2021年山東省聊城市高考數學模擬試卷（三）（三模）

一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分。在每小題給出的四個選項中.

只有一項是符合題目要求的

1.（5分）己知集合4={1,2},B={a,/+3},若ACB={1},則實數。的值為（）

A.1B.-IC.2D.-2

2.（5分）已知a€R,i為虛數單位，若生迅為實數，則a的值為（）

2+4i

A.3B.2C.上D.衛

2332

2

3.（5分）函數f（x）=T^^的圖象大致為（）

4.(5分)已知直線/：(“-1)x+y-3=0,圓C：(x-1)2+9=5.則％=1"是"/與

C相切”的（）

A.必要不充分條件B.充分不必要條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

5.（5分）聲強級。（單位:48）由公式LT=101g（―二）給出，其中為聲強（單位：W/nr）.一

10-12

般正常人聽覺能忍受的最高聲強級為12（WB,平時常人交談時強級約為6048,那么一般

正常人能忍受的最高聲強是平時常人交談時聲強的（）

A.IO4倍B.d倍C.心倍D.IO7倍

6.（5分）在某次脫貧攻堅表彰會上，共有36人受到表彰，其中男性多于女性.現從中隨

機選出2人作為代表上臺領獎，若選出的兩人性別相同的概率為工，則受表彰人員中男

2

性人數為（）

A.15B.18C.21D.15或21

7.（5分）在△ABC中，\AB\=3,\AQ=4,18cl=5,“為BC中點，。為△ABC的內心,

Ji.A0=XAB+IJlAM.則入+〃=（）

5

AC.D.1

-n6

22

8.（5分）已知A,B,C是雙曲線三一一■b>0）上的三點，直線A3經過原點

22

ab

O,AC經過右焦點R若B/_LAC,且樂得而，則該雙曲線的離心率為（）

cD

A?亨i-f

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個選項中，有

多項符合題目要求全部選對的得5分，部分選對得2分，有選錯的得。分

9.（5分）對具有相關關系的兩個變量x和y進行回歸分析時，經過隨機抽爛獲得成對的樣

本點數據（xi,yi）（i=l,2,"），則下列結論正確的是（）

A.若兩變量尤，y具有線性相關關系，則回歸直線至少經過一個樣本點

B.若兩變量x,y具有線性相關關系，則回歸直線一定經過樣本點中心丘，y）

C.若以模型>=4/*.擬合該組數據，為了求出回歸方程，設z=/〃y,將其變換后得到線

性方程z=6x+加3,則a,b的估計值分別是3和6.

n__

E（y-yp2

D.用產=i一個-----------來刻畫回歸模型的擬合效果時，若所有樣本點都落在一條

Z（Yi-y）2

i=l

斜率為非零實數的直線上，則N的值為1

10.（5分）將函數y=sin2x+?cos2x+l的圖象向右平移三個單位長度，再將所有點的橫

12

坐標縮短到原來的工，縱坐標不變，得到函數g（x）的圖象，則下面對函數g（X）的敘

2

述中正確的是（）

A.函數g（x）的最小正周期為三

2

B.函數g（無）圖象關于點（令，0）對稱

C.函數g（x）在區間小，看］內單調遞增

D.函數g（x）圖象關于直線對稱

12

11.（5分）已知實數。、h,下列說法一定正確的是（）

A.若a<b,則g”<心）a<（&）a

B.若匕>。>1,則log?<—

iOSab2

C.若a>0,b>0,a+26=l,則的最小值為8

ab

D.若h>a>0,則上包〉上曳

.22

ba

12.（5分）已知等邊三角形ABC的邊長為6,M,N分別為AB,AC的中點，將△AMN沿

MN折起至△4'MN,在四棱錐A'-MNCB中，下列說法正確的是（）

A.直線MN〃平面A'BC

B.當四棱錐A'-MNCB體積最大時，二面角A'-MN-B為直二面角

C.在折起過程中存在某位置使8NL平面A'NC

D.當四棱A'-MNCB體積最大時，它的各頂點都在球。的球面上，則球。的表面積

為39n

三、填空題：本太題共4小題每小題5分，共計20分，押答家填車答陽專相應的位置上.

