高等應用數學目錄CONTENTS前言0002第2章導數與微分第4章不定積分04第1章函數與極限01第3章導數的應用03第5章微分方程05第6章微分方程06第7章多元函數微積分07微分方程第6章6.1微分方程的基本概念6.2一階微分方程6.3二階微分方程導學4函數是客觀事物的內部聯系在數量方面的反映，因此，利用函數關系可以對客觀事物的規律進行研究，所以如何尋求函數關系在實踐中具有重要意義。本章主要介紹微分方程的一些基本概念和幾種常用微分方程的解法。導學學習目標51．理解微分方程的概念，理解微分方程的階和解的概念，掌握解微分方程的步驟。2．掌握可分離變量的微分方程及其解法，掌握齊次型微分方程及其解法，掌握一階線性微分方程及其解法。學習目標63．掌握可降階的二階微分方程的解法，理解二階線性微分方程的概念，理解二階常系數齊次線性微分方程的通解結構定理及其解法，理解二階常系數非齊次線性微分方程的通解結構定理及其解法。素質目標71．培養與他人合作交流的學習習慣。2．培養數學建模思維，把數學理論和方法運用到解決實際問題中去。定積分概述6.16.1.1微分方程的基本概念9引例設一曲線過點（1,2），且在該曲線上任一點M(x,y)處的切線斜率為2x，求此曲線的方程。解設所求曲線的方程為y=f(x)，由導數的幾何意義可知，y=f(x)應滿足關系式

(6-1)又因曲線過,點(1,2)，故所求曲線的方程還應滿足

(6-2)式（6-1）兩邊積分，得

(6-3)6.1.1微分方程的基本概念10引例設一曲線過點（1,2），且在該曲線上任一點M(x,y)處的切線斜率為2x，求此曲線的方程。其中C為任意常數將式（6-2）代入式（6-3），得2=1+C，解得C=1將C=1代入式（6-3），得所求曲線的方程為

6.1.1微分方程的基本概念11引例設某一質點的質量為m，在t=0時刻，它在重力作用下做自由落體運動，求其運動方程。解

建立如圖所示的坐標系，設質點的運動方程為y=f(t)。由于質點只受重力mg的作用，且重力的方向與運動方向相同，故由牛頓第二定律可知

6.1.1微分方程的基本概念12引例設某一質點的質量為m，在t=0時刻，它在重力作用下做自由落體運動，求其運動方程。即

(6-5)式（6-5）兩邊積分，得

(6-6)式（6-6）兩邊積分，得

(6-7)6.1.1微分方程的基本概念13引例設某一質點的質量為m，在t=0時刻，它在重力作用下做自由落體運動，求其運動方程。其中，C1，C2都是任意常數，根據題意可知，y=f(t)還應滿足

(6-8)將式（6-8）分別代入式（6-6）和式（6-7），得C1=0，C2=0將C1=0，C2=0代入式（6-7），得所求質點的運動方程為

6.1.1微分方程的基本概念14定義1一般地，凡表示未知函數、未知函數的導數與自變量之間的關系的方程稱為微分方程。未知函數是一元函數的微分方程稱為常微分方程。未知函數是多元函數的微分方程稱為偏微分方程。6.1.2微分方程的階15定義2微分方程中所出現的未知函數的最高階導數的階數，稱為微分方程的階。一般地，一階微分方程的形式為

一般地，二階微分方程的形式為

一般地，n階微分方程的形式為

6.1.3微分方程的解16若微分方程的解中含有任意常數，且任意常數的個數等于微分方程的階數，則這樣的解稱為微分方程的通解。通解中的任意常數，根據某些條件確定后，對應的解稱為微分方程的一個特解。用于確定通解中任意常數的條件稱為初值條件。求微分方程滿足初值條件的特解的問題稱為微分方程的初值問題。6.1.3微分方程的解17解決初值問題的步驟大致如下（1）分析問題，建立微分方程，并列出初值條件。（2）求微分方程的通解。（3）利用初值條件，確定通解中的任意常數，從而解出微分方程的特解。6.1.3微分方程的解18例1一曲線上任意一點的切線斜率都等于這個點橫坐標的平方，且該曲線通過坐標原點(0,0)，求該曲線的方程。解設所求曲線的方程為y=f(x)，由導數的幾何意義可知,y=f(x)應滿足關系式

