數學方法論與解題研究韓山師范學院數學與應用數學系歐慧謀數學方法論與解題研究韓山師范學院數學與應用數學系數學方法論主要研究什么?方法論：就是人們認識世界、改造世界的一般方法，是人們用什么樣的方式、方法來觀察事物和處理問題。概括地說，世界觀主要解決世界“是什么”的問題，方法論主要解決“怎么辦”的問題。數學方法論：主要是研究和討論數學的發展規律，數學的思想方法以及數學中的發現、發明與創新等法則的一門學問。數學方法論主要研究什么?方法論：學習數學方法論有什么意義？1.作為數學學習者，自覺地用數學方法論來指導學習，能促進對合理方法的應用的轉化，提高數學學習效果。（學知識+學方法）2.作為數學教師，數學方法論與數學教學的有機結合能提高數學教學質量。（講活、講懂、講深）學習數學方法論有什么意義？1.作為數學學習者，自覺地用數學數學方法論涉及哪些內容？實驗嘗試、類比聯想、分析綜合、歸納演繹化歸、抽象、公理化、關系映射反演等。強調心理學的意義：數學元認知、數學直覺等數學方法論涉及哪些內容？實驗嘗試、強調心理學的意義：數學方法論與解題研究課件數學方法論與解題研究課件第二章數學發現的基本方法數學發現是以提出問題和解決問題為主要標志的，這方面的能力又是衡量一個人數學水平的重要標志。提高發現問題和解決問題的能力，已經成為老師教好數學，學生學好數學的重要環節，也是研究數學、運用數學必不可少的技能。第二章數學發現的基本方法數學發現是以提出問題和1.觀察法為什么發現“萬有引力”的人是牛頓？假如穿越時空，你能發現“勾股定理”嗎？為什么費馬能提出“費馬大定理”，而證明這定理的人是維爾斯？1.觀察法為什么發現“萬有引力”的人是牛頓？1.觀察法

觀察，即仔細看，在心理學上，觀察被看成是一種有目的、有計劃、有步驟的感知活動，是一種主動的，對思維有積極作用的感知活動。1.觀察法觀察，即仔細看，在心理學上，觀察被看多產的數學家歐拉：1.觀察法多產的數學家歐拉：1.觀察法多產的數學家歐拉：在被稱為純粹數學的那部分數學中，觀察無疑占有極重要的地位…1.觀察法多產的數學家歐拉：在被稱為純粹數學的那部分數學例子：1.觀察法例子：1.觀察法例子：1.觀察法例子：1.觀察法2.聯想2.聯想2.聯想聯想思維的三個主場部分某種概念相關概念2相關概念1…聯想因素聯想效應聯想線路2.聯想聯想思維的三個主場部分某種概念相關概念2相關概念1…聯想的方法接近聯想（形似聯想）主要有概念、原來、法則的接近而產生的聯想。它是由命題的已知條件與結構特征，聯想到相關的定義、定理、公式或圖形等。2.聯想聯想的方法接近聯想（形似聯想）2.聯想聯想的方法類比聯想（對比聯想）主要根據問題的具體情況，從具有類似或相似特點的數、式、圖形以及相近的內容和性質等進行聯想。2.聯想聯想的方法類比聯想（對比聯想）2.聯想聯想的方法關系聯想是根據知識之間的從屬關系、一般關系、因果關系以及其內在聯系進行的一種聯想。例如，看到一個問題，聯想到它屬于什么類型和一般用什么方法來求解，有一個一般問題聯想到特殊情形，有一個題設條件聯想到它的推論等等。2.聯想聯想的方法關系聯想2.聯想聯想的方法關系聯想2.聯想聯想的方法關系聯想2.聯想4.逆向聯想逆向聯想是指從問題的正面想到問題的反面。在解題方法上表現為反面解法、倒推法等間接方法，在證明上表現為反證法、同一法等間接證法。4.逆向聯想4.逆向聯想4.逆向聯想4.逆向聯想4.逆向聯想5.橫向聯想：是指數學各分支之間，乃至數學與物理、化學等學科之間的聯想，各種知識之間有著一定的聯想和相互滲透，這就為橫向聯想提供了可能條件。5.橫向聯想：是指數學各分支之間，乃至數學與物理、化學等學科5.橫向聯想證明:用平面幾何和解析幾何的方法證較繁雜，故考慮用重心原理來證明。5.橫向聯想證明:用平面幾何和解析幾何的方法證較繁雜，故考慮三、聯想能力的培養1.重視基礎知識，注意知識系統化掌握知識越豐富，理解知識間的縱橫關系越多，聯想就能在更廣闊的領域中展開。回憶到或搜索到的有關知識就越多，對已經學過的概念、定理、公式、法則以及數學思想方法理解得越透，掌握得越牢固，越系統，解題經驗越豐富，聯想就越暢通，越有效。三、聯想能力的培養1.重視基礎知識，注意知識系統化2.“控制聯想”和“自由聯想”要雙管齊下

