章末復習課[整合·網絡構建][警示·易錯提醒]1．平行線等分線段定理的易錯點定理中的“一組平行線”是指每相鄰兩條直線間的距離都相等的平行線，若不滿足這一條件，則不能使用該定理．2．使用平行線分線段成比例定理的兩個易錯點(1)在使用定理進行證明時，容易以特殊代替一般，與平行線等分線段定理混淆而出錯．(2)在利用定理時，不會應用比例的性質而出現計算錯誤．3．相似三角形的兩個易錯點(1)在判定兩個三角形相似時，對判定定理中的“對應”二字把握不準確．(2)對相似三角形的性質理解不透而導致應用錯誤．4．直角三角形的射影定理的關注點由于射影定理得出的結論(等式)較多，在解有較復雜圖形的問題時，有時因選不準題目所需的等式，使得問題復雜化．專題一三角形相似的判定1．已知有一角對應相等時，可選擇判定定理1或判定定理2.2．已知有兩邊對應成比例時，可選擇判定定理2或判定定理3.3．判定直角三角形相似時，首先看是否可以用判定直角三角形相似的方法來判定，如果不能，再考慮用判定一般三角形相似的方法來判定．[例1]如圖所示，F是平行四邊形ABCD的一邊AD上的一點，且AF＝eq\f(1,2)FD，E為AB的中點，EF交AC于G點，O為AC的中點，已知AC＝10.(1)求證△AGF∽△OGE；(2)求AG的長．(1)證明：因為O為AC的中點，E為AB的中點，所以OE∥BC，又因為BC∥AD，所以OE∥AD，所以∠FAG＝∠GOE，∠AFG＝∠GBO，所以△AGF∽△OGE.(2)解：由(1)知△AGF∽△OGE，所以eq\f(AF,OE)＝eq\f(AG,OG)，又AF＝eq\f(1,2)FD，所以AF＝eq\f(1,3)AD，由題意知OE＝eq\f(1,2)AD，所以eq\f(AF,OE)＝eq\f(AG,OG)＝eq\f(2,3).所以AG＝2.[變式訓練]已知，如圖所示，D為△ABC內一點，連接BD，AD，以BC為邊在△ABC外作∠CBE＝∠ABD，∠BCE＝∠BAD，連接DE.求證：△DBE∽△ABC.證明：因為在△CBE和△ABD中，∠CBE＝∠ABD，∠BCE＝∠BAD，所以△CBE∽△ABD.所以eq\f(BC,AB)＝eq\f(BE,BD)，即eq\f(BC,BE)＝eq\f(AB,BD).又因為在△DBE和△ABC中，∠CBE＝∠ABD，∠DBC＝∠DBC，所以∠CBE＋∠DBC＝∠ABD＋∠DBC.所以∠DBE＝∠ABC.又eq\f(BC,BE)＝eq\f(AB,BD)，所以△DBE∽△ABC.專題二相似三角形性質的應用相似三角形的性質主要有如下幾方面的應用：(1)可用來證明線段成比例、角相等；(2)可間接證明線段相等；(3)為計算線段長度及角的大小創造條件；(4)可計算周長、線段長等．[例2]如圖所示，在△ABC中，∠BAC＝90°，BC邊的垂直平分線EM和AB交于點D，和CA的延長線交于點E.連接AM，求證：AM2＝DM·EM.證明：因為∠BAC＝90°，M是BC的中點，所以AM＝CM，所以∠MAC＝∠C.因為EM⊥BC，所以∠E＋∠C＝90°.又因為∠BAM＋∠MAC＝90°，所以∠E＝∠BAM.因為∠EMA＝∠AMD，所以△AMD∽△EMA，所以eq\f(AM,DM)＝eq\f(EM,AM)，所以AM2＝DM·EM.[變式訓練]如圖所示，AD，CF是△ABC的兩條高線，在AB上取一點P，使AP＝AD，再從點P引一條BC的平行線與AC交于點Q，求證PQ＝CF.證明：因為AD⊥BC，CF⊥AB，所以∠ADB＝∠BFC.又因為∠B＝∠B，所以△ABD∽△CBF，所以eq\f(AD,CF)＝eq\f(AB,CB).又因為PQ∥BC，所以△APQ∽△ABC.所以eq\f(PQ,BC)＝eq\f(AP,AB)，所以eq\f(AP,PQ)＝eq\f(AB,BC)，所以eq\f(AD,CF)＝eq\f(AP,PQ).又因為AD＝AP，所以PQ＝CF.專題三函數與方程的思想在相似三角形中，存在多種比相等的關系，利用這些相等關系，可以構造函數的模型，利用函數的性質解決問題，也可以將相等關系轉化為方程的形式，利用方程的思想解決問題．