..圓第一課時教學容1．圓的有關概念．2．垂徑定理：平分弦〔不是直徑〕的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧及其它們的應用．教學目標了解圓的有關概念，理解垂徑定理并靈活運用垂徑定理及圓的概念解決一些實際問題．從感受圓在生活量存在到圓形及圓的形成過程，講授圓的有關概念．利用操作幾何的方法，理解圓是軸對稱圖形，過圓心的直線都是它的對稱軸．通過復合圖形的折疊方法得出猜測垂徑定理，并輔以邏輯證明加予理解．重難點、關鍵1．重點：垂徑定理及其運用．2．難點與關鍵：探索并證明垂徑定理及利用垂徑定理解決一些實際問題．教學過程一、復習引入〔學生活動〕請同學口答下面兩個問題〔提問一、兩個同學〕1．舉出生活中的圓三、四個．2．你能講出形成圓的方法有多少種？教師點評〔口答〕：〔1〕如車輪、杯口、時針等．〔2〕圓規：固定一個定點，固定一個長度，繞定點拉緊運動就形成一個圓．二、探索新知從以上圓的形成過程，我們可以得出：在一個平面，線段OA繞它固定的一個端點O旋轉一周，另一個端點所形成的圖形叫做圓．固定的端點O叫做圓心，線段OA叫做半徑．以點O為圓心的圓，記作"⊙O〞，讀作"圓O〞．學生四人一組討論下面的兩個問題：問題1：圖上各點到定點〔圓心O〕的距離有什么規律？問題2：到定點的距離等于定長的點又有什么特點？教師提問幾名學生并點評總結．〔1〕圖上各點到定點〔圓心O〕的距離都等于定長〔半徑r〕；〔2〕到定點的距離等于定長的點都在同一個圓上．因此，我們可以得到圓的新定義：圓心為O，半徑為r的圓可以看成是所有到定點O的距離等于定長r的點組成的圖形．同時，我們又把①連接圓上任意兩點的線段叫做弦，如圖線段AC，AB；②經過圓心的弦叫做直徑，如圖24-1線段AB；③圓上任意兩點間的局部叫做圓弧，簡稱弧，"以A、C為端點的弧記作〞，讀作"圓弧〞或"弧AC〞．大于半圓的弧〔如下圖叫做優弧，小于半圓的弧〔如下圖〕或叫做劣弧．④圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓．〔學生活動〕請同學們答復下面兩個問題．1．圓是軸對稱圖形嗎？如果是，它的對稱軸是什么？你能找到多少條對稱軸？2．你是用什么方法解決上述問題的？與同伴進展交流．〔教師點評〕1．圓是軸對稱圖形，它的對稱軸是直徑，我能找到無數多條直徑．3．我是利用沿著圓的任意一條直徑折疊的方法解決圓的對稱軸問題的．因此，我們可以得到：圓是軸對稱圖形，其對稱軸是任意一條過圓心的直線．〔學生活動〕請同學按下面要求完成下題：如圖，AB是⊙O的一條弦，作直徑CD，使CD⊥AB，垂足為M．〔1〕如圖是軸對稱圖形嗎？如果是，其對稱軸是什么？〔2〕你能發現圖中有哪些等量關系？說一說你理由．〔教師點評〕〔1〕是軸對稱圖形，其對稱軸是CD．〔2〕AM=BM，，，即直徑CD平分弦AB，并且平分及．這樣，我們就得到下面的定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧．下面我們用邏輯思維給它證明一下：：直徑CD、弦AB且CD⊥AB垂足為M求證：AM=BM，，.分析：要證AM=BM，只要證AM、BM構成的兩個三角形全等．因此，只要連結OA、OB或AC、BC即可．證明：如圖，連結OA、OB，那么OA=OB在Rt△OAM和Rt△OBM中∴Rt△OAM≌Rt△OBM∴AM=BM∴點A和點B關于CD對稱∵⊙O關于直徑CD對稱∴當圓沿著直線CD對折時，點A與點B重合，與重合，與重合．∴，進一步，我們還可以得到結論：平分弦〔不是直徑〕的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧．〔此題的證明作為課后練習〕例1．如圖，一條公路的轉彎處是一段圓弦〔即圖中，點O是的圓心，其中CD=600m，E為上一點，且OE⊥CD，垂足為F，EF=90m，求這段彎路的半徑．分析：例1是垂徑定理的應用，解題過程中使用了列方程的方法，這種用代數方法解決幾何問題即幾何代數解的數學思想方法一定要掌握．解：如圖，連接OC設彎路的半徑為R，那么OF=〔R-90〕m∵OE⊥CD∴CF=CD=×600=300〔m〕根據勾股定理，得：OC2=CF2+OF2即R2=3002+〔R-90〕2解得R=545∴這段彎路的半徑為545m．三、穩固練習教材P86練習P88練習．四、應用拓展例2．有一石拱橋的橋拱是圓弧形，如圖24-5所示，正常水位下水面寬AB=60m，水面到拱頂距離CD=18m，當洪水泛濫時，水面寬MN=32m時是否需要采取緊急措施？請說明理由．分析：要求當洪水到來時，水面寬MN=32m是否需要采取緊急措施，只要求出DE的長，因此只要求半徑R，然后運用幾何代數解求R．解：不需要采取緊急措施設OA=R，在Rt△AOC中，AC=30，CD=18R2=302+〔R-18〕2R2=900+R2-36R+324解得R=34〔m〕連接OM，設DE=x，在Rt△MOE中，ME=16342=162+〔34-x〕2162+342-68x+x2=342x2-68x+256=0解得x1=4，x2=64〔不合設〕∴DE=4∴不需采取緊急措施．