13.（5分）數列1,1,2,3,5,8,13,21,31,…你為斐波那劃數列，是意大利著名數

學家斐波那契于1202年在他寫的《算盤全書》提出的，該數列的特點是：從第三起，每

一項都等于它前面兩項的和.在該數列的前2021項中，奇數的個數為

14.（5分）曲線y=ex+x2-3x在x=0處的切線的傾斜角為a,則sin（2a+'5）

15.（5分）已知點A（0,5）,過拋物線7=12y上一點P作y=-3的垂線，垂足為8,若

\PB\=\PA\,則|PB|=

16.（5分）已知函數f6）=（弋）？+（a-2）《+2-a有三個不同的零點”，⑼對其中

ee

X1cXXQ

X1<X2<X3,貝IJ（1--）2（1一乙9）（1-3-）的值為.

X?X—c

e1e2e3

四、解答題：本大題共6個小題，共計70分，請在答題卡指定區域作答解答時應寫出文字

說明、證明過程或驗算步驟.

17.（10分）在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為“，b,c,且10si薩=7-cos2B，

（1）求角B的大小；

(2)己知點。滿足而q而，且若$△軸口色譽，AD=>/7，求AC.

18.(12分)在①m,。3,“21成等比數列②S4=28,③S“+I=S”+Z+4,這三個條件中任選一

個，補充在下面的問題中，并做出解答.

已知｛析｝是公差不為零的等差數列，際為其〃前項和，42=5,，｛尻｝是等比數列,

歷=9,。1+加=30,公比q>l.

(1)求數列｛。外，｛%｝的通項公式；

(2)數列｛“"｝和｛瓦｝的所有項分別構成集合A,B,將4UB的元素按從小到大依次排列

構成一個新數列｛Cn｝,求780=CI+C2+C3++C80.

19.(12分)如圖，在平面四邊形ABC￡>中，BC=CD,BC1.CD,ADLBD,以8。為折痕

把折起，使點A到達點P的位置，且PCLBC.

(1)證明：PDLCD-,

(2)若“為PB的中點，二面角尸-BC-O的大小為60°,求直線PC與平面所

成角的正弦值.

20.(12分)2021年3月5日李克強總理在政府作報告中特別指出：扎實做好碳達峰，碳中

和各項工作，制定2030年前碳排放達峰行動方案，優化產業結構和能源結構.某環保機

器制造商為響應號召，對一次購買2臺機器的客戶推出了兩種超過機器保修期后5年內

的延保維修方案：

方案一；交納延保金5000元，在延保的5年內可免費維修2次，超過2次每次收取維修

費1000元;

方案二：交納延保金6230元，在延保的5和內可免費維修4次，超過4次每次收取維修

費f元：

制造商為制定的收取標準，為此搜集并整理了200臺這種機器超過保修期后5年內維修

的次數，統計得到下表

維修次數0123

機器臺數20408060

以這200臺機器維修次數的頻率代替1臺機器維修次數發生的概率，記X表示2臺機器

超過保修期后5年內共需維修的次數.

(1)求X的分布列；

(2)以所需延保金與維修費用之和的均值為決策依據，為使選擇方案二對客戶更合算，

應把，定在什么范圍？

21.(12分)已知圓尸[:(x+1)2+y2==2,圓尸2：(x-1)2+y2=(4-r)2,0<r<4.當

，?變化時，圓Fi與圓F1的交點P的軌跡為曲線C,

(1)求曲線C的方程；

(2)已知點p(l,1),過曲線C右焦點五2的直線交曲線C于A、8兩點，與直線x=

加交于點。是否存在實數相，入，使得如4+&PB=入kPQ成立，若存在，求出機，入；若不存

在，請說明理由.

