5污染源的判定在問題（2）中，通過考慮不同的條件，建立了三個模型，首先單獨作分析，然后綜合三個模型得出結論，具體情況分析如下：1、差分方程反演模型的建立與求解1.1模型I的建立問題II研究和分析的是長江干流近一年多來受高錳酸鉀鹽指數及氨氮的污染源情況，建立該模型主要考慮以下幾個因素：一、 濃度是隨時間、距離變化的量。二、 長江中的水流量及水中污染物在消耗減少，同時也在補充，支流以及沿干流的排污都是其“外援”。三、 長江自身具有自凈能力，由于降解系數九介于0.1?0.5之間，我們考慮九取其值0.2。四、 考慮河流在受污染時的擴散能力，其擴散系數為E。根據以上考慮的因素及流體力學的基本理論，我們建立一個反應擴散方程來反映長江流域污染物濃度的變化情況：5-1-1空+v空=E也+f(x,t)-wdt dx dx25-1-1其中，W為污染物質在長江內濃度；v為該段河流水流速度；f為外界輸入的污染物濃度，根據現有數據資料，我們不妨先假設，在任意一個分段內f為常數，即f整個是一個分段的常數函數。E為擴散系數，九為降解系數。1.2差分方程反演模型對污染源的判定根據每一段已經給出的數據，我們確定每一小段的水流速度：。i首先考慮整條長江流域的平均流速一1二v= ￡v 5-1-2其中v是i=17ii=1第I個干流站點的水流速度。假設考慮權重0<0(X)<1,可以用于表示任一小段的平均水流速度，并且和整條長i江的平均水流速度聯系到起來，表示如下：v=v+0(v-v)+(1-0)(v一v) 5-1-3I II I 1+1其中，I=1…6。由于沿長江往下，水流速度在逐漸減少，在上游速度比較大時可以用后一個點的流速決定該流水段的水流速度，到下游時可以將權重逐漸轉移到了v上，由此我們取I0(x)=x/3251，其中3215是干流上站點之間的總間隔。表示從上游往下權重的變化I I+1情況。依據上述方程5-1-3可以依次解出7(i=1???6)。用下表列出結果(表5-1-1)：I表5-1-1各段的平均流速：第一段第二段第三段第四段第五段第六段第1月2.56751.53780.90.919321.01431.1第2月2.4261.38470.83470.938631.11.1第3月2.6261.67841.23471.33861.51.5第4月2.8261.87841.43471.51.51431.6第5月2.59681.77211.41.41931.52851.7第6月4.88773.34771.76941.93862.28553.4第7月2.53381.92521.53471.61.61431.7第8月2.13381.33780.73470.819320.90.9第9月1.96751.12520.73470.80.80.8第10月1.67531.03150.53470.619320.70.7第11月1.29220.718920.469390.619320.70.7第12月1.19220.665760.469390.638630.80.8第13月1.4630.825220.43470.538630.714270.8從資料⑴中我們查得，擴散系數E取13Km2/天。d dw dwJwdx+v（w一w）=E（lx一IdtX i IT QxIidx1I一1Qw1 dxJJ一』+匚一九xId dw dwJwdx+v（w一w）=E（lx一IdtX i IT QxIidx1I一1Qw1 dxJJ一』+匚一九xI-1其中Ax =x一xI一1 I I一1對上式進行處理，含積分項利用梯形公式，含偏導數項利用一階向前差商，得到fni的表達式：. (Wn+1+Wn+1)-(Wn+W")Vn=i i-1 i i-1+ (W"—W")TOC\o"1-5"\h\zi-1 2At Ax i i-15-1-45-1-5n i—15-1-45-1-5E.Wn—WnWn—Wn九— (—i+1 匚—i i-L)+ (Wn—Wn)Ax Ax Ax 2i i-1i—1 i i—1其中n= ,i= 。當n=13,i=時，時間偏導的差分用向后差商，得到的結果為:(W13+W13)—(W12+W12)vf13=i i—1 i i—1+ (W12—W12)i-1 2At Ax i i—1n i—1E,W12—W12 W12—W12 九— (—i+1 i—-i i—1)+ (W12-W12)Ax Ax Ax 2i i—1i—1 i i—1當i=7,n=1,…,13時，擴散項對距離偏導的差分用向后差商處理，得到結果如下:(Wn+1+Wn+1)—(Wn+Wn) vfn= 7 6 7 6+ (Wn—Wn)6 2At Ax 7 65-1-6n65-1-6E/Wn—Wn Wn—WnX. .— (—7 6— 6 d)+ (Wn—Wn)Ax Ax Ax 2 7 66651.3模型的結果與分析根據表達式5-1-4,5-1-5,5-1-6，利用Matlab編程代入數據分別求解出污染物高錳酸鉀鹽在各段流域的/的值（程序見附錄2程序1），由于f表示的是長江水流中污染物的濃度，所以f總是不小于零的數，故將其中負數歸零處理（其它關于f的數值同樣處理），列入下表（表5-1-2）：

