第第頁人教A版（2023）必修第一冊(cè)《4.5函數(shù)的應(yīng)用（二）》提升訓(xùn)練(含解析)人教A版（2023）必修第一冊(cè)《4.5函數(shù)的應(yīng)用（二）》提升訓(xùn)練

一、單選題（本大題共8小題，共40分）

1.（5分）已知函數(shù)，，若關(guān)于的方程恰有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，則的取值范圍是

A.B.

C.D.

2.（5分）設(shè)函數(shù)，若，，則關(guān)于的方程的根的個(gè)數(shù)為

A.B.C.D.

3.（5分）下面是函數(shù)在區(qū)間上的一些點(diǎn)的函數(shù)值

由此可判斷：方程在解的個(gè)數(shù)

A.至少個(gè)B.個(gè)C.至多個(gè)D.個(gè)

4.（5分）記表示，，中的最大者，設(shè)函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是

A.B.

C.D.

5.（5分）已知函數(shù)，若存在唯一的零點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是

A.B.

C.D.

6.（5分）已知是上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上的所有零點(diǎn)之和為

A.B.C.D.

7.（5分）已知函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)為，，且，則

A.B.

C.D.

8.（5分）已知函數(shù)，若方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，，，且，則的取值范圍是

A.B.

C.D.

二、多選題（本大題共5小題，共25分）

9.（5分）設(shè)、均為實(shí)數(shù)，關(guān)于的方程在復(fù)數(shù)集上給出下列結(jié)論，正確的是

A.存在、，使得該方程僅有個(gè)共軛虛根

B.存在、，使得該方程有個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根

C.存在、，使得該方程有個(gè)互不相等的根

D.存在、，使得該方程最多有個(gè)互不相等的根

10.（5分）函數(shù)的零點(diǎn)與的零點(diǎn)之差的絕對(duì)值不超過，則可以是

A.B.

C.D.

11.（5分）函數(shù)如果的零點(diǎn)從左到右分別是，，，…，下列結(jié)論正確的是

A.的取值范圍是

B.時(shí)，

C.當(dāng)最大時(shí)，

D.當(dāng)最小時(shí)，

12.（5分）下列函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)的是

A.B.

C.D.

13.（5分）設(shè)函數(shù)，若有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值可以是

A.B.C.D.

三、填空題（本大題共5小題，共25分）

14.（5分）關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______．

15.（5分）已知函數(shù)若存在使得函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________.

16.（5分）已知函數(shù)若函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________．

17.（5分）某縣目前人口萬人，經(jīng)過年后為萬人，若人口年增長(zhǎng)率是，則關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式是__________.

18.（5分）已知關(guān)于的方程有兩個(gè)正實(shí)根，則的取值范圍是________.

四、解答題（本大題共5小題，共60分）

19.（12分）根據(jù)條件求解下列問題

函數(shù)，若，求；

求函數(shù)的值域：．

20.（12分）已知函數(shù)．

作出函數(shù)的圖象；

寫出的單調(diào)增區(qū)間；

判斷關(guān)于的方程的解的個(gè)數(shù)．

21.（12分）在本題中，我們把具有如下性質(zhì)的函數(shù)叫做在區(qū)間上的閉函數(shù)：①的定義域和值域都是；②在上是增函數(shù)或者減函數(shù).

若在區(qū)間上是閉函數(shù)，求常數(shù)的值；

找出所有形如的函數(shù)、都是常數(shù)，使其在區(qū)間上是閉函數(shù).

22.（12分）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過原點(diǎn)，函數(shù)是偶函數(shù)，方程有兩相等實(shí)根．

求的解析式；

若對(duì)任意，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

若函數(shù)與的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

23.（12分）已知函數(shù)，當(dāng)方程有個(gè)根時(shí)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

答案和解析

1.【答案】A;

【解析】解：設(shè)，

作出函數(shù)和的圖象如圖，

則是的圖象沿著上下平移得到，

由圖象知要使方程恰有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，

則等價(jià)為與的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，

則滿足，

即，

即，

即實(shí)數(shù)的取值范圍是

故選：

設(shè)，則是的圖象沿著上下平移得到，作出函數(shù)與的圖象，利用圖象關(guān)系確定兩個(gè)函數(shù)滿足的條件進(jìn)行求解即可．

此題主要考查分段函數(shù)的應(yīng)用，利用函數(shù)圖象平移關(guān)系以及數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，屬于難題．

