《數學思想與方法》形成性考核冊作業1答案作業1一、簡答題1、分別簡單敘說算術與代數的解題方法基本思想，并且比較它們的區別。答：算術解題方法的基本思想：首先要圍繞所求的數量，收集和整理各種已知的數據，并依據問題的條件列出關于這些具體數據的算式，然后通過四則運算求得算式的結果。代數解題方法的基本思想是：首先依據問題的條件組成內含已知數和未知數的代數式，并按等量關系列出方程，然后通過對方程進行恒等變換求出未知數的值。它們的區別在于算術解題參與的量必須是已知的量，而代數解題允許未知的量參與運算；算術方法的關鍵之處是列算式，而代數方法的關鍵之處是列方程。2、比較決定性現象和隨機性現象的特點，簡單敘說確定數學的局限。答：人們常常遇到兩類截然不同的現象，一類是決定性現象，另一類是隨機現象。決定性現象的特點是：在一定的條件下，其結果可以唯一確定。因此決定性現象的條件和結果之間存在著必然的聯系，所以事先可以預知結果如何。隨機現象的特點是：在一定的條件下，可能發生某種結果，也可能不發生某種結果。對于這類現象，由于條件和結果之間不存在必然性聯系。在數學學科中，人們常常把研究決定性現象數量規律的那些數學分支稱為確定數學。用這些的分支來定量地描述某些決定性現象的運動和變化過程，從而確定結果。但是由于隨機現象條件和結果之間不存在必然性聯系，因此不能用確定數學來加以定量描述。同時確定數學也無法定量地揭示大量同類隨機現象中所蘊涵的規律性。這些是確定數學的局限所在。二、論述題1、論述社會科學數學化的主要原因。答：從整個科學發展趨勢來看，社會科學的數學化也是必然的趨勢，其主要原因可以歸結為有下面四個方面：第一，社會管理需要精確化的定量依據，這是促使社會科學數學化的最根本的因素。第二，社會科學的各分支逐步走向成熟，社會科學理論體系的發展也需要精確化。第三，隨著數學的進一步發展，它出現了一些適合研究社會歷史現象的新的數學分支。第四，電子計算機的發展與應用，使非常復雜社會現象經過量化后可以進行數值處理。2、論述數學的三次危機對數學發展的作用。答：第一次數學危機促使人們去認識和理解無理數，導致了公理幾何與邏輯的產生。第二次數學危機促使人們去深入探討實數理論，導致了分析基礎理論的完善和集合論的產生。第三次數學危機促使人們研究和分析數學悖論，導致了數理邏輯和一批現代數學的產生。由此可見，數學危機的解決，往往給數學帶來新的內容，新的進展，甚至引起革命性的變革，這也反映出矛盾斗爭是事物發展的歷史動力這一基本原理。整個數學的發展史就是矛盾斗爭的歷史，斗爭的結果就是數學領域的發展。三、分析題1、分析《幾何原本》思想方法的特點，為什么？答：（1）封閉的演繹體系因為在《幾何原本》中，除了推導時所需要的邏輯規則外，每個定理的證明所采用的論據均是公設、公理或前面已經證明過的定理，并且引入的概念（除原始概念）也基本上是符合邏輯上對概念下定義的要求，原則上不再依賴其它東西。因此《幾何原本》是一個封閉的演繹體系。另外，《幾何原本》的理論體系回避任何與社會生產現實生活有關的應用問題，因此對于社會生活的各個領域來說，它也是封閉的。所以，《幾何原本》是一個封閉的演繹體系。（2）抽象化的內容：《幾何原本》中研究的對象都是抽象的概念和命題，它所探討的是這些概念和命題之間的邏輯關系，不討論這些概念和命題與社會生活之間的關系，也不考察這些數學模型所由之產生的現實原型。因此《幾何原本》的內容是抽象的。（3）公理化的方法：《幾何原本》的第一篇中開頭5個公設和5個公理，是全書其它命題證明的基本前提，接著給出23個定義，然后再逐步引入和證明定理。定理的引入是有序的，在一個定理的證明中，允許采用的論據只有公設和公理與前面已經證明過的定理。以后各篇除了不再給出公設和公理外也都照此辦理。這種處理知識體系與表述方法就是公理化方法。2、分析《九章算術》思想方法的特點，為什么？答：（1）開放的歸納體系：從《九章算術》的內容可以看出，它是以應用問題解法集成的體例編纂而成的書，因此它是一個與社會實踐緊密聯系的開放體系。在《九章算術》中通常是先舉出一些問題，從中歸納出某一類問題的一般解法；再把各類算法綜合起來，得到解決該領域中各種問題的方法；最后，把解決各領域中問題的數學方法全部綜合起來，就得到整個《九章算術》。另外該書還按解決問題的不同數學方法進行歸納，從這些方法中提煉出數學模型，最后再以數學模型立章寫入《九章算術》。因此，《九章算術》是一個開放的歸納體系。（2）算法化的內容：《九章算術》在每一章內先列舉若干個實際問題，并對每個問題都給出答案，然后再給出“術”，作為一類問題的共同解法。因此，內容的算法化是《九章算術》思想方法上的特點之一。（3）模型化的方法：《九章算術》各章都是先從相應的社會實踐中選擇具有典型意義的現實原型，并把它們表述成問題，然后通過“術”使其轉化為數學模型。當然有的章采取的是由數學模型到原型的過程，即先給出數學模型，然后再舉出可以應用的原型。