五、歸納小結〔學生歸納，教師點評〕本節課應掌握：1．圓的有關概念；2．圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在直線都是它的對稱軸．3．垂徑定理及其推論以及它們的應用．六、布置作業1．教材P94復習穩固1、2、3．2．車輪為什么是圓的呢？3．垂徑定理推論的證明．4．選用課時作業設計．圓(第2課時)教學容1．圓心角的概念．2．有關弧、弦、圓心角關系的定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等．3．定理的推論：在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們所對的圓心角相等，所對的弦相等．在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么它們所對的圓心角相等，所對的弧也相等．教學目標了解圓心角的概念：掌握在同圓或等圓中，圓心角、弦、弧中有一個量的兩個相等就可以推出其它兩個量的相對應的兩個值就相等，及其它們在解題中的應用．通過復習旋轉的知識，產生圓心角的概念，然后用圓心角和旋轉的知識探索在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都分別相等，最后應用它解決一些具體問題．重難點、關鍵1．重點：定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對弦也相等及其兩個推論和它們的應用．2．難點與關鍵：探索定理和推導及其應用．教學過程一、復習引入〔學生活動〕請同學們完成下題．△OAB，如下圖，作出繞O點旋轉30°、45°、60°的圖形．教師點評：繞O點旋轉，O點就是固定點，旋轉30°，就是旋轉角∠BOB′=30°．二、探索新知如下圖，∠AOB的頂點在圓心，像這樣頂點在圓心的角叫做圓心角．〔學生活動〕請同學們按以下要求作圖并答復以下問題：如下圖的⊙O中，分別作相等的圓心角∠AOB和∠A′OB′將圓心角∠AOB繞圓心O旋轉到∠A′OB′的位置，你能發現哪些等量關系？為什么？=，AB=A′B′理由：∵半徑OA與O′A′重合，且∠AOB=∠A′OB′∴半徑OB與OB′重合∵點A與點A′重合，點B與點B′重合∴與重合，弦AB與弦A′B′重合∴=，AB=A′B′因此，在同一個圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等．在等圓中，相等的圓心角是否也有所對的弧相等，所對的弦相等呢？請同學們現在動手作一作．〔學生活動〕教師點評：如圖1，在⊙O和⊙O′中，分別作相等的圓心角∠AOB和∠A′O′B′得到如圖2，滾動一個圓，使O與O′重合，固定圓心，將其中的一個圓旋轉一個角度，使得OA與O′A′重合．(1)(2)你能發現哪些等量關系？說一說你的理由？我能發現：=，AB=A/B/．現在它的證明方法就轉化為前面的說明了，這就是又回到了我們的數學思想上去呢──化歸思想，化未知為，因此，我們可以得到下面的定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等．同樣，還可以得到：在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們所對的圓心角相等，所對的弦也相等．在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么它們所對的圓心角相等，所對的弧也相等．〔學生活動〕請同學們現在給予說明一下．請三位同學到黑板板書，教師點評．例1．如圖，在⊙O中，AB、CD是兩條弦，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分別為EF．〔1〕如果∠AOB=∠COD，那么OE與OF的大小有什么關系？為什么？〔2〕如果OE=OF，那么與的大小有什么關系？AB與CD的大小有什么關系？為什么？∠AOB與∠COD呢？分析：〔1〕要說明OE=OF，只要在直角三角形AOE和直角三角形COF中說明AE=CF，即說明AB=CD，因此，只要運用前面所講的定理即可．〔2〕∵OE=OF，∴在Rt△AOE和Rt△COF中，又有AO=CO是半徑，∴Rt△AOE≌Rt△COF，∴AE=CF，∴AB=CD，又可運用上面的定理得到=解：〔1〕如果∠AOB=∠COD，那么OE=OF理由是：∵∠AOB=∠COD∴AB=CD∵OE⊥AB，OF⊥CD∴AE=AB，CF=CD∴AE=CF又∵OA=OC∴Rt△OAE≌Rt△OCF∴OE=OF〔2〕如果OE=OF，那么AB=CD，=，∠AOB=∠COD理由是：∵OA=OC，OE=OF∴Rt△OAE≌Rt△OCF∴AE=CF又∵OE⊥AB，OF⊥CD∴AE=AB，CF=CD∴AB=2AE，CD=2CF∴AB=CD∴=，∠AOB=∠COD三、穩固練習教材P89練習1教材P90練習2．四、應用拓展例2．如圖3和圖4，MN是⊙O的直徑，弦AB、CD相交于MN上的一點P，∠APM=∠CPM．