第九章矩陣位移法第九章矩陣位移法1§9-1概述

矩陣位移法是以結構位移為基本未知量，借助矩陣進行分析，并用計算機解決各種桿系結構受力、變形等計算的方法。

理論基礎：位移法分析工具：矩陣計算手段：計算機

矩陣位移法的基本步驟是：（1）結構的離散化；（2）單元分析；（3）整體分析。§9-1概述矩陣位移法是以結構位移為基2基本思想:化整為零

------結構離散化將結構拆成桿件,桿件稱作單元.單元的連接點稱作結點.單元分析

對單元和結點編碼.634512135642e單元桿端力集零為整------整體分析單元桿端力結點外力單元桿端位移結點外力單元桿端位移(桿端位移=結點位移)結點外力結點位移基本未知量:結點位移基本思想:化整為零------結構離散化3§9-2單元剛度矩陣（局部坐標系）E,A,I12l

e1.一般單元1212§9-2單元剛度矩陣（局部坐標系）E,A,I12l4單元剛度方程：即由方程。加約束：發生位移：

12e單元剛度方程：即由方程。加約束：發生位移5eee單元剛度方程的矩陣表示形式：可記為：eee局部座標系的單元剛度矩陣eee單元剛度方程的矩陣表示形式：可記為：eee局部座標系的62.單元剛度矩陣的性質（1）單元剛度系數的意義e—代表單元桿端第j個位移分量等于1時所引起的第i個桿端力分量。（2）單元剛度矩陣是對稱矩陣，即。（3）一般單元的剛度矩陣是奇異矩陣。ee2.單元剛度矩陣的性質（1）單元剛度系數的意義e—代表單元桿73.特殊單元e例：12e某一個或幾個位移已知為零，其剛度方程是一般單元剛度方程的特例。3.特殊單元e例：12e某一個或幾個位移已知為零，其剛度方程8eeeeeeeeeeeeeeee9

exyX1Y1X2Y2§9-3單元剛度矩陣（整體坐標系）1.單元座標轉換矩陣eeeeeeeeeeeeeeeeexyX1Y1X2Y2§9-3單元剛度矩陣（整體坐標系10eeeee單元坐標轉換矩陣???t???yü???????íìúúúúúúú?ùêêêêêêê?é--=???t???yü???????íì2221112221111000000cossin0000sincos0000001000000cossin0000sincosMYXMYXMYXMYXaaaaaaaa[T]-1=[T]Teeee??eeeee單元坐標轉換矩陣???t???yü???????í11eee整體座標系中(a)eee{F}=[k]{}(b)e{F}

=[T]T[T]{}ee(d)k[T]{F}=e[T]{}(c)eke[k]=[T]T

ke[T]e(e)[k]e的性質與ek一樣。2.整體座標系中的單元剛度矩陣（a）式兩邊前乘[T]T比較式(b)和(d)：局部座標系中eee整體座標系中(a)eee{F}=[k]{}(12例1.試求圖示剛架中各單元在整體座標系中的剛度矩陣[k]。設和桿的桿長和截面尺寸相同。1l=5ml=5m2xyl=5m，b

h=0.5m1m,A=0.5m2,I=m4,124解:局部座標系中的單元剛度矩陣ke12k=

k

例1.試求圖示剛架中各單元在整體座標系中1l=5ml13單元2：=90，單元座標轉換矩陣為[k]=[T]T

k[T](2)整體座標系中的單元剛度矩陣e[k]單元1：=0，[T]=[I]k1=1[k]單元2：=90，單元座標轉換矩陣為[k]=[T14清華版矩陣位移法課件15§9-4連續梁的整體剛度矩陣按傳統位移法i1i212

14i1

12i1

10i1i212

22i1

22i2

2(4i1+4i2)

2i1i212

302i2

34i2

3每個結點位移對{F}的單獨貢獻§9-4連續梁的整體剛度矩陣按傳統位移法i1i212116F1F2F34i12i102i14i1+4i22i202i24i2

1

2

3={F}=[K]{}

根據每個結點位移對附加約束上的約束力{F}的貢獻大小進行疊加而計算所得。傳統位移法F1F2F34i12i102i14i1+4i22i202i2171.單元集成法的力學模型和基本概念分別考慮每個單元的貢獻，整剛由單元直接集成i1i212

