2022-2023學年湖北省黃岡市高一下學期5月階段性測試數學試題一、單選題1．在復平面內，復數對應的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】根據復數的乘法運算進行化簡，根據復數的幾何意義即可求解.【詳解】解：因為，其在復平面內對應點的坐標為，故復數對應的點位于第二象限.故選：B.2．已知圓臺的上下底面圓的半徑分別為1與2，高為，則圓臺的側面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據圓臺側面積公式進行求解即可.【詳解】因為圓臺的上下底面圓的半徑分別為1與2，高為，所以圓臺的母線為：，所以圓臺的側面積為：，故選：C3．正四棱錐的頂點都在同一球面上，若該棱錐的高為4，底面邊長為2，則該球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】正四棱錐P-ABCD的外接球的球心在它的高上，記為O，PO=AO=R，，=4-R，在Rt△中，，由勾股定理得，∴球的表面積，故選A.【解析】球的體積和表面積4．已知函數的圖象關于點對稱，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據函數的對稱中心，結合的范圍，可得出，.代入，根據兩角差的正切公式，即可得出答案.【詳解】因為的圖象關于點對稱，所以，所以.因為，所以，即，則.故選：C.5．函數，則下列結論正確的是（）A．是偶函數 B．是奇函數C．是奇函數 D．是奇函數【答案】C【分析】根據函數奇偶性的定義逐項分析即得.【詳解】選項A:因為的定義域為R，又，所以是奇函數，故A錯誤；選項B:因為的定義域為R，又，所以是偶函數，故B錯誤；選項C:因為的定義域為R，又，所以是奇函數，故C正確；選項D:因為的定義域為R，又，所以是偶函數，故D錯誤.故選：C.6．如圖，已知平面四邊形ABCD，AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，AC與BD交于點O，記，，，則A．I１<I２<I３ B．I１<I３<I２ C．I３<I１<I２ D．I２<I１<I３【答案】C【詳解】因為，，，所以，故選C．【名師點睛】平面向量的計算問題，往往有兩種形式，一是利用數量積的定義式，二是利用數量積的坐標運算公式，涉及幾何圖形的問題，先建立適當的平面直角坐標系，可起到化繁為簡的妙用．利用向量夾角公式、模公式及向量垂直的充要條件，可將有關角度問題、線段長問題及垂直問題轉化為向量的數量積來解決．列出方程組求解未知數．本題通過所給條件結合數量積運算，易得，由AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，可求得，，進而得到．7．如圖所示，在空間四邊形ABCD中，E，F分別為AB，AD的中點，分別在，CD上，且則下面幾個說法中正確的個數是（

）

①E，F，G，H四點共面；②③若直線EG與直線FH交于點P，則P，A，C三點共線．A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】推導出，，從而，由此能證明E，F，G，H四點共面；，從而直線EG與直線FH必相交，設交點為P，證明P點在直線上．【詳解】如圖所示，

E，F分別為AB，AD的中點，∴，，分別在，CD上，且，∴，，∴，則E，F，G，H四點共面，說法①正確；∵，四邊形是梯形，不成立，說法②錯誤；若直線與直線交于點P，則由，平面，得平面，同理平面，又平面平面，∴則P，A，C三點共線，說法③正確；說法中正確的有2個.故選：C8．如圖，正方體的棱長為為的中點，為的中點，過點的平面截正方體所得的截面的面積（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】如圖，過點的平面截正方體所得的截面為五邊形，求得，再結合等腰三角形的面積，結合相似即可求得截面的面積.【詳解】如圖，延長交于點，延長交于點，連接交于點，連接交于點，連接.則過點的平面截正方體所得的截面為五邊形.因為為的中點，為的中點，所以，所以，在中，，在中，，同理可得.令上的高為，所以，所以.因為，所以，所以，同理可得，故截面的面積.故選：B【點睛】方法點睛：作截面的三種方法:①直接法:截面的定點在幾何體的棱上；②平行線法:截面與幾何體的兩個平行平面相交，或者截面上有一條直線與幾何體的某個面平行；③延長交線得交點:截面上的點中至少有兩個點在幾何體的同一平面上.二、多選題9．設a，b是兩條不重合的直線，，是兩個不同的平面．下列四個命題中，正確的是（

）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則【答案】BCD【解析】根據空間中線面的關系，逐一分析選項，即可得答案.【詳解】對于A：若，，則可平行，可相交，也可異面，故A錯誤；對于B：若，，則，故B正確；對于C：若，，則，故C正確；對于D：，，則，故D正確.故選：BCD10．已知圓錐的母線長為6，側面積為，則下列說法正確的是（