2.【答案】B;

【解析】解：，，

在上的對(duì)稱軸為，最小值為，

，解得，．

，

作出的函數(shù)圖象如圖所示：

由圖象可知與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，

方程有兩解．

故選B．

求出的解析式，作出與的函數(shù)圖象，根據(jù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷．

該題考查了方程解與函數(shù)圖象的關(guān)系，屬于中檔題．

3.【答案】A;

【解析】

這道題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系和用二分法求方程的近似解，利用函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理是解決本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．

利用表格中的函數(shù)值，即可確定方程的近似解．

解：由所給的函數(shù)值的表格可以看出，

在與這兩個(gè)數(shù)字對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的符號(hào)不同，

即，

函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)在上，

同理：函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)在上，

函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)在上，

函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)在上，

函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)在上，

故方程在解的個(gè)數(shù)至少有個(gè)．

故選：．

4.【答案】D;

【解析】解：函數(shù)的圖象如圖，

直線與曲線交點(diǎn)，，，，

故時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍是或．

故選：．

畫出函數(shù)的圖象，利用不等式，結(jié)合函數(shù)的圖象求解即可．

該題考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合求解變量的范圍，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．

5.【答案】D;

【解析】解：，

，；

當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)，不成立；

當(dāng)時(shí)，在上有零點(diǎn)，故不成立；

當(dāng)時(shí)，在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)；

故在上沒有零點(diǎn)；

而當(dāng)時(shí)，在上取得最小值；

故；

故；

綜上所述，

實(shí)數(shù)的取值范圍是；

故選：．

由題意可得，；分類討論確定函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)及位置即可．

該題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及分類討論的思想應(yīng)用，同時(shí)考查了函數(shù)的零點(diǎn)的判定的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．

6.【答案】B;

【解析】解：函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，

．

又函數(shù)，

，

函數(shù)是偶函數(shù)，

函數(shù)的零點(diǎn)都是以相反數(shù)的形式成對(duì)出現(xiàn)的．

函數(shù)在上所有的零點(diǎn)的和為，

函數(shù)在上所有的零點(diǎn)的和，即函數(shù)在上所有的零點(diǎn)之和．

由時(shí)，，故有，

函數(shù)在上的值域?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，．

又當(dāng)時(shí)，，

函數(shù)在上的值域?yàn)椋?/p>

函數(shù)在上的值域?yàn)椋?/p>

函數(shù)在上的值域?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，

函數(shù)在上的值域?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，

故在上恒成立，在上無零點(diǎn)，

同理在上無零點(diǎn)，

依此類推，函數(shù)在無零點(diǎn)．

綜上函數(shù)在上的所有零點(diǎn)之和為，

故選B．

由已知可分析出函數(shù)是偶函數(shù)，則其零點(diǎn)必然關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故在上所有的零點(diǎn)的和為，則函數(shù)在上所有的零點(diǎn)的和，即函數(shù)在上所有的零點(diǎn)之和，求出上所有零點(diǎn)，可得答案．

該題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的零點(diǎn)，函數(shù)的圖象和性質(zhì)，其中在尋找上零點(diǎn)個(gè)數(shù)時(shí)，難度較大，故可以用歸納猜想的方法進(jìn)行處理．

7.【答案】D;

【解析】解：函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)即函數(shù)，兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，

作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，如圖，由圖不難發(fā)現(xiàn)：，

，，排除、，

下面證明：，由圖可知，，又，，

，又，

，即，

故選：．

轉(zhuǎn)化函數(shù)的零點(diǎn)為兩個(gè)函數(shù)的圖象的交點(diǎn)，通過數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化判斷即可．

該題考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合以及計(jì)算能力．

8.【答案】B;

【解析】

此題主要考查根的存在性與根的個(gè)數(shù)判斷，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法與數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，屬于中檔題．

解：作出函數(shù)，的圖象如圖：

設(shè)直線與相切于，則，

曲線在切點(diǎn)處的切線方程為，

把原點(diǎn)代入可得：，得

要使直線與交于三個(gè)不同的點(diǎn)，則，則的取值范圍是，

故選

9.【答案】ABD;