1

2

3F3{F}1=[F11F211]TF11F21F31令i2=0，則F31=0[k]=4i12i14i12i11F11F21=4i12i14i12i1

1

2（a）（b）1.單元集成法的力學模型和基本概念分別考慮每個單元的貢獻，整18F11F21F31=4i12i14i12i100000

1

2

31[K]{}{F}=1[K]=14i12i14i12i100000單元1的貢獻矩陣記為：稱為：[K]=24i12i14i12i100000同理得到單元2的貢獻矩陣F11F21F31=4i12i14i12i1000001191[K]{}{F}=12[K]{}{F}=2i1i2121212[K]=（[K]+[K]）=12ee[k][K][K]ee{F}={F}+{F}=（[K]+[K]）{}12{F}=[K]{}整體剛度矩陣為：求整剛矩陣步驟：得整體剛度方程：1[K]{}{F}=12[K]{}{F}20[k]=4i12i14i12i11[K]=14i12i14i12i100000[k]=4i22i24i22i22[K]=24i22i24i22i2000001214i12i14i12i1000002i22i24i2[K]=4i12i14(i1+i2)2i102i202i24i24i1+4i2[k]=4i12i14i12i11[K]=14i12212.按照單元定位向量由[k]求

e[K]e(1)整體分析總碼。(2)單元分析局部碼。連續梁121231(1)(2)2(1)(2)位移統一編碼，總碼確定中的元素在中的位置。[k]

e[K]e位移單獨編碼局部碼2.按照單元定位向量由[k]求e[K]e(1)整體分析22單元12對應關系局部碼總碼單元定位向量e(1)1(2)21=(1)2(2)32=由單元的結點位移總碼組成的向量單元定位向量:總碼、局部碼之間的對應關系。也稱為“單元換碼向量”。單元12對應關系局部碼總碼單元定位向量e(1)1(2)23（3）單剛[k]

e[K]e和單元貢獻中元素的對應關系單元

單元

[k]=4i12i14i12i11(1)(2)(1)(2)1=[K]=11230000000004i12i12i14i1123[k]=4i22i24i22i22(1)(2)(1)(2)2=[K]=20000000004i22i24i22i2123123（3）單剛[k]e[K]e和單元貢獻中元素的對應關系單元243.單元集成法的實施（定位累加）（1）將[K]置零，得[K]=[0]；（2）將[k]

的元素在[K]中按{

}

定位并進行累加，得[K]=[K]

；（3）將[k]

的元素在[K]中按{

}

定位并進行累加，得[K]=[K]

+[K]

；按此作法

對所有單元循環一遍，最后即得整體剛度矩陣[K]。3.單元集成法的實施（定位累加）（1）將[K]置零25[K]123123000000000[k]110000000004i12i12i14i1123123[k]224i12i14i12i1000002i22i24i24i1+4i2123123[K]123123000000000[k]11000002612i1i2i331230

1

2

3

0=0（1）結點位移分量總碼1=2=3=例.求連續梁的整體剛度矩陣。（2）單元定位向量12i1i2i3312301230=0（1）結點位27（3）單元集成過程[k]=4i12i14i12i111221[k]=4i22i24i22i222332[k]=4i32i34i32i330330[K]=1231230000000004i12i12i12i22i24i24i14i2+4i34i1+4i2（3）單元集成過程[k]=4i12i14i12i1112284.整體剛度矩陣[K]的性質（1）整體剛度系數的意義:Kij表示

j=1(其余

=0)時產生的結點力Fi（2）[K]是對稱矩陣（3）對幾何不變體系，[K]是可逆矩陣，如連續梁i1i2

1

2

3F1F2F3{F}=[K]{}{

}=[K]-1{F}4.整體剛度矩陣[K]的性質（1）整體剛度系數的意義:29（4）[K]是稀疏矩陣和帶狀矩陣，如連續梁

1

2

3F1F2F3123n

nFn

n+1Fn+10000000000000000000000000000000000004i12i12i12i22i24i2+4i34i1+4i24in2i32in（4）[K]是稀疏矩陣和帶狀矩陣，如連續梁123F1F301、用矩陣位移法計算連續梁時無需對單元剛度矩陣作坐標變換。（）

2、組裝結構整體剛度矩陣之前，必須對單元剛度矩陣進行坐標轉換。（）3、結構整體剛度矩陣與結點位移編號方式無關。（）4、如單元定位向量中的第i個元素為0，說明單元第i個桿端位移分量對應剛性支座。（）1、用矩陣位移法計算連續梁時無需對單元剛度矩陣作坐標變換。（315、單元定位向量是有單元（）組成的向量。A.局部坐標桿端位移編碼B.所在結點編號C.所在結點位移總碼D.整體坐標桿端位移分量編碼6、圖示單元變形情況所產生的六個桿端力組成了單元剛度矩陣的第（）元素.A．3列B.6行C.1列D.6列1245635、單元定位向量是有單元（）組成的向量。12456332§9-5剛架的整體剛度矩陣