22.(12分)已知/(x)-ax1-x-1.

(1)當時，求/(K)的極值點個數；

2

(2)當x€[0,+8)時，/(x)20,求〃的取值范圍；

(3)求證：—一2_+...H—2其中尤N*.

2eT2e2-l2en-l2

2021年山東省聊城市高考數學模擬試卷（三）（三模）

參考答案與試題解析

一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分。在每小題給出的四個選項中.

只有一項是符合題目要求的

1.（5分）已知集合4={1,2},8={a,J+3},若AC8={1},則實數。的值為（）

A.1B.-1C.2D.-2

【分析】根據AAB={1}即可得出從而可得出a的值.

【解答】解：：AnB={l},

A1GB,

B={1,4},滿足條件.

故選：A.

【點評】本題考查了列舉法的定義，交集的定義及運算，元素與集合的關系，考查了計

算和推理能力，屬于基礎題.

2.（5分）已知aCR,i為虛數單位，若生為實數，則a的值為（）

2+4i

A.3B.2C.上D.

2332

【分析】先求出復數的四則運算化簡生生，再根據三理為實數，即可求出a的值.

2+412+41

［解冬］解.af=（a-3i）（2-4i）=⑵-⑵-（6+4a）i

"?2+4i（2+4i）（2-4i）20'

.??6+4〃=0,

:.a=-

2

故選：D.

【點評】本題主要考查了復數的四則運算，考查了實數的定義，是基礎題.

2

3.（5分）函數f（x）二,一的圖象大致為（）

【分析】根據題意，先分析函數的奇偶性，排除B、D,再求出了(10)的值，與1大小

比較，排除C,即可得答案.

2

【解答】解：根據題意，函數f(x)=-J』其定義域為{MxWO},

22

有/(-X)=------=--------=-/(x),函數為奇函數，排除8、D,

e-x-eXe-Xe-X

>w

/(io)=-=?iooLg.<i,排除c,

101201

e-e「I

e

故選：A.

【點評】本題考查函數的圖象分析，涉及函數的奇偶性、函數值符號的分析，屬于基礎

題.

4.(5分)己知直線/：(a-1)x+y-3=0,圓C：(x-1)2+/=5.貝U“a=-1”是“/與

C相切”的()

A.必要不充分條件B.充分不必要條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【分析】根據充分必要條件的定義以及直線和圓的關系判斷即可.

【解答】解：若直線/與圓C相切，

則圓心(1,0)到直線(a-l)x+y-3=0的距離d=丘1-3|==娓,

22

V(a-1)+1

或a=-1,

2

...a=-1是直線/與圓C相切的充分不必要條件.

故選：B.

【點評】本題考查了充分必要條件，考查直線和圓的位置關系，屬于基礎題.

5.（5分）聲強級。（單位:由公式LT=101g（―給出，其中為聲強（單位：W/m2）.一

1（）72

般正常人聽覺能忍受的最高聲強級為1204B,平時常人交談時強級約為6（W8,那么一般

正常人能忍受的最高聲強是平時常人交談時聲強的（）

A.IO4倍B.1。5倍C.1（）6倍D.IO7倍

【分析】根據已知函數關系式，設出未知數，解方程即可求出對應的聲強，然后可直接

得結果.

【解答】解：設一般正常人聽覺能忍受的最高聲強為/I,

平時常人交談時聲強為12,

I[

120=101g(%)

10-12‘解得『

由題意得＜

1=1018

60=101g(―工)2

10-12

T24

1_10-106

可凝

故選：C.

【點評】本題考查正常人能忍受的最高聲強是平時常人交談時聲強的倍數的求法，考查

對數性質、運算法則等基礎知識，運算能力，屬于基礎題.