(6-11)又因曲線過點(0，0)，故所求曲線的方程還應滿足

(6-12)式（6-11）兩邊積分，得

(6-13)6.1.3微分方程的解19例1一曲線上任意一點的切線斜率都等于這個點橫坐標的平方，且該曲線通過坐標原點(0,0)，求該曲線的方程。其中C為任意常數將式（6-12）代入式（6-13），得0=0+C，解得C=0將C=0代入式（6-13），得所求曲線的方程為

課堂小結20微分方程的定義微分方程的階微分方程的解一階微分方程6.26.2.1可分離變量的微分方程22一般地，如果一個一階微分方程能化成:

的形式，也就是說，能把微分方程寫成一端只含y的函數和dy，另一端只含x的函數和dx，那么原方程就稱為可分離變量的微分方程。6.2.1可分離變量的微分方程23可分離變量的微分方程可采用分離變量法來求解，具體步驟如下：（1）將微分方程分離變量，化成

(6-14)(6-15)其中，G(y)，F(x)分別為G(y)，f(x)的原函數。6.2.1可分離變量的微分方程24

例1解：

所給微分方程是可分離變量的，分離變量后得

上式兩邊積分

得

從而

6.2.1可分離變量的微分方程25

例2解：

所給微分方程是可分離變量的，分離變量后得上式兩邊積分

得

從而

，即

(C為為任意常數)6.2.1可分離變量的微分方程26

例3解：

所給微分方程是可分離變量的，分離變量后得

上式兩邊積分

即

得

6.2.2齊次型微分方程27一般地，如果一個一階微分方程能化成:的形式，那么就稱該微分方程為齊次型微分方程，簡稱齊次方程。

（6-18）28齊次方程可通過引入新的未知函數，然后化成可分離變量的微分方程進行求解，具體步驟如下：6.2.2齊次型微分方程

y=xu，（2）微分方程（6-19）是可分離變量的，分離變量后得代入微分方程（6-18），得

（6-19）

上式兩邊積分得

296.2.2齊次型微分方程

例4

y=xu，代入所給微分方程，得

即

分離變量后得

上式兩邊積分

得

或

306.2.3一階線性微分方程

（6-20）

當Q(x)=0時，微分方程（6-20）變為

（6-21）是齊次的，稱為一階齊次線性微分方程，簡稱齊次線性方程。當Q(x)≠0時，微分方程（6-20）是非齊次的，稱為一階非齊次線性微分方程，簡稱非齊次線性方程。316.2.3一階線性微分方程1.齊次線性方程的解法齊次線性方程可通過分離變量法來求解，具體如下。齊次線性方程（6-21）是可分離變量的，分離變量后得

上式兩邊積分

得通解

或

326.2.3一階線性微分方程

例5解：

所給微分方程為齊次線性方程，分離變量后得

上式兩邊積分

得通解

即

336.2.3一階線性微分方程2.非齊次線性方程的解法求非齊次線性方程（6-20）的通解，可采用常數變易法，也就是將上述齊次線性方程通解中的常數C換成x的未知函數C(x)，即作變換

（6-22）于是

（6-23）將式（6-22）、式（6-23）代入式（6-20），得

即

346.2.3一階線性微分方程2.非齊次線性方程的解法兩邊積分得

把上式代入式（6-22）得非齊次線性方程（6-20）的通解為

非齊次線性方程的通解等于對應齊次線性方程的通解與非齊次線性方程的一個特解之和（6-24）356.2.3一階線性微分方程

例6解：

所給微分方程可化為

（6-25）這是非齊次線性方程。方法1（常數變易法）：

366.2.3一階線性微分方程

例6上式兩邊積分

得通解

即

代入微分方程（6-25）得

即

上式兩邊積分得

376.2.3一階線性微分方程

例6方法2（公式法）：

代入式（6-24）便得到所給微分方程的通解，即

386.2.3一階線性微分方程

例7解：

所給微分方程是非齊次線性方程，因為

代入式（6-24）便得到所給微分方程的通解，即

課堂小結39可分離變量的微分方程齊次型微分方程一階線性微分方程二階微分方程6.36.3.1可降階的二階微分方程411.y″=f(x)型微分方程微分方程y″=f(x)（6-26）的特點是右端僅含有自變量x，其解法是逐次積分兩次，具體如下:微分方程（6-26）兩邊積分得

