第一二章時間序列分析第1頁，課件共55頁，創作于2023年2月第一節時間序列分析的一般問題時間序列的含義

時間序列是指被觀察到的以時間為序排列的數據序列。時間序列可以以表格的形式或圖形的形式表現。例：第2頁，課件共55頁，創作于2023年2月上海180指數某時間段的變化第3頁，課件共55頁，創作于2023年2月國際航運乘客資料（單位：千人）第4頁，課件共55頁，創作于2023年2月1946—1970美國各季生產者耐用品支出（單位：十億美元）第5頁，課件共55頁，創作于2023年2月1952年—1994年我國社會消費品零售總額（單位：億元）第6頁，課件共55頁，創作于2023年2月時間序列分析的目的：(1)預測序列未來的發展方向。(2)分析序列的基本趨勢、季節和隨機項的構成。(3)分析待定的數據集合、模擬理論模型，尤其是建立數學模型，進而進行模型的結構分析和實證研究。第7頁，課件共55頁，創作于2023年2月4.按序列的分布規律來分：高斯型時間序列和非高斯型時間序列。時間序列的主要分類：1.按所研究的對象的多少分：一元時間序列和多元時間序列。2.按時間的連續性分：離散時間序列和連續時間序列。3.按序列的統計特性分：平穩時間序列和非平穩時間序列。第8頁，課件共55頁，創作于2023年2月第二節

時間序列的建立

我們把獲取時間序列以及對其進行檢查、整理和預處理等工作，稱為時間序列的建立。

第9頁，課件共55頁，創作于2023年2月時間序列數據的采集

相應于時間的連續性，系統在不同的時刻上的響應常常是時間t的連續函數。為了數字計算處理上的方便，往往只按照一定的時間間隔對所研究系統的響應進行記錄和觀察，我們稱之為采樣。相應地把記錄和觀察時間間隔稱為采樣間隔。通常采樣采用等間隔采樣。

第10頁，課件共55頁，創作于2023年2月離群點（Outlier）

離群點（Outlier）是指一個時間序列中，遠離序列一般水平的極端大值和極端小值。對時間序列離群點分析的方法，有時也被稱作穩健估計（RobustEstimation），該方法最早由Box和Anderson于1955年提出。

第11頁，課件共55頁，創作于2023年2月

1.離群點（Outlier）產生的原因：（1）采樣誤差；（2）系統各種偶然非正常因素影響。2.離群點的數理描述：

(1)它們是既定分布中的極端點（extemepoint），它們雖與數據主體來自同一分布，但本身應以極小的概率出現；

(2)這種點與數據集的主體并非采自同一分布，而是在采集數據過程中受到其他分布的“污染”，致使現有數據集摻入不應有的“雜質”。

第12頁，課件共55頁，創作于2023年2月3.離群點（Outlier）的類型：

（1）加性離群點（AdditiveOutlier），造成這種離群點的干擾，只影響該干擾發生的那一個時刻T上的序列值，而不影響該時刻以后的序列值。（2）更新離群點（InnovationalOutlier），造成離群點的干擾不僅作用于XT，而且影響T時刻以后序列的所有觀察值。第13頁，課件共55頁，創作于2023年2月（3）水平移位離群點（LevelShiftOutlier）,造成這種離群點的干擾是在某一時刻T，系統的結構發生了變化，并持續影響T時刻以后的所有行為，在數列上往往表現出T時刻前后的序列均值發生水平位移。（4）暫時變更離群點(TemporaryChangeOutlier),造成這種離群點的干擾是在T時刻干擾發生時具有一定初始效應，以后隨時間根據衰減因子的大小呈指數衰減。（請大家觀看四種離群點的演示試驗）第14頁，課件共55頁，創作于2023年2月（1）直接進行剔除；（2）對數據模型進行修正處理分析。

4.離群點（Outlier）的處理方法：第15頁，課件共55頁，創作于2023年2月缺損值（Missingvalue）的補足依據系統運動軌跡或變化趨勢，運用一定的方法對缺損值進行估計、推測，以補足缺損的數值。第16頁，課件共55頁，創作于2023年2月第三節