[例3]如圖所示，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝8，AC＝6，若動點D從點B出發，沿線段BA運動到點A停止，運動速度為每秒2個單位長度，過點D作DE∥BC交AC于點E，設動點D運動的時間為x秒，AE的長為y.(1)求出y關于x的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；(2)當x為何值時，△BDE的面積S有最大值，最大值是多少？解：(1)因為DE∥BC，所以△ADE∽△ABC，所以eq\f(AD,AB)＝eq\f(AE,AC).又因為AB＝8，AC＝6，AD＝8－2x，AE＝y，所以eq\f(8－2x,8)＝eq\f(y,6).所以y＝－eq\f(3,2)x＋6，自變量x的取值范圍是[0，4]．(2)S＝eq\f(1,2)BD·AE＝eq\f(1,2)×2x·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)x＋6))＝－eq\f(3,2)×x2＋6x＝－eq\f(3,2)(x－2)2＋6，所以當x＝2時，Smax＝6.[變式訓練]如圖所示，在△ABC和△DBE中，eq\f(AB,DB)＝eq\f(BC,BE)＝eq\f(AC,DE)＝eq\f(5,3).(1)若△ABC與△DBE的周長之差為10cm，求△ABC(2)若△ABC與△DBE的面積之和為170cm2，求△DBE解：(1)因為eq\f(AB,DB)＝eq\f(BC,BE)＝eq\f(AC,DE)，所以△ABC∽△DBE.所以eq\f(△ABC的周長,△DBE的周長)＝eq\f(AB,DB)＝eq\f(5,3).設△ABC的周長為5x，則△DBE的周長為3x，依題意得5x－3x＝10，解得x＝5.所以△ABC的周長為25cm.(2)因為△ABC∽△DBE，所以eq\f(S△ABC,S△DBE)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AB,DB)))eq\s\up12(2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)))eq\s\up12(2)＝eq\f(25,9).設S△ABC＝25x，則S△DBE＝9x.依題意有25x＋9x＝170，解得x＝5.所以△DBE的面積為45cm2專題四轉化思想在證明一些等積式時，往往將其轉化為比例式，當證明的比例式中的線段在同一直線上時，常轉化為用相等的線段、相等的比、相等的等積式來代換相應的量，證明比例式成立也常用中間比來轉化證明．[例4]如圖所示，AC∥BD，AD，BC相交于E，EF∥BD，求證eq\f(1,AC)＋eq\f(1,BD)＝eq\f(1,EF).證明：由題意知AC∥EF∥BD，所以eq\f(EF,AC)＝eq\f(BF,AB)，eq\f(EF,BD)＝eq\f(AF,AB)，所以eq\f(EF,AC)＋eq\f(EF,BD)＝eq\f(AF＋BF,AB)＝eq\f(AB,AB)＝1，即eq\f(1,AC)＋eq\f(1,BD)＝eq\f(1,EF).[變式訓練]如圖所示，在銳角△ABC中，AD，CE分別是BC，AB邊上的高，△ABC和△BDE的面積分別等于18和2，且DE＝2eq\r(2)，求點B到直線AC的距離．解：因為AD⊥BC，CE⊥AB，所以∠ADB＝∠CEB＝90°.又因為∠B＝∠B，所以△ADB∽△CEB，所以eq\f(BD,BE)＝eq\f(AB,BC)，所以eq\f(BD,AB)＝eq\f(BE,BC).又因為∠B＝∠B，所以△BED∽△BCA，所以eq\f(S△BED,S△BCA)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(ED,AC)))eq\s\up12(2)＝eq\f(2,18)＝eq\f(1,9).又因