6.（5分）在某次脫貧攻堅表彰會上，共有36人受到表彰，其中男性多于女性.現從中隨

機選出2人作為代表上臺領獎，若選出的兩人性別相同的概率為工，則受表彰人員中男

2

性人數為（）

A.15B.18C.21D.15或21

,2C2

【分析】根據兩人性別相同的概率為工，利用古典概型得到‘?善2_=工，解方程即可

022

rC36c362

求解.

【解答】解：設受表彰人員中男性人數為蒼則女性人數為36-x,

r2r2

則P=母+造-36x+315=O,；.x=21或x—15,

C22

36c36

?.,男性多于女性，；.x=2L

故選：C.

【點評】本擷主要考查古典概型的問題，熟記概率的計算公式即可，屬于基礎題.

7.(5分)在△ABC中，\AB\=3,\AQ=4,18cl=5,“為BC中點，。為△ABC的內心,

月.正=入標+四氤，貝iJX+R=()

A.-LB.3C§D.1

1246

【分析】根據三角形是直角三角形，得到它的內心的位置，從而表示出向量菽，根據向

量的線性運算，寫出向量與要求兩個向量之間的關系，得到兩個系數的值，求和得到結

果.

【解答】解:，/M為BC中點,二高=工（薪+而，，菽1=入標+|1高=（入+區）族+衛?配

222

???0為△ABC的內心,...AO=^AB+—AC,

34

故選：A.

【點評】本題考查平面向量基本定理的應用，利用三角形內心的性質是關鍵，屬于中檔

題.

22

8.（5分）已知A,B,C是雙曲線弓-qiQ〉。，b>0）上的三點，直線AB經過原點

O,AC經過右焦點F,若BFLAC,且赤號■冠，則該雙曲線的離心率為（）

A但B.叵C.2D.叵

2325

【分析】設雙曲線的左焦點，連接如圖所示的線段，由雙曲線的定義及向量的關系可得

Hfl,|AE|,|C￡l與2a,2c之間的關系，進而求出雙曲線的離心率.

【解答】解：設雙曲線的左焦點為E,連接8E4E,CE,

由題意可得=

因為BFJ_AC可得四邊形8E4尸為矩形，設由f1=|AE|=m,|BE1=|AQ=",

由雙曲線的定義可得|C￡1-\CF\=\AE\-|Afl=2a,所以2a=m-n,

又因為而=旦而，所以ic/quSdAaqc/q+iAMnSzic8=2〃+|仃1=2“+3凡

2222

在RtZ\E4c中，|AE|2+|4cF=|CE|2,即川+（互。2=q〃+當尸，

將2a=m-n代入可得m=6n,

所以n=^-a,m=^-a,

55

2:222

在直角三角形E4F中，|AEl+||A/l=|￡：fl=(2c),

即m2-“2=4,2,

所以(2?)~+2=4°2,可得：e=￡=J紅,

55a5

故選：D.

【點評】本題考查雙曲線的性質及向量的運算，屬于中檔題.

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個選項中，有

多項符合題目要求全部選對的得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分

9.（5分）對具有相關關系的兩個變量x和y進行回歸分析時，經過隨機抽爛獲得成對的樣

本點數據（xi,yi）（i=l,2,?,,,n）,則下列結論正確的是（）

A.若兩變量x,y具有線性相關關系，則回歸直線至少經過一個樣本點

B.若兩變量x,y具有線性相關關系，則回歸直線一定經過樣本點中心Q,y）

C.若以模型y="e"擬合該組數據，為了求出回歸方程，設z=/”y,將其變換后得到線

性方程z=6x+歷3,則〃，方的估計值分別是3和6.

n__

E%不）2

D.用叱=1-得-----------來刻畫回歸模型的擬合效果時，若所有樣本點都落在一條

￡（yry）2

i=l

斜率為非零實數的直線上，則R2的值為1

【分析】利用線性相關關系以及擬合曲線的關系，對四個選項逐一分析判斷即可.

