高斯求積公式數值微分課件一、高斯點定義：高斯公式機械求積公式含有2n+2個待定參數

若適當選擇這些參數使求積公式具有盡量高次（2n+1次?!）代數精度，則這類公式稱為高斯公式。(4.1)一、高斯點定義：高斯公式機械求積公式含有2n+2個待定參數定義：高斯公式的求積節點稱為高斯點。???請回顧:以前學過的梯形公式、辛甫生公式、柯特斯公式、中矩形公式是高斯公式嗎？

除中矩形公式外都不是！注：機械型高斯求積公式一定是插值求積公式。定義：高斯公式的求積節點稱為高斯點。???請回顧:以前學過的舉例求

[a,b]上的兩點高斯公式。解

設兩點高斯公式為舉例求[a,b]上的兩點高斯公式。解設兩點高斯公式為這是關于四個未知數的非線性方程組，是否有解？一般難于求解…要求其代數精度最高，四個未知數，可列出4個方程:這是關于四個未知數的非線性方程組，是否有解？一般難于求解…要高斯點具有以下性質：定理插值型求積公式(4.1)成為Gauss求積公式的充要條件：求積節點為n+1次正交多項式的零點。如何求高斯公式?高斯點具有以下性質：定理插值型求積公式(4.1)成為Gaus正交多項式概述：正交多項式概述：首先證明對于任給節點x0，x1，…，xn，均存在某個次數為2n+2的多項式f(x),機械型求積公式不能精確成立，即其最高代數精度不能達到2n+2。如取：證明則有：首先證明對于任給節點x0，x1，…，xn，均存在某個設求積節點為n+1次正交多項式ωn+1(x)

的零點。現證充分性。即求積公式是高斯型。證明設求積節點現對于任意給定的次數不超過2n+1的多項式f(x),用除f(x)，記商為P(x)，余式為Q(x)，即≤2n+1n+1≤

n≤n由已知條件，ω(x)與P(x)正交，故得現對于任意給定的次數不超過2n+1的多項式f(x),即≤2由于所給求積公式(4.1)是插值型的，它至少具有n次代數精度，故對Q(x)能準確成立：再注意到ω(xk)=0，知Q(xk)=f(xk)，從而有綜之得：這說明公式對一切次數不超過2n+1的多項式準確成立，綜之說明xk是高斯點。由于所給求積公式(4.1)是插值型的，它至少具再注意到ω(x再證必要性，即若是高斯求積公式設P(x)是任意次數不超過n

的多項式，則P(x)ω(x)的次數不超過2n+1，因此應準確成立但故.求積節點構造的再證必要性，即若是高斯求積公式設P(x)是任意次數不超過n注：1、總可通過施密特正交化求出[a,b]上與所有次數不超過n的多項式都正交的多項式ωn+1(x)。2、命題：n次正交多項式有n個單零點。注：1、總可通過施密特正交化求出[a,b]上與所有次數不超解：設P0(x)=C，ω1(x)=x–x0。由于即展開，得則一個點的高斯公式為中矩形公式例.求[-1，1]上與次數為0的多項式正交的多項式ω1(x)=？解：設P0(x)=C，ω1(x)=x–x0。由于即展開二、高斯—勒讓得公式若[a,b]=[-1,1]，其上的高斯公式為稱為高斯-勒讓得公式。[-1，1]上的正交多項式稱為勒讓得多項式，勒讓得多項式Pn+1(x)的零點就是高斯點。二、高斯—勒讓得公式若[a,b]=[-1,1]，其上的高幾個Legandre多項式：幾個Legandre多項式：

若取P1(x)=x

的零點x0=0作求積節點構造公式：令它對f(x)=1準確成立，即可定出A0=2.從而得到一點高斯公式：中矩形公式若取P1(x)=x的零點x0=0作求積節點令它對f(x)=1,x