表5-1-2高錳酸鉀鹽的f值鉀鹽第一段第二段第三段第四段第五段第六段第1月0.871920.339570.7850.564790.526740.17498第2月0.169950.669680.78130.578860.653240.18947第3月0.672740.824140.650680.4135900.47018第4月0.836330.605761.0490.2570100.38149第5月00.771460.989130.20470.0860610.30163第6月0.159310.366510.92202000.83506第7月0.464330.955710.607950.0875170.576890.33663第8月0.293070.371780.585910.440010.43340.32784第9月0.229630.49910.785280.442480.163450.43812第10月0.268560.398611.04470.440880.58720.49527第11月0.380780.399250.659980.612690.41070.4394第12月0.388420.421370.810660.319250.826570.30398第13月0.431420.483310.562640.389470.539840.24891年度和5.166467.1062510.234254.7512474.8040914.94296對表5-1-2進行分析，可以看出在一年多時間里，每個月的高錳酸鉀鹽的f的最大值主要分布在第三段，即湖北宜昌南津關到湖南岳陽城陵磯，年度和最大的兩個也是第三段，因此主要受高錳酸鉀鹽污染的河段有第三段。同樣根據表達式5-1-4，5-1-5，5-1-6，可以編程代入數據求解出污染物氨氮在各段流域的f的值，列入下表（表5-1-3）：表5-1-3氨氮的f值氨氮第一段第二段第三段第四段第五段第六段第1月0.0496770.0597490.052530.0547640.0219590第2月0.076130.060780.0668260.0371040.0619270第3月0.0554350.0788250.0688810.0040570.0488330第4月0.0738180.0301520.114790.0009730.0862570第5月00.041430.0960560.03460100第6月0.0571150.09350.0628740.03826500第7月0.0659020.0468280.102830.0084930.018670第8月0.078090.0492040.0771370.03568800.006414第9月0.136290.024750.0739640.0200550.0369460.021029第10月0.134120.0388270.0869220.039350.0356370.04578第11月0.118690.0434410.0867090.0233710.0499410.061985