【解析】解：對(duì)于，令，為正實(shí)數(shù)，則該方程僅有個(gè)共軛的虛根，正確；

對(duì)于，若為實(shí)數(shù)，則方程可看做，只需保證有個(gè)不同的正解即可，如，，此時(shí)方程有個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根，正確；

對(duì)于，若為虛數(shù)，設(shè)，則原方程等價(jià)于，則，

又為虛數(shù)，故，則有，即，即最多有個(gè)根，所以方程最多有個(gè)根，只需，

如，，方程有，，，四個(gè)實(shí)根，有兩個(gè)虛根；

故選：

令，為正實(shí)數(shù)，容易判斷正確；，，此時(shí)方程有個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根，則正確；對(duì)于，，，方程有，，，四個(gè)實(shí)根，有兩個(gè)虛根，由此錯(cuò)誤正確．

此題主要考查函數(shù)零點(diǎn)與方程根的關(guān)系以及復(fù)數(shù)相關(guān)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．

10.【答案】BD;

【解析】

此題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，屬于一般題.

判斷出的零點(diǎn)范圍，與選項(xiàng)逐一比對(duì)即可.

解：由題意，的零點(diǎn)，

計(jì)算可知，，

，，

所以的零點(diǎn)在內(nèi)，

而的零點(diǎn)為，零點(diǎn)之差的絕對(duì)值超過，不符合，

的零點(diǎn)為，零點(diǎn)之差的絕對(duì)值不超過，符合，

的零點(diǎn)為，零點(diǎn)之差的絕對(duì)值超過，不符合，

的零點(diǎn)為，零點(diǎn)之差的絕對(duì)值不超過，符合，

故選

11.【答案】ABC;

【解析】

此題主要考查函數(shù)零點(diǎn)及函數(shù)圖像，考查利用分段函數(shù)作出函數(shù)圖像，考查推導(dǎo)能力，屬于難題.

作出函數(shù)圖像，利用函數(shù)與方程思想分析即可.

解：函數(shù)圖像如圖所示：

由可知，最多有個(gè)交點(diǎn)，但不可能有個(gè)零點(diǎn)，故錯(cuò)誤；

在，由二次函數(shù)分析易得，該函數(shù)圖像關(guān)于，對(duì)稱，故錯(cuò)誤；

當(dāng)取最大時(shí)，，

即

，

又，故錯(cuò)誤；

當(dāng)最小時(shí)，，此時(shí)，由于此時(shí)，，故，故正確.

故選

12.【答案】BD;

【解析】解：對(duì)于選項(xiàng)A，函數(shù)與的圖象相切于點(diǎn)，

因此只有一個(gè)零點(diǎn)；

對(duì)于選項(xiàng)B，畫出和的圖象，

可知它們有兩個(gè)交點(diǎn)；

對(duì)于選項(xiàng)C，，

在上單調(diào)遞增，則在上最多只有一個(gè)零點(diǎn)；

對(duì)于選項(xiàng)D，，在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，

，

又當(dāng)時(shí)，，，則有兩個(gè)零點(diǎn)．

故選：．

畫圖判定與；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性判斷；利用導(dǎo)數(shù)求最值，判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)判斷．

此題主要考查函數(shù)零點(diǎn)的判定，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，是中檔題．

13.【答案】AB;

【解析】解：作出函數(shù)，圖象如下：

又有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，

所以函數(shù)，與直線有三個(gè)交點(diǎn)，

由圖象可得：

故選：

先作出函數(shù)的圖象，有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，化為函數(shù)，與直線有三個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合圖象，即可得出結(jié)果．

此題主要考查根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)的問題，熟記指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合的思想，即可求解，屬于常考題型，屬于基礎(chǔ)題．

14.【答案】（-，5）;

【解析】解：設(shè)，則的值域?yàn)椋?/p>

所以有實(shí)數(shù)根，

即，

，

解得，

故答案為：．

依題意，的值域?yàn)椋史匠逃袑?shí)數(shù)根可以等價(jià)為，解不等式即可．

此題主要考查了指數(shù)函數(shù)的值域，分式不等式的解法，屬于中檔題．

15.【答案】;

【解析】

此題主要考查了函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系和分段函數(shù)，是較難題.