準確成立，即可定出A0,A1可得兩點高斯—勒讓得公式為若取的零點作求積節點構造公式注：更高階的公式見書p122。令它對f(x)=1,x準確成立，即可定出A0,A???請思考:高斯—勒讓得公式的求積區間是[-1，1]，那么對于任意求積區間[a,b]如何辦？解作變換可以化到區間[-1，1]上，這時???請思考:高斯—勒讓得公式的求積區間是[-1，1]，那么三、帶權的高斯公式（更一般的表現形式）有時需要求如下帶權的積分：稱上述ρ(x)≥0是權函數。三、帶權的高斯公式（更一般的表現形式）有時需要求如下帶權的積定義：若求積公式具有2n+1次代數精度，則稱這類公式為帶權的高斯公式.高斯點我們類似的可有：定義：若求積公式具有2n+1次代數精度，則稱這類公式為帶權的定理是高斯點的充要條件：是區間[a,b]上帶權ρ(x)正交的多項式。定理是高斯點的充要條件：是區間[a,b]上帶權ρ(x)正交若[a,b]=[-1，1]，權函數為所建立的高斯公式切比雪夫—高斯公式稱為切比雪夫—高斯公式。xk是切比雪夫多項式的零點。若[a,b]=[-1，1]，權函數為所建立的高斯公式切4.7.4Gauss-Chebyshelv

quadratureformula4.7.4Gauss-Chebyshelv

quadrRemark1threetermrecurrenceformula

v.s.

Schmidtorthogonolization;Remark2Tnare

perpendicular

polynomials;Remark1threetermrecurrenc高斯求積公式數值微分課件Atlast,we’llstatetheerrorestimationoftheGauss-Chebyshelvformulawithouttheproof:Atlast,we’llstatetheerrorAccordingtotheerrorestimationoftheGauss-Typeformula,wehave:

AccordingtotheerrorestimatConsultthetableinp122.Consultthetableinp122.高斯求積公式數值微分課件構造高斯公式的一般方法：1、構造正交多項式，繼而求其零點，再按插值求積公式獲得高斯公式；2、待定系數法此外，還可涉及到無窮區間上的廣義積分等。例如：---拉蓋爾-高斯積分構造高斯公式的一般方法：1、構造正交多項式，繼而求其零點，再舉例要構造下列形式的高斯公式解則其代數精度應為即求解…?!舉例要構造下列形式的高斯公式解則其代數精度應為即求解…?!定理（穩定性）高斯求積公式的求積系數Ak>0.證明：事實上這表明高斯求積法是穩定的。定理（穩定性）高斯求積公式的求積系數Ak>0.證明：事實上關于積分余項和收斂性有：積分余項：收斂性：設f(x)∈C[a,b],則有：關于積分余項和收斂性有：積分余項：收斂性：設f(x)∈4.1NumericalDifferentiationHowever,(i)Thereisnoerrorestimation;(ii)ArethereanyothernumericalmethodsforND?Howtoconstructthem&whatabouterror?Toanswerthesequestions,weobservefirst:4.1NumericalDifferentiationHErrorBoundErrorBound高斯求積公式數值微分課件高斯求積公式數值微分課件Calledforwarddifference¢raldifferenceformula.Therearealsobackwarddifferenceformulas.Calledforwarddifference&ceFive-pointformulabelowcanbeobtainedsimilarly:Itthenbecalledcompactform.Five-pointformulabelowcanbForhigherorderderivatives,itcanalsobeobtainedbyinterpolationliketothe1storderderivativeusingmorepoints.

Alternately,wecanobtaintheformulaswhicharealgebraicallytediousbyTaylor’sexpansionsuchas:Cf.theresultsobtainedbythetwomethods.ForhigherorderderivativesBalancebetweenround-off&truncatederrorBalancebetweenround-off&tr4.2Richardson’sExtrapolation(1927)Richardson’sExtrapolationisusedtogeneratehigh-accuracyresultswhileusinglow-accuracyformulas.4.2Richardson’sExtrapolation高斯求積公式數值微分課件ThencombinedwiththeformulaofN2(h)toeliminatetheh2term,weobtain:Whichposseshigherordertruncatederror!Thencombinedwiththeformula高斯求積公式數值微分課件Thegeometryexplanation(Forh→0,theapproximationshouldbeaccuracy):Relatedtopic:steffensen’saccelerationforconvergentlinearlyiterativesequence.ThegeometryexplanationRelateNumericalDifferentiationRevisit

-------UsingExtrapolationMethodNumericalDifferentiationReviThetechniqueofRichardson’sextrapolationisalsousedinapproximatingdefiniteintegralsandindeterminingapproximatesolutiontodifferentialequationsinlaterChapters.ThetechniqueofRich