【解答】解：對于A,若兩變量x,y具有線性相關關系，則滿足線性回歸方程，但是樣

本的不一定都在擬合直線上，故選項A錯誤；

對于8,若兩變量x,y具有線性相關關系，則回歸直線一定經過樣本點中心(x，y)，

故選項B正確；

對于C,若以模型丫=四"擬合該組數據，為了求出回歸方程，設2=/”乃將其變換后得

到線性方程z=6x+/〃3,則a,b的估計值分別是3和6,故選項C正確；

n__

工仇-4)2

對于D,用解=1-得-----------來刻畫回歸模型的擬合效果時，若所有樣本點都落

X(y「y)2

i=l

在一條斜率為非零實數的直線上，則—,

7i7i

n__

E(y1K產

則叱=1-W----------=1-0=1,故選項D正確.

￡(y「y)2

i=l

故選：BCD.

【點評】本題考查了回歸分析的理解和應用，涉及了線性相關關系的理解，線性回歸方

程必過樣本中心的應用，非線性回歸方程的理解以及相關系數的應用，考查了邏輯推理

能力，屬于中檔題.

10.(5分)將函數V=sin2x+?cos2x+l的圖象向右平移.個單位長度，再將所有點的橫

坐標縮短到原來的工，縱坐標不變，得到函數g(x)的圖象，則下面對函數g(x)的敘

2

述中正確的是()

A.函數g(x)的最小正周期為三

2

B.函數g(x)圖象關于點(喉，0)對稱

C.函數g(x)在區間小，g］內單調遞增

D.函數g(x)圖象關于直線乂上對稱

x12

【分析】由題意利用兩角和的正弦公式化簡函數的解析式，再利用函數產Asin(3x+cp)

的圖象變換規律、正弦函數的圖象和性質，得出結論.

【解答】解：將函數y=sin2x+?cos2x+l=2sin(2x+?)+l的圖象向右平移三個單位

312

長度,

可得y=2sin(2x-2L+_ZL)+1=2sin(2x+?L)+l的圖象;

-636

再將所有點的橫坐標縮短到原來的工，縱坐標不變，

2

得到函數g(x)=2sin(4x+匹)+1的圖象的圖象，

則函數g(外的最小正周期為"=三，故A正確；

42

令x=--,求得sin(4x+E_)=-g(x)=O,故函數g(x)圖象不關于點(一匹,

126212

0)對稱，故B錯誤；

在區間「工，工]內，4x+2Le[Z2L,空口，函數g(x)沒有單調性，故c錯誤：

L42」666

令X=_2L,求得g(x)=3,為最大值，故函數g(x)圖象關于直線》=工對稱，故。正

1212

確，

故選：AD.

【點評】本題主要考查兩角和的正弦公式，函數y=Asin(3x+(p)的圖象變換規律，正弦

函數的圖象和性質，屬于中檔題.

11.(5分)已知實數〃、h,下列說法一定正確的是()

A.若a<b,則(2)b<4)a<(1)a

B.若則loga<C—

xosavb2

C.若a>0,b>0,a+2b=\,則ZJ的最小值為8

ab

D.若心a>0,則上包〉上也

,22

ba

【分析】直接利用不等式的性質，基本不等式的性質的應用判斷A、B、C、。的結論.

a

【解答】解：對于A：a<b,根據指數函數的性質(1)S,故A錯誤;

對于8：由于所以坨>1，則log—故8正確;

Igaa。lga+1gb1Igb2

對于C：若a>0,b>0,a+2b=l,則(a+2b)

8,

當且僅當。=工，b」時等號成立，故C正確;

24

對于D：由于b>a>0,所以曲=G*力>+（用22）=

,222,2

baab

（a-b）（a2+b2+ab+a+b）/n

272〈°'

ab

故選：BC.

【點評】本題考查的知識要點：不等式的性質，基本不等式的性質的應用，主要考查學

生的運算能力和數學思維能力，屬于基礎題.