確定性時序分析方法概述

一個時間序列往往是以下幾類變化形式的疊加或耦合：長期趨勢變動（T）季節變動（S）

循環變動（C）

不規則變動（R）

第17頁，課件共55頁，創作于2023年2月常見的確定性時間序列模型：(Ⅲ)混合模型(Ⅰ)加法模型(Ⅱ)乘法模型第18頁，課件共55頁，創作于2023年2月確定性時序分析方法：1.移動平均法設觀測序列為,正整數N<T。一次移動平均值計算公式為：第19頁，課件共55頁，創作于2023年2月二次移動平均值計算公式為：第20頁，課件共55頁，創作于2023年2月移動平均模型的特點：(1)等加權；(2)與RandomWalk相比，對反轉的反應滯后，平均滯后(N+1)/2期；(3)無現成統計理論用于預測區間的推導，要根據樣本的數據計算標準差做經驗估計。移動平均模型在數據處理中常用作預處理，用于消除周期波動（取N為周期長度）和減弱隨機干擾的影響。第21頁，課件共55頁，創作于2023年2月2.指數平滑法

,α為加權系數，0<α<1，設觀測序列p次指數平滑公式為：一次指數平滑公式為：二次指數平滑公式為：第22頁，課件共55頁，創作于2023年2月一次指數平滑模型（SimpleExponentialSmoothing,SES）的特點：非等加權，距離越近權數越大；

平滑指數為連續變量，可以通過最小均方誤（meansquarederror）計算出最最佳的平滑系數α；對反轉平均滯后1/α；

預測區間比RandomWalk窄；

ARIMA模型的特例，ARIMA(0,1,1),MA的系數為1-α。

第23頁，課件共55頁，創作于2023年2月二次指數平滑模型（Linear(double)ExponentialSmoothing,LES）常用于含線性趨勢數據;三次指數平滑模型（Quadratic(triple)SmoothingModle）常用于含曲線趨勢的數據。

第24頁，課件共55頁，創作于2023年2月3.時間回歸法

(1)線性方程:(2)二次曲線：(3)指數曲線：(4)修正指數曲線：第25頁，課件共55頁，創作于2023年2月(5)Gompertz（龔帕茲）曲線：(6)Logistic（邏輯斯諦）曲線：(7)振動曲線：f(t)為多項式（請同學們看一個實例）第26頁，課件共55頁，創作于2023年2月4.季節周期預測法

(1)乘法型季節模型(2)加法型季節模型第27頁，課件共55頁，創作于2023年2月第四節隨機時間序列分析的幾個基本概念

隨機過程(StochasticProcess)

隨機過程是一簇隨機變量{Xt,t∈T}，其中T表示時間t的變動范圍，對每個固定的時刻t而言，Xt是一普通的隨機變量，這些隨機變量的全體就構成一個隨機過程。

當t={0,±1,±2,…}時，即時刻t只取整數時，隨機過程{Xt,t∈T}可寫成如下形式，{Xt,t=0,±1,±2,…}。此類隨機過程Xt是離散時間t的隨機函數，稱它為隨機序列或時間序列。

對于一個連續時間的隨機過程的等間隔采樣序列，即{Xt,t=0,±1,±2,…}就是一個離散隨機序列。第28頁，課件共55頁，創作于2023年2月時間序列的概率分布和數值特征

1.時間序列的概率分布

一個時間序列的概率分布可以用它有限維分布簇來描述

時間序列所有的一維分布是：…，F-1(·)，F0(·)，F1(·),…所有二維分布是：Fij(·，·)，i，j=0,±1,±2,…,(i≠j)一個時間序列的所有有限維分布簇的全體，稱為該序列的有限維分布簇。第29頁，課件共55頁，創作于2023年2月2.時間序列的均值函數

一個時間序列的均值函數是指：其中：EXt表示在t固定時對隨機變量Xt的求均值，它只一維分布簇中的分布函數Ft(·)有關。第30頁，課件共55頁，創作于2023年2月3.時間序列的協方差函數與自相關函數

協方差函數：其中Ft,s(X,Y)為（Xt，Xs）的二維聯合分布。自相關函數：第31頁，課件共55頁，創作于2023年2月時間序列的自協方差函數有以下性質：對稱性：

非負定性：為對稱非負定矩陣。自相關函數同樣也具有上述性質且有ρ(t,t)=1。對任意正整數m和任意m個整數k1,k2,······km，方陣第32頁，課件共55頁，創作于2023年2月平穩隨機過程