上式兩邊再積分，便得到微分方程（6-26）的通解，即

42求微分方程y’’=xcosx的通解例16.3.1可降階的二階微分方程解：

所給微分方程兩邊積分得

上式兩邊再積分，便得到所給方程的通解，即

6.3.1可降階的二階微分方程43

微分方程y″=f(x,??′)（6-27）的特點是右端不顯含未知函數y，其解法如下:

對上式兩邊積分，便得到微分方程（6-27）的通解，即

44求微分方程xy’’-y’=0的通解例26.3.1可降階的二階微分方程

即

上式是可分離變量的方程，分離變量后得

上式兩邊積分，得其通解為

即y’=C1x，該式兩邊積分，便得到所給徽分方程的通解，即

6.3.1可降階的二階微分方程453.y″=f(y,??′)型微分方程微分方程（6-28）的特點是不顯含自變量x，其解法如下：

設y’=p，則利用復合函數的求導法則有

于是微分方程（6-28）可化為

上式分離變量并積分，便可得到微分方程（6-28）的通解。46

例36.3.1可降階的二階微分方程

在y≠0，p≠0時，約去p并分離變量后，得

上式兩邊積分，得其通解為P=C1y或

再分離變量并兩邊積分，便得到所給微分方程的通解，即

或

476.3.2二階線性微分方程形如（6-29）的二階微分方程，稱為二階線性微分方程，其中P(x),Q(x)及f(x)都是x的已知函數，f(x)稱為自由項

當P(x),Q(x)為常數時，微分方程（6-29）變為

（6-30）稱為二階常系數線性微分方程，當f(x)=0時，微分方程（6-30）變為

稱為二階常系數齊次線性微分方程；當f(x)≠0時，微分方程（6-30）稱為二階常系數非齊次線性微分方程。486.3.2二階線性微分方程1.二階常系數齊次線性微分方程的解法定理1若y1，y2是二階常系數齊次線性微分方程

（6-31）

由定理1可知，若求微分方程（6-31）的通解，只需要求出其任意兩個線性無關的特解y1，y2即可。

496.3.2二階線性微分方程1.二階常系數齊次線性微分方程的解法先分析微分方程（6-31）可能具有什么形式的特解，該方程的特點是y’’,y’,y各乘以常數因子后相加等于0，如果能找到一個函數y，使其與y’’,y’之間只差一個常數因子，那么這樣的函數就可能是微分方程（6-31）的特解。

506.3.2二階線性微分方程1.二階常系數齊次線性微分方程的解法

由于特征方程（6-32）是一元二次方程，它的根可用公式

求出。516.3.2二階線性微分方程1.二階常系數齊次線性微分方程的解法具體有以下三種不同情形（1）當p2-4q>0時，r1，r2是兩個不相等的實根，即

（2）當p2-4q=0時，r1，r2是兩個相等的實根，即

（3）當p2-4q<0時，r1，r2是一對共軛復根，即

526.3.2二階線性微分方程1.二階常系數齊次線性微分方程的解法r1，r2是兩個不相等的實根

536.3.2二階線性微分方程1.二階常系數齊次線性微分方程的解法r1，r2是兩個相等的實根

所以，微分方程（6-31）的通解為

546.3.2二階線性微分方程1.二階常系數齊次線性微分方程的解法r1，r2是一對共軛復根

556.3.2二階線性微分方程

例4解:

所給微分方程的特征方程為

解出特征根為

566.3.2二階線性微分方程

例5解:

所給微分方程的特征方程為

解出特征根為

因此，所求微分方程的通解為

將上式對x求導得

576.3.2二階線性微分方程

例6解:

所給微分方程的特征方程為

解出特征根為

所以α=3,β=2故所求通解為

586.3.2二階線性微分方程2.二階常系數非齊次線性微分方程的解法定理2若y*是二階常系數非齊次線性微分方程y’’+py’+qy=f（ⅹ）