12.（5分）已知等邊三角形A8C的邊長為6,M,N分別為AB,AC的中點，將△AMN沿

MN折起至MN,在四棱錐A'-MNCB中，下列說法正確的是（）

A.直線MN〃平面A'BC

B.當四棱錐4'-MNCB體積最大時，二面角A'-MN-B為直二面角

C.在折起過程中存在某位置使BN_L平面A'NC

D.當四棱4'-MNCB體積最大時，它的各頂點都在球。的球面上，則球。的表面積

為39n

【分析】利用線面平行的判定定理判斷選項A；利用四棱錐4-MNCB的底面是定值，

則當點4到平面MNC8的距離最大時，體積最大，即可判斷選項以利用反證法判斷選

項C;取8c的中點E,作OEJ_平面MNCB,OFJ_平面A'MN,確定外接球的球心，然

后求出半徑，由球的表面積公式求解，即可判斷選項D

【解答】解：對于4,因為MN〃BC,MNC平面ABC,BCu平面48C,

所以MN〃平面A8C,故選項A正確；

對于8,因為四棱錐4-MNCB的底面面積是定值，

所以當點4到平面MNCB的距離最大時，體積最大，

故當二面角A'-MN-B為直二面角時，點A'到平面MNCB的距離最大，

所以四棱錐4'-MNCB體積最大時，二面角4'-MN-B為直二面角，故選項8正確;

對于C,如圖所示，若BNJ_平面47VC,又A4u平面4WC,則BMLA4,

又A'O_LMM則A￡>_LMM又4￡>nAO=A,A'D,4Qu平面A'AD,

故MN_L平面A'AO,又A'Au平面A'AO,則

又MNCBN=N,MN,BNu平面MNCB,所以AA'_LMVC8,

這與題意矛盾，故假設不成立，

所以在折起過程中不存在某位置使BNL平面A'NC,故選項C錯誤；

對于￡）,當四棱錐4-MNCB體積最大時，二面角A'-MN-8為直二面角，如圖所示，

由取BC的中點E,則E為等腰梯形MNCB外接圓的圓心，F為△AMN

3

的外3

作OEJ■.平面MNCB,OF_L平面A'MN,

則0為四棱錐A'-MNCB的外接球的球心，且。尸=。￡=色巨，AF=M，

2

設四棱錐A-MNCB的外接球半徑為R,則R2=^2+0?2g9，

4

所以球的表面積為4兀R2=4兀?里-39兀，故選項D正確.

4

故選:ABD.

【點評】本題考查線面平行的證明，二面角的求解，空間幾何體的外接球問題，空間中

線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查運算求解能力、推理論證能力，是中

檔題.

三、填空題：本太題共4小題每小題5分，共計20分，押答家填車答陽專相應的位置上.

13.（5分）數列1,1,2,3,5,8,13,21,31,…你為斐波那劃數列，是意大利著名數

學家斐波那契于1202年在他寫的《算盤全書》提出的，該數列的特點是：從第三起，每

一項都等于它前面兩項的和.在該數列的前2021項中，奇數的個數為1348.

【分析】根據題意，分析數列中偶數的規律，即可得前2021項中偶數的個數，據此分析

可得答案.

【解答】解：根據題意，在該數列中，第三，六，九…為偶數，以3為周期，

2021=3X673+2,有673個偶數，

則有2021-673=1348個奇數;

故答案為：1348.

【點評】本題考查歸納推理的應用，注意分析數列中偶數的規律，屬于基礎題.

14.（5分）曲線＞="+/-3x在x=0處的切線的傾斜角為a,則ITQ

sin(2a-*-^-)=-

【分析】求得函數的導數，可得切線的斜率，由三角函數的誘導公式、二倍角的余弦公

式，計算可得所求值.

