF1<0，相交于點SKIPIF1<0，再連接SKIPIF1<0，相交于點SKIPIF1<0，然后連接SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0即可．【詳解】解：（1）如圖，連接SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0即為所求．

（2）分以下三步：①延長SKIPIF1<0，相交于點SKIPIF1<0，②連接SKIPIF1<0，相交于點SKIPIF1<0，③連接SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0即為所求．

【點睛】本題考查了利用等邊三角形的性質作圖、利用線段垂直平分線的判定與性質作圖等知識點，熟練掌握等邊三角形的性質是解題關鍵．27．（2021·黑龍江中考真題）（1）如圖，已知SKIPIF1<0為邊SKIPIF1<0上一點，請用尺規作圖的方法在邊SKIPIF1<0上求作一點SKIPIF1<0．使SKIPIF1<0．（保留作圖痕跡，不寫作法）（2）在上圖中，如果SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的周長是_______SKIPIF1<0．【答案】（1）見解析；（2）9．【分析】（1）直接根據垂直平分線-尺規作圖方法作圖即可；（2）根據（1）中可知SKIPIF1<0，即可求得SKIPIF1<0的周長．【詳解】（1）作法：