嚴平穩：如果對于時間t的任意n個值和任意實數，隨機過程的n維分布滿足關系式：則稱為嚴平穩過程。第33頁，課件共55頁，創作于2023年2月寬平穩：若隨機過程的均值（一階矩）和協方差存在，且滿足則稱為寬平穩隨機過程。第34頁，課件共55頁，創作于2023年2月嚴平穩與寬平穩的關系：

嚴平穩不等于寬平穩；寬平穩不等于嚴平穩；對于嚴平穩序列，如果其二階距存在，其必為寬平穩，反之則一般不成立；對于高斯序列，嚴平穩與寬平穩是等價的。第35頁，課件共55頁，創作于2023年2月平穩時間序列自協方差函數和自相關函數

設平穩時間序列的均值為零，即。

自協方差函數：自相關函數：第36頁，課件共55頁，創作于2023年2月平穩序列的自協方差函數有以下性質：對稱性：

非負定性：為非負定矩陣。自相關函數同樣也具有上述性質。m階自協方差陣

有界性：第37頁，課件共55頁，創作于2023年2月平穩序列的樣本統計量

樣本均值：時間序列無法獲得多重實現，常用時間均值代替總體均值。上式的估計是無偏的。

第38頁，課件共55頁，創作于2023年2月樣本自協方差函數第一式是有偏估計，第二式是無偏估計，但有效性不如第一式。第39頁，課件共55頁，創作于2023年2月幾類特殊的隨機過程（序列）：

純隨機過程：隨機過程如果是由一個不相關的隨機變量的序列構成的，則稱其為純隨機過程。

白噪聲序列（Whitenoise）：如果時間序列滿足以下性質：（1）（2）

式中，當t≠s時，簡稱白噪聲。。稱此序列為白噪聲序列，第40頁，課件共55頁，創作于2023年2月3.獨立同分布序列：如果時間序列中的隨機變量Xt,t=0,±1,±2,…,為相互獨立的隨機變量，而且具有相同的分布，稱這樣的時間序列為獨立同分布序列。4.二階矩過程：若隨機過程對每個

二階矩過程。的均值和方差存在，則稱之為5.正態過程：若正態分布，則稱的有限維分布都是為正態隨機過程。第41頁，課件共55頁，創作于2023年2月第二章

平穩時間序列模型(單變量）

選擇單變量時間序列的原因一是對相關序列間的可能關系還缺乏可靠的先驗信息。單變量時間序列建模是一個有用的簡化手段，并可以進行有效的短期預測；例如，金融市場里面的股票走勢、利率變化等等。

●隨機時間序列分析模型，就是要通過序列過去的變化特征來預測未來的變化趨勢。第42頁，課件共55頁，創作于2023年2月二是如果有關經濟結構的理論已相當成熟，則這個結構的某種表現將是對該結構中的每個內生變量都給出一個與單變量模型方程相同的方程形式。

例如，對于如下最簡單的宏觀經濟模型：

這里，Ct、It、Yt分別表示消費、投資與國民收入。

Ct與Yt作為內生變量，它們的運動是由作為外生變量的投資It的運動及隨機擾動項

t的變化決定的。tttCYCaaaa+++=-12110第43頁，課件共55頁，創作于2023年2月上述模型可作變形如下：兩個方程等式右邊除去第一項外的剩余部分可看成一個綜合性的隨機擾動項，其特征依賴于投資項It的行為。

如果It是一個白噪聲，則消費序列Ct就成為一個1階自回歸過程AR(1)，而收入序列Yt就成為一個(1,1)階的自回歸移動平均過程ARMA(1,1)。ttttICCaaaaaaaa1111011211111-+-+-+-=-tttttIIYYaaaaaaaaa11121101121111111-+---+-+-=--第44頁，課件共55頁，創作于2023年2月第一節

自回歸模型

一階自回歸模型AR(1)其中Xt

零均值平穩序列，αt

為隨機擾動。

AR(1)的特點：Xt對Xt-1有線性相關關系αt為獨立正態同分布序列第45頁，課件共55頁，創作于2023年2月AR（1）與普通一元線性回歸一元線性回歸

一階自回歸

兩個變量，Y為隨機變量，X為確定性變量；

一個變量，為隨機變量；

為白噪聲序列，

還可假定為正態分布。

第46頁，課件共55頁，創作于2023年2月隨機游動模型模型的特性：系統具有極強的一期記憶性；在t-1時刻，系統的一步超前預測可表示成無限獨立隨機變量和的形式：第47頁