【解答】解：y="+?-3x的導數為y'=ex+2x-3,

可得在x=0處的切線的斜率為1+0-3=-2,

則tana=-2,

所以sin（2a+三尸.:.口"2a=1-tan2a=上￡=_3,.

2cos2a+sin2a1+tan2a1+45

故答案為：-3.

5

【點評】本題考查導數的運用：求切線的斜率，以及三角函數的求值，考查方程思想和

運算能力，屬于中檔題.

15.（5分）已知點A（0,5）,過拋物線f=12y上一點P作y=-3的垂線，垂足為8,若

\PB\^\PA\,則|尸8=7.

【分析】由拋物線性質可得,|PB|=|PR,又由已知條件|PB|=|網,可得|令|=|尸網,即4

以尸是等腰三角形，可得P點的縱坐標為4,結合拋物線性質，即可求解.

【解答】解：?.?拋物線』=12y,

；.2p=12,即p=6,焦點尸（0,3）,

由拋物線性質可得，\PB\=^\PF],

又=|明，

...|附|=|「內，即△B4F是等腰三角形，

VA(0,5),8(0,3),P(xo,yo),

?.3+5,

；.|P8|=y。玲=4+3=7,

故答案為:7.

【點評】本題重點考查了拋物線的性質，需要學生熟練使用公式，屬于基礎題.

16.(5分)已知函數f(x)=(工)2+(a-2)工+2-a有三個不同的零點XI，加，孫其中

exex

X1cXXq

X1<X2<A3,則(1~~—)2(1—；—9)(1-：)的值為1

e1e2e3

【分析】令t*，將問題轉化為P+(a-2)f+2-a=0要有兩個不同的實數根fiq(n<

X

e

t2),通過韋達定理確定根的情況，再結合函數g(X)=弋的圖象，利用數形結合法進

ex

行分析求解即可.

【解答】解：設g(x)=工，則p(x)=±3,

XX

ee

當xvi時，g'a)>o,則g(%)單調遞增，

當%>i時,g'a)vo,則g(%)單調遞減，

又x>0時，g(x)>0,當x<0時，g(x)<0,

當x=l時，g(x)取得最大值g(1)=A,

e

作出函數g(x)的圖象如圖所示，

要使得f(x)=(《)？+(a-2)《+2-a有三個不同的零點XI，必布，其中xi<x2<x3,

ee

令t*，則有尸+(a-2)f+2-a=0要有兩個不同的實數根Ct\<t2),

X

e

,(t]+t2=2-a

△=(a-2)2-4(2-a)>0,即a>2或a<-2,且《，

tjt2=2-a

=_

tj+t22a<0

若a>2,則因為“</2,所以fi<0,則、^(。，工),

=-1

%t22a<C02e

所以“<0<及<2則XIVOVx2Vl<X3,且g(X2)=g(X3)=t2.

xiXnXq

所以9

e1e2e3

2212

(l-t1)(l-t2)(l-t2)=[l-(t1+t2)+t1t2]=[-(2-?)-?-2-a]=l：

't,+t2=2-a>4

若a<-2,則12、因為g（x）取得最大值g（i）=1,且ME（o工）,

2

tjt2=2-a>4e，a

（fl+/2）〃?or<4,不符合題意,舍去.

綜上所述，(1-^-)2(1-^-)(1--)-1.

\X,'、X」、X.7

e1eze3

故答案為：1.

V

【點評】本題考查了函數的零點與方程的根的綜合應用，解決函數零點或方程根的問題，

常用的方法有：（1）方程法（直接解方程得到函數的零點）；（2）圖象法（直接畫出函數

的圖象分析得解）；（3）方程+圖象法（令函數為零，再重新構造兩個函數，數形結合分

析得解）.屬于中檔題.

四、解答題：本大題共6個小題，共計70分，請在答題卡指定區域作答解答時應寫出文字

說明、證明過程或驗算步驟.

