一元復合函數：求導法則：微分法則：一元復合函數：求導法則：微分法則：第四節多元復合函數的求導法則多元復合函數的求導的鏈式法則多元復合函數的全微分第四節多元復合函數的求導法則多元復合函數的求導的鏈式法則一、多元復合函數求導的鏈式法則1.中間變量均為一元函數的情形證一、多元復合函數求導的鏈式法則1.中間變量均為一元函數的情多元復合函數的求導法則課件上定理的結論可推廣到中間變量多于兩個的情況.如以上公式中的導數

稱為全導數.上定理的結論可推廣到中間變量多于兩個的情況.如以上公式中的導若定理中在點說明:

例如:易知:但復合函數偏導數連續減弱為偏導數存在,

則定理結論不一定成立.若定理中在點說明:例如:易知:但復合函數偏導數連偏導數不連續偏導數不連續

上定理還可推廣到中間變量不是一元函數而是多元函數的情況：2.中間變量均為多元函數的情形上定理還可推廣到中間變量不是一元函數而是多元函數的情鏈式法則如圖示鏈式法則如圖示

類似地，設u=

(x,y)、v=

(x,y)、w=

(x,y)都在點(x,y)具有對x和y的偏導數，函數z=f(u,v,w)在對應點(u,v,w)具有連續偏導數,則復合函數z=f[

(x,y),

(x,y),

(x,y)]在點(x,y)的兩個偏導數存在,且可用下列公式計算：類似地，設u=(x,y)、v=(x,3.中間變量既有一元函數，又有多元函數的情形定理3

若u=

(x,y)在點(x,y)可導，v=

(y)在點y可導，函數z=f(u,v)在對應點(u,v)具有連續偏導，則復合函數z=f[

(x,y),

(y)]在點(x,y)可導，且3.中間變量既有一元函數，又有多元函數的情形定理3若特殊地即令其中兩者的區別區別類似“分段用乘,分叉用加,單路全導,叉路偏導”特殊地即令其中兩者的區別區別類似“分段用乘,分叉用加,單路全解解例2.解:例2.解:例3.

設

求全導數解:注意：多元抽象復合函數求導在偏微分方程變形與驗證解的問題中經常遇到,下列兩個例題有助于掌握這方面問題的求導技巧與常用導數符號.例3.設求全導數解:注意：多元抽象復合函數求導在偏微分為簡便起見,引入記號例4.

設

f

具有二階連續偏導數,求解:令則為簡便起見,引入記號例4.設f具有二階連續偏導數,(當在二、三象限時,)二階偏導數連續,求下列表達式在解:已知極坐標系下的形式(1),則例5.設(當在二、三象限時,多元復合函數的求導法則課件

已知注意利用已有公式已知注意利用同理可得同理可得設函數的全微分為：可見無論

u,v是自變量還是中間變量,

則復合函數都可微,

其全微分表達

形式都一樣,

這性質叫做全微分形式不變性.二、多元復合函數的全微分設函數的全微分為：可見無論u,v是自變量還是中間變量例1.利用全微分形式不變性再解例1.解:所以例6.例1.利用全微分形式不變性再解例1.解:所以例6.

思考題1.

已知求解:由兩邊對x

求導,得思考題1.已知求解:由兩邊對x求導,得求在點處可微,且設函數解:由題設(2001考研)2.求在點處可微,且設函數解:由題設(2001考研)2.內容小結1.

復合函數求導的鏈式法則“分段用乘,分叉用加,單路