（2）各單元已形成了整體座標系下的單元剛度矩陣；（1）各

經由e[k]e{}進行累加集成[K]。與連續梁相比：(1)各單元考慮軸向變形；(2)每個剛結點有三個位移；(3)要采用整體座標；(4)要處理非剛結點的特殊情況。思路要點：

§9-5剛架的整體剛度矩陣（1）各經由331.結點位移分量的統一編碼——總碼ABCxy123004000結點位移總碼{}=[1

2

3

4]T規定：對于已知為零的結點位移分量，其總碼均編為零。=[uA

vA

A

C]T整體結構結點位移向量：結點力向量為：=[XA

YA

MA

MC]T{F}=[F1

F2

F3

F4]T①②1.結點位移分量的統一編碼——總碼ABCxy12300434x(1)(2)(3)(5)(6)x(2)(3)(5)(6)單元結點位移分量局部碼2、單元定位向量①②ABCxy12300400結點位移總碼②①0(4)(1)(4)x(1)(2)(3)(5)(6)x(2)(3)(5)(6)35單元

單元

局部碼

總碼局部碼

總碼（1）1（2）2（3）3（4）0（5）0（6）4（1）1（2）2（3）3（4）0（5）0（6）0

單元單元局部碼總碼局部碼總碼（1）1（1）361[k]=0000000000000000000000000000000000001112131415162122232425263132333435364142434445465152535455566162636465661230041230042[k]123000123000111213141516212223242526313233343536414243444546515253545556616263646566=3、單元集成過程1[k]=0000000000000000000000000371234[K]=1234000000000000000011121321222331323361626366162636111213212223313233[K]求單元常數{}[T]單元剛度矩陣程序設計框圖1234[K]=1234000000000000000011384、鉸結點的處理1122剛結點：變形連續，截面1和截面2具有相同的結點位移。鉸結點：部分變形連續，截面1和截面2具有相同的結點線位移；而其角位移不相等。4、鉸結點的處理1122剛結點：變形連續，截面1和截面2具有39123ABDxy000123456C1C2457000123結點位移分量總碼結點C1[456]結點C2[457]單元定位向量123ABDxy000123456C1C24570001234000000000000000000000000000000000000000000000000001[k]=1234561234562[k]=1230001230003[k]=457000457000[K]=1234567123456700000000000000000000000000000041§9-6等效結點荷載{F}=[K]{}……………(1)結構體系剛度方程：1、位移法基本方程[K]{}+{FP}={0}…………...………(2){F}+{FP}={0}…………....(3)將(1)式代入(2)式：基本體系在荷載單獨作用下產生的結點約束力。基本體系在結點位移單獨作用下產生的結點約束力。§9-6等效結點荷載{F}=[K]{}……………(422、等效結點荷載的概念結點結束力——{FP}結點結束力——{FP}等效結點荷載{P}原荷載{P}=–{FP}………解決了計算等效結點荷載的問題等效原則是兩種荷載在基本體系中產生相同的結點約束力2、等效結點荷載的概念結點結束力——{FP}結點結束力——433、按單元集成法求整體結構的等效結點荷載{P}(1)局部座標單元的等效結點荷載{P}exee{P}ee3、按單元集成法求整體結構的等效(1)局部座標單元的等效結點44(2)整體座標單元的等效結點荷載{P}eee(3)

結構的等效結點荷載{P}xy(2)整體座標單元的等效結點荷載{P}eee(3)結構的等451112xy12348kN4.8kN/mABC5m2.5m2.5m單元1:單元2:121112xy12348kN4.8kN/mABC5m2.5m246112121210-10+4+0-5222112121210-10+4+0-522247[K]求單元常數{}[T]{P}原始數據、局部碼、總碼解方程[K]{}={P}求出結點位移{}開始單元剛度矩陣ke單元固端力e結束§9-7計算步驟和算例[K]{}={F}{FP}+=程序設計框圖求桿端力eeee[K]求單元常數{}[T]{P}原始數據、局部碼、總碼解48例.求圖示剛架的內力。設各桿為矩形截面，橫梁b2×h2=0.5m×1.26m，立柱b1×h1=0.5m×1m。（1）原始數據、局部碼