〔1〕由以上條件，你認為AB和CD大小關系是什么，請說明理由．〔2〕假設交點P在⊙O的外部，上述結論是否成立？假設成立，加以證明；假設不成立，請說明理由．(3)(4)分析：〔1〕要說明AB=CD，只要證明AB、CD所對的圓心角相等，只要說明它們的一半相等．上述結論仍然成立，它的證明思路與上面的題目是一模一樣的．解：〔1〕AB=CD理由：過O作OE、OF分別垂直于AB、CD，垂足分別為E、F∵∠APM=∠CPM∴∠1=∠2OE=OF連結OD、OB且OB=OD∴Rt△OFD≌Rt△OEB∴DF=BE根據垂徑定理可得：AB=CD〔2〕作OE⊥AB，OF⊥CD，垂足為E、F∵∠APM=∠CPN且OP=OP，∠PEO=∠PFO=90°∴Rt△OPE≌Rt△OPF∴OE=OF連接OA、OB、OC、OD易證Rt△OBE≌Rt△ODF，Rt△OAE≌Rt△OCF∴∠1+∠2=∠3+∠4∴AB=CD五、歸納總結〔學生歸納，教師點評〕本節課應掌握：1．圓心角概念．2．在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都局部相等，及其它們的應用．六、布置作業1．教材P94-95復習穩固4、5、6、7、8．2．選用課時作業設計．圓(第3課時)教學容1．圓周角的概念．2．圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弦所對的圓心角的一半．推論：半圓〔或直徑〕所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑及其它們的應用．教學目標1．了解圓周角的概念．2．理解圓周角的定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．3．理解圓周角定理的推論：半圓〔或直徑〕所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．4．熟練掌握圓周角的定理及其推理的靈活運用．設置情景，給出圓周角概念，探究這些圓周角與圓心角的關系，運用數學分類思想給予邏輯證明定理，得出推導，讓學生活動證明定理推論的正確性，最后運用定理及其推導解決一些實際問題．重難點、關鍵1．重點：圓周角的定理、圓周角的定理的推導及運用它們解題．2．難點：運用數學分類思想證明圓周角的定理．3．關鍵：探究圓周角的定理的存在．教學過程一、復習引入〔學生活動〕請同學們口答下面兩個問題．1．什么叫圓心角？2．圓心角、弦、弧之間有什么在聯系呢？教師點評：〔1〕我們把頂點在圓心的角叫圓心角．〔2〕在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對的其余各組量都分別相等．剛剛講的，頂點在圓心上的角，有一組等量的關系，如果頂點不在圓心上，它在其它的位置上？如在圓周上，是否還存在一些等量關系呢？這就是我們今天要探討，要研究，要解決的問題．二、探索新知問題：如下圖的⊙O，我們在射門游戲中，設E、F是球門，設球員們只能在所在的⊙O其它位置射門，如下圖的A、B、C點．通過觀察，我們可以發現像∠EAF、∠EBF、∠ECF這樣的角，它們的頂點在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角．現在通過圓周角的概念和度量的方法答復下面的問題．1．一個弧上所對的圓周角的個數有多少個？2．同弧所對的圓周角的度數是否發生變化？3．同弧上的圓周角與圓心角有什么關系？〔學生分組討論〕提問二、三位同學代表發言．教師點評：1．一個弧上所對的圓周角的個數有無數多個．2．通過度量，我們可以發現，同弧所對的圓周角是沒有變化的．3．通過度量，我們可以得出，同弧上的圓周角是圓心角的一半．下面，我們通過邏輯證明來說明"同弧所對的圓周角的度數沒有變化，并且它的度數恰好等于這條弧所對的圓心角的度數的一半．〞〔1〕設圓周角∠ABC的一邊BC是⊙O的直徑，如下圖∵∠AOC是△ABO的外角∴∠AOC=∠ABO+∠BAO∵OA=OB∴∠ABO=∠BAO∴∠AOC=∠ABO∴∠ABC=∠AOC〔2〕如圖，圓周角∠ABC的兩邊AB、AC在一條直徑OD的兩側，那么∠ABC=∠AOC嗎？請同學們獨立完成這道題的說明過程．教師點評：連結BO交⊙O于D同理∠AOD是△ABO的外角，∠COD是△BOC的外角，那么就有∠AOD=2∠ABO，∠DOC=2∠CBO，因此∠AOC=2∠ABC．〔3〕如圖，圓周角∠ABC的兩邊AB、AC在一條直徑OD的同側，那么∠ABC=∠AOC嗎？請同學們獨立完成證明．教師點評：連結OA、OC，連結BO并延長交⊙O于D，那么∠AOD=2∠ABD，∠COD=2∠CBO，而∠ABC=∠ABD-∠CBO=∠AOD-∠COD=∠AOC現在，我如果在畫一個任意的圓周角∠AB′C，同樣可證得它等于同弧上圓心角一半，因此，同弧上的圓周角是相等的．從〔1〕、〔2〕、〔3〕，我們可以總結歸納出圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．進一步，我們還可以得到下面的推導