）A．該圓錐的體積為 B．該圓錐的內切球的體積為C．該圓錐的外接球的表面積為 D．該圓錐的內接正方體的棱長為【答案】AC【分析】由圓錐的側面積公式即可求解底面圓半徑，由體積公式即可判斷A,由內切球以及外接球的幾何性質,結合勾股定理,相似,即可判斷BCD.【詳解】對于A：設圓錐底面半徑為，母線為,則側面積為，則圓錐高為，故圓錐體積為，故A正確；對于B：由于,所以,如圖，內切球和圓錐側面和底面分別切于,,故內切球半徑，故內切球的體積為，故B錯誤；

對于C：外接球的球心為半徑,則滿足：，∴，故C正確；

對于D：以圓錐的頂點以及正方體的一條面對角線作截面如下，設內接正方體的棱長為，則由相似可得，故D錯.

故選：AC11．已知的內角所對的邊分別為，下列四個命題中正確的是（

）A．若，則一定是鈍角三角形B．若，則一定是銳角三角形C．若，則一定是等腰三角形D．若，則一定是等邊三角形【答案】CD【分析】對于A，舉例即可判斷；對于B，由余弦定理可得，可得為銳角，進而判斷；對于C，由正弦定理得，，進而得到，進而判斷；對于D，由正弦定理得，進而得到，進而判斷.【詳解】對于A，當時，，此時是等邊三角形，故A錯誤；對于B，由，得所以，所以，即為銳角，角、無法確定大小，故B錯誤；對于C，，由正弦定理得，，即，即，所以，所以是等腰三角形，故C正確；對于D，，由正弦定理得，即，所以，即是等邊三角形，故D正確.故選：CD.12．已知三棱錐中，，分別是的中點，是棱上（除端點外）的動點，下列選項正確的是（

）A．直線與是異面直線；B．當時，三棱錐體積為；C．的最小值為；D．三棱錐外接球的表面積.【答案】ACD【分析】根據異面直線判定定理可判斷A，由于三棱錐對邊相等可放入長方體中，借助長方體可判斷BD，再由棱錐兩個側面展開到同一個平面上，利用兩點間連線最短判斷C.【詳解】對A，是平面內直線BA外一點，是平面外一點，兩點連線與是異面直線，故A正確；對B，將三棱錐放入長方體中，如圖，因為，所以，所以，設長方體的長、寬、高分別為，則，即，解得，顯然三棱錐體積等于長方體體積減去長方體角上4個相同的三棱錐的體積，，所以，故B錯誤；對D，因為三棱錐外接球即為長方體的外接球，所以外接球半徑，所以外接球的表面積，故D正確；對C，將三棱錐側面展開在一個平面上，連接，交于,如圖，由余弦定理，，,所以，,所以，在中，,所以，即當P點運動到M點時，的最小值為，故C正確.故選：ACD三、填空題13．已知則使得的實數.【答案】【分析】根據向量數乘的定義求解．【詳解】，則在線段上，且，所以，又，所以．故答案為：．14．在中，已知B＝45°，c＝2，b＝，則A＝.【答案】或.【解析】利用正弦定理求出，進而求出.【詳解】在中，B＝45°，c＝2，b＝，由正弦定理可得，即，解得，因為，所以或，所以或.故答案為：或.15．我國古代數學著作《九章算術》中用“圭田”一詞代指等腰三角形田地，若一“圭田”的腰長為4，頂角的余弦值為，則該“圭田”的底邊長為．【答案】【分析】利用余弦定理結合條件即得.【詳解】設“圭田”的底邊長為，則由余弦定理可得，解得，即該“圭田”的底邊長為.故答案為：.16．將邊長為1的正方形紙片繞著它的一條邊所在的直線旋轉弧度，則紙片掃過的區域形成的幾何體的表面積為.【答案】【分析】確定幾何體的結構特征，計算各面的面積相加即可.【詳解】由已知可得該幾何體為底面半徑為，高為的圓柱的，如下圖：