由題意得當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，則函數(shù)不可能有三個(gè)零點(diǎn)，故只需考慮的情況，要使得函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，只能，進(jìn)一步求解即可.

解：函數(shù)，

若時(shí)，對(duì)稱軸即時(shí)，在上單調(diào)遞增，

若時(shí)，對(duì)稱軸即時(shí)，在上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，

則函數(shù)不可能有三個(gè)零點(diǎn)，故只需考慮時(shí)的情況，

要使得函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，只能，

即，即存在，使得即可，

令，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，

因?yàn)椋裕?/p>

只要使即可，

而，

故，

即實(shí)數(shù)的取值范圍是，

故答案為

16.【答案】（－1，2）

;

【解析】

此題主要考查函數(shù)零點(diǎn)問題，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．

解：函數(shù)，圖象如圖所示，

函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)與恰有兩個(gè)交點(diǎn)，

由圖可得時(shí)，函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，代入得，函數(shù)與恰有兩個(gè)交點(diǎn)，

綜上所述，或

故答案為

17.【答案】

;

【解析】

此題主要考查函數(shù)解析式的求法，指數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．

選擇指數(shù)函數(shù)模型即可求得城市人口總數(shù)萬人與年份年的函數(shù)關(guān)系式.

解：當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，；

……

所以關(guān)于的函數(shù)解析式為

故答案為

18.【答案】;

【解析】

此題主要考查了函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，根據(jù)根的分布得出不等式組解出即可.

解：由題意得，解得

即的取值范圍是

故答案為

19.【答案】解：（1）由f（x）=，且f（x）=3，得

①，或②，或．

解得①得：x不存在，解②得：x=，解③得：x不存在．

∴x=；

（2）y==．

∵，∴3-．

故函數(shù)y=的值域?yàn)閧y|y≠3}．;

【解析】

由各段的函數(shù)值等于求解得答案；

把已知函數(shù)解析式變形，利用反比例型函數(shù)的值域求解．

該題考查函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，考查了函數(shù)值域的求法，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，是基礎(chǔ)題．

20.【答案】解：（1）見圖；

（2）由（1）圖知f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間：（-∞，）和（2，+∞）；

（3）由（1）圖知，①a∈（-∞，0）∪（，+∞）時(shí)，函數(shù)f（x）=a有一個(gè)零點(diǎn)，即方程的根有1個(gè)，

②當(dāng)a=0或時(shí)，方程的根由2個(gè)，

③a時(shí)，方程的根有3個(gè)．;

【解析】

將函數(shù)寫出分段函數(shù)然后在平面直角坐標(biāo)系中畫出圖象；

由中的圖象得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；

用函數(shù)的交點(diǎn)判斷根的情況．

考查方程的根與函數(shù)的交點(diǎn)之間的轉(zhuǎn)化，屬于中檔題．

21.【答案】解：（1）因?yàn)閒（x）=tan（ωx）在區(qū)間[-1，1]上是閉函數(shù)；

其定義域內(nèi)包含0；

所以：當(dāng)ω＞0時(shí)，函數(shù)遞增，有tanω=1且tan（-ω）=-1ω=；

當(dāng)ω＜0時(shí)，函數(shù)遞減，有tanω=-1且tan（-ω）=1ω=-；

當(dāng)ω=0時(shí)，函數(shù)f（x）=0，不成立；

所以：ω=±；

（2∵f（x）=alox+b在[1，9]上是閉函數(shù)；

當(dāng)函數(shù)遞增時(shí)有：alo1+b×1=1且alo9+b=9，

解得a=3且b=1；

此時(shí)f（x）=3lox+；符合函數(shù)遞增的要求．

當(dāng)函數(shù)遞減時(shí)有：alo1+b×1=9且alo9+b=1，

解得a=-13且b=9；

此時(shí)f（x）=-13lox+9．其導(dǎo)函數(shù)為：f′（x）=-＜0在[1，9]上恒成立；符合減函數(shù)的要求．

∴滿足條件的函數(shù)有：f（x）=3lox+和f（x）=-13lox+9．;

【解析】

直接討論單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性求解即可；