《數學思想與方法》形成性考核冊作業2答案數學思想與方法作業2一、簡答題1、敘述抽象的含義及其過程。答：抽象是指在認識事物的過程中，舍棄那些個別的、偶然的非本質屬性，抽取普遍的、必然的本質屬性，形成科學概念，從而把握事物的本質和規律的思維過程。人們在思維中對對象的抽象是從對對象的比較和區分開始的。所謂比較，就是在思維中確定對象之間的相同點和不同點；而所謂區分，則是把比較得到的相同點和不同點在思維中固定下來，利用它們把對象分為不同的類。然后再進行舍棄與收括，舍棄是指在思維中不考慮對象的某些性質，收括則是指把對象的我們所需要的性質固定下來，并用詞表達出來。這就形成了抽象的概念，同時也就形成了表示這個概念的詞，于是完成了一個抽象過程。2、敘述概括的含義及其過程。答：概括是指在認識事物屬性的過程中，把所研究各部分事物得到的一般的、本質的屬性聯系起來，整理推廣到同類的全體事物，從而形成這類事物的普遍概念的思維過程。概括通常可分為經驗概括和理論概括兩種。經驗概括是從事實出發，以對個別事物所做的觀察陳述為基礎，上升為普遍的認識——由對個體特性的認識上升為對個體所屬的種的特性的認識。理論概括則是指在經驗概括的基礎上，由對種的特性的認識上升為對種所屬的屬的特性的認識，從而達到對客觀世界的規律的認識。在數學中經常使用的是理論概括。一個概括過程包括比較、區分、擴張和分析等幾個主要環節。3、簡述公理方法歷史發展的各個階段答：公理方法經歷了具體的公理體系、抽象的公理體系和形式化的公理體系三個階段。第一個具體的公理體系就是歐幾里得的《幾何原本》。非歐幾何是抽象的公理體系的典型代表。希爾伯特的《幾何基礎》開創了形式化的公理體系的先河，現代數學的幾乎所有理論都是用形式公理體系表述出來的，現代科學也盡量采用形式公理法作為研究和表述手段。4、簡述化歸方法并舉例說明。答：所謂“化歸”，從字面上看，應可理解為轉化和歸結的意思。數學方法論中所論及的“化歸方法”是指數學家們把待解決或未解決的問題，通過某種轉化過程，歸結到一類已經能解決或者比較容易解決的問題中去，最終求獲原問題之解答的一種手段和方法。例如：要求解四次方程

可以令

，將原方程化為師：數完邊點數，我們再來計算每個圖的面積。結果也填入表中。（師生一起計算面積，過程略）圖形邊上點數內部點數面積⑴401(2)602(3)803(4)1406(5)412(6)613(7)814(8)1417(9)423(10)624(11)825(12)1428四、尋找每一列三個數之間的規律師：我們根據這個表，找一找每列三個數之間的關系。告訴同學們，希望找到相同的規律。生：第一列，邊點數等于面積乘以4。師：這個規律能否用到第二列呢？生：不能，因為6不等于2乘以4。生2：第一列，邊點數除以2，減去面積等于1。師：好！看看這個規律能否用到第二列？生：能。還能用到第三、第四列。生2：老師，這個規律不能用到第五列。師：很好！我們看看這個規律到第五列可以怎樣改一改。生：我發現了，邊點數除以2，加上內點數，再減去面積等于1。師：非常好！大家一起算一算，是不是每一列都具有這個規律。五、總結師：我們把發現的規律總結成公式：邊點數/2＋內點數－面積＝1也可以寫為：邊點數/2＋內點數－1＝面積2、假定學生已有了除法商的不變性知識和經驗，在學習分數的性質時，請你設計一個孕育“類比法”教學片斷。提示：所設計的教學片斷要求(1)以小組合作探究的形式，讓學生舉例說明除法的被除數和除數與分數的分子和分母之間存在什么樣的關系(相似關系)？商與分數又有什么關系(相似關系)？那么與被除數、除數同時擴大或縮小相同的倍數其商不變相似的結論又是什么呢？通過一系列層層遞進式的問題情境，把學生的思維導向分數與商相似的特征上來，創設學生自主探究分數的性質的全過程；(2)教學設計要體現教師引導學生歸納概括“分數的性質”的過程，并重視學習方法指導，使學生初步領會用“類比法”獲取新知識的策略。教學片斷設計如下：一、回憶除法和分數的有關概念師：同學們還記得除法的哪些概念和記號？生：被除數÷除數＝商師：對。我們再回憶分數的概念和記號。師：好。大家一起來比較這兩個概念的相似性。生：商好比分數，被除數好比分子。除數好比分母。二、回憶除法的性質師：很好。現在我們回憶除法有哪些性質。生：被除數與除數同時擴大，商不變。生2：被除數與除數同時縮小，商也不變。三、類比出分數的性質師：對。剛才我們知道商好比分數，因此我們可以問：除法的這些性質是否可以類比到分數上來呀？生：可以。師：應該怎樣類比呢？生：分子與分母同時擴大，分數不變。生2：分子與分母同時縮小，分數不