控制聯想：指有目的、有方向且受一定條件限制的聯想。自由聯想：指從多方向、多角度、多層次進行的聯想，有助于提高聯想的廣度和深度。只有雙管齊下，才能使解題思路開闊，巧法頻生，醞釀出多種不同的解題策略和思路。2.“控制聯想”和“自由聯想”要雙管齊下只有雙管齊下，才能使THANKYOUSUCCESS2023/9/1327可編輯THANKYOUSUCCESS2023/7/2922.“控制聯想”和“自由聯想”要雙管齊下2.“控制聯想”和“自由聯想”要雙管齊下數學方法論與解題研究課件數學方法論與解題研究課件3.運用聯想把問題引申推廣3.運用聯想把問題引申推廣3.運用聯想把問題引申推廣3.運用聯想把問題引申推廣3.運用聯想把問題引申推廣3.運用聯想把問題引申推廣§3嘗試嘗試：就是將初步意向付諸實施，試探是否可行，是否有進展，是否可以接近目標，是否能縮小解答所在的范圍等等。通過對數學問題進行觀察、聯想，從整體上把握問題，形成初步的策略（解決問題的想法、方向以及解答范圍等）。§3嘗試嘗試：就是將初步意向付諸實施，試探是1.從簡單入手：首先考慮符合題意的最簡單情形，嘗試找出這種情形的解法，然后過渡到一般情形。一、簡單化，化難為易1.從簡單入手：首先考慮符合題意的最簡單情形，嘗試找出這種情1.從簡單入手1.從簡單入手2.將復雜的問題分解成幾個簡單問題復雜綜合的問題，往往由一些比較簡單的問題巧妙地糅合而成，要善于觀察，分解成幾個小問題，各個擊破后再綜合起來。2.將復雜的問題分解成幾個簡單問題復雜綜合的問數學方法論與解題研究課件1.分析特例，尋找啟示二、特殊化，尋找突破口1.分析特例，尋找啟示二、特殊化，尋找突破口2.利用特例奠定基礎2.利用特例奠定基礎3.使用特例，完善解題3.使用特例，完善解題1.變易論題三、變換角度，選擇主攻方向1.變易論題三、變換角度，選擇主攻方向2.數形轉換(數形結合百般好，隔裂分家萬事休---華羅庚)三、變換角度，選擇主攻方向2.數形轉換(數形結合百般好，隔裂分家萬事休---華羅庚)三3.橫向求索：采用那些看來與題目不“相關”的其他數學分支內容進行“旁敲側擊”。三、變換角度，選擇主攻方向（相對于縱向追溯而言：按照知識系統，回顧和使用題意所涉及范圍的內容）3.橫向求索：采用那些看來與題目不“相關”的其他數學分支內容3.橫向求索3.橫向求索3.橫向求索3.橫向求索1.倒推法：問題發生順序倒置，逆推還原。四、逆反轉換，靈活解題逆反轉換：順推不行，考慮逆推；直接解決不易，考慮間接解決；正面困難，考慮反面。例9.（歐洲古代數學趣題）有一籃李子不知其數，分給甲一半又一個，分給乙剩下的一半又一個，分給丙剩下的一半又三個，李子剛好分完，問原有李子多少個？1.倒推法：問題發生順序倒置，逆推還原。四、逆反轉換，靈活解1.倒推法例9.（歐洲古代數學趣題）有一籃李子不知其數，分給甲一半又一個，分給乙剩下的一半又一個，分給丙剩下的一半又3個，李子剛好分完，問原有李子多少個？1.倒推法例9.（歐洲古代數學趣題）有一籃李子不知其數，分給四、逆反轉換，靈活解題2.反客為主：問題元素主次倒置。四、逆反轉換，靈活解題2.反客為主：問題元素主次倒置。§4.實驗實驗：是人們根據科學研究的目的，運用一定的研究手段（器具、儀器或科研設備），在人為控制、變革或模擬客觀對象的條件下，通過觀察獲得感性經驗和科學事實的研究方法。數學實驗：是為了獲得某種數學理論，檢驗某個數學猜想，解決某類數學問題，實驗者運用一定的物