所以該幾何體的表面積，故答案為：.四、解答題17．在中，內角，，所對的邊分別為，，，已知，，.(1)求；(2)求的值.【答案】(1)8(2)【分析】（1）根據數量積的定義得到，即可求出、，再由余弦定理計算可得；（2）由余弦定理求出，即可求出，再由兩角差的正弦公式計算可得.【詳解】（1）解：∵，，∴，由，解得或（舍去），∴，∴.（2）解：由余弦定理可得，∴，∴.18．如圖矩形是水平放置的一個平面四邊形OABC的直觀圖，其中，．（1）畫出平面四邊形OABC的平面圖并標出邊長，并求平面四邊形OABC的面積；（2）若該四邊形OABC以OA為旋轉軸，旋轉一周，求旋轉形成的幾何體的體積及表面積．【答案】（1）平面圖見解析，面積為；（2）體積為，表面積為.【分析】（1）根據斜二測畫法所畫的直觀圖與平面圖的關系作出平面圖形，然后根據面積公式求解出面積即可；（2）畫出幾何體的直觀圖，然后根據圓柱、圓錐的體積和表面積公式求解出旋轉形成的幾何體的體積及表面積.【詳解】（1）平面四邊形的平面圖如下圖所示：由直觀圖可知菱形的高為：，所以面積為；（2）旋轉而成的幾何體如下圖所示：該幾何體可以看成圓柱挖去一個同底的圓錐再加上一個同底的圓錐，由（1）可知圓柱的底面圓半徑為，母線長為，所以體積；所以表面積.19．函數的圖像兩相鄰對稱軸之間的距離是，若將的圖像上每個點先向左平移個單位長度，再向上平移1個單位長度，所得函數為偶函數．(1)求的解析式；(2)若對任意，恒成立，求實數m的取值范圍；【答案】(1)(2)【分析】（1）由已知利用周期計算，再根據為偶函數可得，即可得函數解析式；（2）參數分離，利用對勾函數的單調性求實數m的范圍【詳解】（1）由，得，則，則為偶函數，所以，又，所以，故；（2）因為，所以，，故，，而恒成立，即，整理可得，令，，設，，設，且，則，由于，，則，所以，即在區間上單調遞增，故，故，即實數m的取值范圍是．20．如圖，四邊形OACB中，，，三角形ABC為正三角形.

(1)當時，設，求x，y的值；(2)設，則當為多少時，線段OC的長最大，最大值是多少?【答案】(1)，(2)，線段OC取得最大值3【分析】（1）方法一建立平面直角坐標系，求出相關點和向量的坐標，列方程組即可求解；方法二過點C作交OA于點D，分解向量即可求解；（2）在中，分別由余弦定理和正弦定理可求得，，進而可求得，在中，由余弦定理得，則可求解.【詳解】（1）在中，，，，，，，，解法一：以O為坐標原點，射線OA所在直線為x軸建立平面直角坐標系.由，，得.由，，得，由及，，，得，解得，.

解法二：過點C作交OA于點D，在中，，，，，，，，.

（2）在中，由余弦定理得，又三角形ABC為正三角形，所以，由正弦定理得，即，所以，所以，在中，由余弦定理得，因為，所以當時，OC取得最大值3.21．如圖在四棱錐中，，M，N分別是AB，CD的中點，．(1)求證：平面AED；(2)若點F在棱AD上且滿足，平面CEF，求的值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）取BE的中點為Q，證明面MNQ面ADE，即可得到平面AED；（2）根據已知，將線面平行轉化得到線線平行，再用三角形相似即可得到的值.【詳解】（1）取BE的中點為Q，連接NQ，MQ∵，N，Q分別為CD、BE的中點；∴，又∵面AED，面AED，∴面AED又∵M為BA的中點∴，∵面AED，面AED，∴面AED∵，∴面面AED，∴面AED（2）設BD交CE于點G，連接FG．∵面CEF，面面ABD＝FG，面ABD∴，∴．在直角梯形BCDE中，，∴，∴，∴，∴22．如圖：設一正方形紙片ABCD邊長為2分米，切去陰影部分所示的四個全等的等腰三角形，剩余為一個正方形和四個全等的等腰三角形，沿虛線折起，恰好能做成一個正四棱錐（粘接損耗不計），圖中，O為正四棱錐底面中心．（Ⅰ）若正四棱錐的棱長都相等，求這個正四棱錐的體積Ｖ；（Ⅱ）設等腰三角形APQ的底角為x，試把正四棱錐的側面積S表示為x的函數，并求S的范圍．【答案】（1）立方分米（2）平方分米【詳解】試題分析:（I）若正四棱錐的棱長都相等，則在正方形ABCD中，三角形APQ為等邊三角形，由此先計算出此正四棱錐的棱長，再利用正棱錐的性質計算其體積即可；（II）