17.（10分）在AABC中，角A,B,C的對邊分別為“，兒c,且10sir?竽=7-cos2B，

（1）求角B的大小；

（2）已知點力滿足而q阮，且若$△必AD=A/7，求AC.

【分析】（1）結合三角形的內角和定理、誘導公式和二倍角公式，可求得cosB=/，再求

出角8的大小；

（2）由三角形的面積公式，可得BZ>B4=3①，在△A8O中，由余弦定理推出

=10②，聯立①②解出8。和54的值，最后在aABC中，利用余弦定理，求出4c.

【解答】解：（1）；A+B+C=TT,

..ACB

?,sin2"cosg

由lOsin2-^^-=7-cos2B,得lOcos2--=7-cos2B,

2

即1QXHCOSB7,(2COSB-1),

2

化簡得2COS2B+5COSB-3=0,

解得cosB==/■或cos3=-3(舍)，

jr

VO<B<TT,AR=—.

3

(2).??江即寺小隊人龍乎’

.?.8Z>BA=3①，

在△ABO中，由余弦定理知，AEr=BD1+B/^-2BDBAcosB,

：.BD^BA1-BDBA=7,即BD^+BA2=10②，

由①②，解得80=1，BA=3或B￡>=3,BA=\,

又AB>BD,：.BD^\,54=3,BC=4BD=4,

在△ABC中，由余弦定理知，AC^B^+BC2-2BC8AcosB=9+16-2X3X4xJi=13,

2

,AC=>/13-

【點評】本題考查解三角形在平面幾何中的應用，熟練掌握余弦定理、三角形面積公式

和二倍角公式是解題的關鍵，考查運算能力，屬于中檔題.

18.(12分)在①G,43,“21成等比數列②54=28,③S"+i=S"+a〃+4,這三個條件中任選一

個，補充在下面的問題中，并做出解答.

已知｛〃”｝是公差不為零的等差數列，S,為其〃前項和，及=5,,｛尻｝是等比數列,

歷=9,4+歷=30,公比q>l.

(1)求數列｛以｝,｛為｝的通項公式；

(2)數列伍")和｛治｝的所有項分別構成集合A,B,將AUB的元素按從小到大依次排列

構成一個新數列｛Cn｝,求780=Cl+C2+C3+-+C80.

【分析】(1)分別選①②③，由等比數列的中項性質和等差數列的定義、等差數列和等

比數列的通項公式，解方程可得公差和公比，可得所求；

(2)首先判斷｛Cn｝的前80項中，數列｛尻｝的項最多有5項,推得｛Cn｝的前80項是由3｝

的前77項及4，加，加構成，再由等差數列的求和公式，計算可得所求和.

【解答】解：(1)選①，因為｛〃〃｝是公差不為0的等差數列，設公差為d,

由0,。3,si成等比數歹!J可得(a[+2d)2="](&]+20由，由于所以4m=d,

又。2=5,所以m+d=5,解得m=l,d=4,所以。〃=1+4(〃-1)=4幾-3.

選②，因為S4=28,。2=5,所以4〃i+6d=28,m+d=5,可得。1=1,d=4,

所以。〃=1+(〃-1)X4=4〃-3.

選③，因為品+1=品+。〃+4,所以art+\-0?=1=4,

因為。2=5,所以m+d=5,即有m=L

所以。〃=1+(〃-1)X4=4〃-3.

因為｛加｝是等比數列，由歷=9,從+加=30,9>1,

得biq=9,b[+b]q2=30，解得夕=3,61=3,

所以bn=3R

(2)080=317,35=243<317<36=729,

所以｛5｝的前80項中,數列｛加｝的項最多有5項，

其中歷=9=43,從=81=421為公共項，

又477=305>243=b5,

所以｛Cn｝的前80項是由｛〃”｝的前77項及為，b3,加構成.

720=Cl+C2+C3+--+C80=Q1+42+…〃77+Z?1+/73+加

=Ax77X(1+305)+3+27+243

2

=11781+2