第12月0.10920.0476050.0836540.0192540.0838360第13月0.142370.0306550.0816170.0304230.0319260.044131年度和1.0968370.6457461.054790.3463980.4759320.179339對表5-1-3進行分析，在一年多時間里，每個月的氨氮的f的最大值主要分布在第一段和第三段，即四川攀枝花到重慶朱沱，年度和最大的兩個也是第一段和第三段，因此主要受污染的河段有第一段和第三段，兩者中第一段污染是在最后半年內劇增的，在后半年內污染最重。第三段的污染一直處于平穩增加的狀態，污染也在一步步加劇。綜合該六段水域在近一年多內受兩種污染物污染的情況，可以得出污染物高錳酸鉀鹽指數的污染源主要在第三段，污染物氨氮的污染源主要在第一段和第三段。另外，分析差分方程空+v空=E凹+f(x,t)-九w中的擴散項E旦及濃度隨時dt dx 0X2 0X2間變化率，根據其差分格式計算出結果，可以觀察得出其中擴散項非常小，接近于零；又將濃度隨時間的變化率項0w與平流項v0w兩者的絕對值作比較，濃度隨時間的變化0t 0X率在短時間內很小，而平流項是一個不小的數值，因此可以將濃度隨時間的變化率項0W0t省略。通過兩者的實際數據(分別在表F—1和表F—2中(見附錄1)),可以觀察得出v0W的絕對值遠大于0W絕對值，因此在實際計算中，擴散項E也及濃度隨時間變化0x 0t 0x2率項0w省略對整個等式不影響。0t2、微分方程反演模型對污染源的判定2.1微分模型的建立與求解對反應擴散方程5-1-1進行簡化，考慮以下兩點：一、考慮在一個很小的時間段內任一處濃度的變化比較小，將反應擴散方程的項0W0t忽略不計，簡化方程式為：0W00W0X02w=E+f(x)一九w0x25-2-1二、進一步省略5-2-1中的擴散項，即將擴散系數視為零，物理上即是考慮理想情況下，污染物在水中擴散的過程省略，即將擴散視為在瞬間完成，可以得出E=0。方程式5-2-1在固定時刻t可以變化為常微分方程：v=f(x)一九w 5-2-2dx

參照模型I中對擴散項E竺及濃度隨時間變化率項空定量分析的出的結果，說ox2 dt明這樣考慮是完全可行的。根據17個觀察點在長江流域的分布情況，干流的七個觀察點相鄰兩點之間作為一小段。把支流也看作是污染源，即我們反演出的將濃度隨時間的變化率項f中會有支流的影響。（如下圖）：必 A 必C D假設CD兩點之間的距離為A，以某一種污染物質為例，假設該物質在兩點的濃度分別為：、w，以這三個數為初始條件解出w（x）以及該段的污染源排出的污染物濃0A度f，其數學模型為：vdw=f(x)-Xwdx5-2-3=wAA對該微分方程積分求解w(x)= 1w(x)= 1-e-vAr(XXJ(Xwev-e-v+w1一-xev0A丿V丿_f的表達式1）Av九九

__A1—evw-weA02.2模型的結果與分析根據得出的速度V以及已知數據，代入（f的表達式1）,利用MATLAB軟件編程i可以分別求出高錳酸鉀鹽f值大小（程序見附錄2程序2），結果如下表（表5-2-1）：

表5-2-1高錳酸鉀鹽的f值第一段第二段第三段第四段第五段第六段第1月0.877140.323170.784860.548280.515940.1429第2月0.155360.659890.780290.578880.688530.19081第3月0.676310.843150.645310.3890100.47646第4月0.812870.627571.06440.2449100.3809第5月00.744790.995330.190210.0962330.2946第6月0.281610.39930.9278000.83685第7月0.435781.01130.650890.0785080.570870.3346第8月0.311250.372960.576650.414250.440.32519第9月0.230840.535620.789020.386140.142390.42121第10月0.267360.405361.16130.381470.575560.4945第11月0.400150.403560.679910.616350.428890.43801第12月0.410050.422870.886510.270240.836410.29637第13月0.451490.490170.59390.376240.545530.24344年度和5.310217.2397110.536174.4744884.8403534.87584對（表5-2-1）分析可以得出，第三段為主要污染源。同樣根據得出的速度7以及已知條件可以分別求出每一個月每一段的對氨氮的fi值大小，如下表所示（表5-2-2）：表5-2-2氨氮的f值第一段第二段第三段第四段第五段第六段第1月0.0508570.0593920.0508650.0547930.0219710第2月0.0811080.0622460.066010.0357760.0645580第3月0.0573670.084630.0718230.000890.0478890第4月0.059780.0295130.1168700.0861160第5月00.0402690.0963850.03371700第6月0.056640.0944910.0629560.03775600第7月0.0677090.0460.103920.0059670.0189130第8月0.0772980.0458890.0817110.03498800.003909第9月0.143790.0143030.0741390.0123050.0345870.017172第10月0.142610.0304720.0928320.0343370.0372220.045099第11月0.127840.0294190.0943140.0150530.0498890.069146第12月0.118520.0329840.0916490.0099020.0855210

第13月0.156320.0132890.0920620.0206070.0328510.043535年度和1.1398390.5828971.0955360.296090.4795170.178861對（表5-2-2）進行分析，在一年多時間里，每個月的氨氮的f的最大值主要分布也是在第一段和第三段，年度和最大的兩個也是第一段和第三段，因此主要受污染的河段有第一段和第三段，兩者中第一段污染是在最后半年內劇增的，在后半年內污染最重。第三段的污染一直處于平穩增加的狀態，污染也在一步步加劇。綜合該六段水域在近一年多內受兩種污染物污染的情況，可以得出污染物高錳酸鉀鹽指數的污染源主要在第三段，污染物氨氮的污染源主要在第一段和第三段。3、含支流的微分方程反演模型3.1模型III的建立與求解考慮兩站點之間出現支流情況，根據地圖描述的相鄰干流站點間出現支流數量將這類情況分為兩種，并可以依據地圖近似得出支流入口處距相鄰兩干流站點的距離（參考問題I）：一）兩站點間只有一個支點情況（如圖5-3-1）假設C、D各點的濃度和支流上站點（也即看作是支流入口點處）的濃度分別為w、1w、w，當支流匯入長江時，支流入口處干流上的點E的濃度發生突變，因此該點處23三個方向的濃度是不同的，具體假設用下圖（圖5-3-2）說明：2

2（圖5-3-2）假設在E點處突變后三處的單位時間水流量分別為p、p、p「則有:1235-3-1wp+wp5-3-1w二一1+1 3321 p+p13f是在分段的常數函數，在某一個CD段內f是不變的待定常數。由C到E、C到D點，兩段距離可以依據地圖近似測量，分別記為E、D,根據兩點間無支流情況得出兩個含邊界條件的微分方程：首先由C到E點有|vdw=f(x)-Xwdxw=ww|=wE 11積分后代入邊界條件消去積分常數可以得出：w11(w11(w15-3-2同理可以得出E到D點微分方程:(vdw=f(x)-Xwdxw\=w ，w=wC2積分后代入邊界條件消去積分常數可以得出5-3-3w-f=(w-X)e-f(D-E)5-3-32X21X根據方程式（8--1）、（8--2）、（43）可以消去wn和wi2，求解出f的表達式2為:Xwpe-vE-w(p+p)ev(D-E)+wp1 1 2 1 3 3 3 x x (f表達式2)。pe-vE-(p+p)ev(D-E)+p1 1 3 3二)兩站點間有兩個支點情況(如圖5-3-3)w1Cw1CE和F中點圖5-3-3)由于題目給出支流的信息不多，為簡化模型我們做一些必要的假設如下：一、假設各個支流進入長江前的污染物濃度取決于該支流上距干流最近的一個觀察站點，即上圖各支流的污染物濃度為A觀察站和B觀察站的污染物濃度。二、假設支流污染物進入長江后使得入口處污染物濃度立即變化，這種變化我們視為一種突變。記干流上的點E、F、D與段始點C的距離分別用E、F、D表示。由A?E根據微分方程可以得到：{vdw=f(x)-Xwdxw\=w ，保留常數C得出微分結果：1-Xfw(x)=Ce-vx+1X5-3-4C丄f5-3-4C+—=w1X1X-f則水流到達E處發生突變前時，w(E)=Ce-vE+f。1X由于支流路口處發生突變，所以在E~F時，E處的某種污染物的濃度發生變化，根據方程組5-3-4得出的結果，假設在E~F這段流域內的常數變為C，則此時E處的某2一 Xf污染物濃度為：w(E)