3.1.2函數的表示法8種常見考法歸類1、函數的表示法注：并不是所有的函數都可以用解析式表示，不僅如此，圖象法也不適用于所有函數，如D(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0，x∈Q，,1，x∈?RQ.))列表法雖在理論上適用于所有函數，但對于自變量有無數個取值的情況，列表法只能表示函數的一個概況或片段．特別提醒函數三種表示法的優缺點比較2、分段函數（1）一般地，分段函數就是在函數定義域內，對于自變量x的不同取值范圍，有著不同的對應關系的函數．（2）分段函數是一個函數，其定義域、值域分別是各段函數的定義域、值域的并集；各段函數的定義域的交集是空集．（3）作分段函數圖象時，應分別作出每一段的圖象．注：分段函數是一個函數，而不是幾個函數．3、分段函數的圖象分段函數有幾段，它的圖象就由幾條曲線組成．在同一直角坐標系中，根據每段的定義區間和表達式依次畫出圖象，要注意每段圖象的端點是空心點還是實心點，組合到一起就得到整個分段函數的圖象．注：(1)分段函數定義域、值域的求法①分段函數的定義域是各段函數定義域的并集；②分段函數的值域是各段函數值域的并集．(2)絕對值函數的定義域、值域通常要轉化為分段函數來解決．4、函數的圖象（1）函數圖象的平移變換（左“+”右“-”；上“+”下“-”）①②③④注：左右平移只能單獨一個加或者減，注意當前系數不為1,需將系數提取到外面.（2）函數圖象的對稱變換①的圖象的圖象；②的圖象的圖象；③的圖象的圖象；（3）函數圖象的翻折變換（絕對值變換）①的圖象的圖象；（口訣；以軸為界，保留軸上方的圖象；將軸下方的圖象翻折到軸上方）②的圖象的圖象.（口訣；以軸為界，去掉軸左側的圖象，保留軸右側的圖象；將軸右側圖象翻折到軸左側；本質是個偶函數）5、理解函數表示法的三個關注點(1)列表法、圖象法、解析法均是函數的表示法，無論是哪種方式表示函數，都必須滿足函數的概念．(2)列表法更直觀形象，圖象法從形的角度描述函數，解析法從數的角度描述函數．(3)函數的三種表示法互相兼容或補充，許多函數是可以用三種方法表示的，但在實際操作中，仍以解析法為主．6、函數的三種表示方法的選擇解析法、圖象法和列表法分別從三個不同的角度刻畫了自變量與函數值的對應關系．采用解析法的前提是變量間的對應關系明確，采用圖象法的前提是函數的變化規律清晰，采用列表法的前提是定義域內自變量的個數較少．注：應用函數三種表示方法應注意以下三點①解析法必須注明函數的定義域；②列表法必須能清楚表明自變量與函數值的對應關系；③圖象法必須清楚函數圖象是“點”還是“線”．7、作函數y＝f(x)圖象的方法(1)若y＝f(x)是已學過的函數，則描出圖象上的幾個關鍵點，直接畫出圖象即可，有些可能需要根據定義域進行取舍．(2)若y＝f(x)不是所學過的函數之一，則要按：①列表；②描點；③連線三個基本步驟作出y＝f(x)的圖象．注：用描點法畫函數的圖象：一般地，作函數圖象時分以下三個步驟：(1)列表．先找出一些有代表性的自變量的值，并計算出與這些自變量相對應的函數值，用表格的形式表示出來．(2)描點．把第(1)步表格中的點一一在坐標平面上描出來．(3)連線．用平滑的曲線把這些點按自變量由小到大的順序連接起來．8、作函數圖象時需注意的五個問題(1)確定函數的定義域，在定義域內作圖；(2)圖象是實線或實點，定義域外的部分有時可用虛線來襯托整個圖象；(3)標出某些關鍵點，例如圖象的頂點、端點、與坐標軸的交點；(4)函數圖象可以是連續的曲線，也可以是直線、折線、離散的點等；(5)對于已經熟悉形狀的函數圖象，只需選出幾個特殊點即可作出全圖，其中拋物線選3個點即可，直線或線段選2個點即可．9、求函數解析式的四種常用方法(1)待定系數法：若已知函數的類型，可用待定系數法求解，即由函數類型設出函數解析式，再根據條件列方程(組)，通過解方程(組)求出待定系數，進而求出函數解析式．(2)換元法(有時可用“配湊法”)：已知函數f(g(x))的解析式求f(x)的解析式可用換元法(或“配湊法”)，即令t＝g(x)，反解出，然后代入f(g(x))中求出f(t)，從而求出f(x).注：配湊法：對f(g(x))的解析式進行配湊變形，使它能用g(x)表示出來，再用x代替兩邊所有的“g(x)”即可．(3)方程組法(或消元法)：在已知式子中，含有關于兩個不同變量的函數,而這兩個變量有著某種關系，這時就要依據兩個變量的關系，建立一個新的關于這兩個變量的式子，由兩個式子建立方程組，通過解方程組消去一個變量，得到目標變量的解析式，這種方法叫做消元法(或解方程組法).特別地，當同一個對應關系中的兩個之間有互為相反數或互為倒數關系時，可構造方程組求解．提醒：應用換元法求函數解析式時，務必保證函數在換元前后的等價性．10、函數圖象的應用(1)函數圖象很直觀，在解題過程中常用來幫助理解問題的數學本質，依托函數圖象可以更直觀地尋求問題的解決思路和要點．(2)借助幾何直觀認識事物的位置關系、形態變化與運動規律；利用圖形分析數學問題，是直觀想象的核心內容，也是數學的核心素養．11、分段函數求值(1)分段函數求值的方法①先確定要求值的自變量屬于哪一段區間．②然后代入該段的解析式求值，直到求出值為止．當出現f(f(x0))的形式時，應從內到外依次求值．(2)已知分段函數的函數值求對應的自變量的值，可分段利用函數解析式求得自變量的值，但應注意檢驗函數解析式的適用范圍，也可先判斷每一段上的函數值的范圍，確定解析式再求解．12、分段函數圖象的畫法(1)對含有絕對值的函數，要作出其圖象，首先應根據絕對值的意義去掉絕對值符號，將函數轉化為分段函數，然后分段作出函數圖象．(2)作分段函數的圖象時，分別作出各段的圖象，在作每一段圖象時，先不管定義域的限制，作出其圖象，再保留定義域內的一段圖象即可，作圖時要特別注意接點處點的虛實，保證不重不漏．13、分段函數的實際應用(1)當目標在不同區間有不同的計算表達方式時，往往需要用分段函數模型來表示兩變量間的對應關系，而分段函數圖象也需要分段畫．(2)分段函數模型應用的關鍵是確定分段的各分界點，即明確自變量的取值區間，對每一個區間進行分類討論，從而寫出相應的函數解析式．考點一函數的三種表示法考點二求函數的解析式（一）待定系數法求解析式（二）換元法求解析式（三）配湊法求解析式（四）方程組法求解析式（五）賦值法求解析式考點三函數圖象的應用考點四分段函數求值考點五分段函數與不等式的綜合考點六分段函數的定義域、值域問題考點七分段函數圖象的畫法考點八分段函數圖象的應用（一）根據函數的圖象求解析式（二）分段函數圖象的應用考點一函數的三種表示法1．（2023秋·四川攀枝花·高一攀枝花市第三高級中學校校考階段練習）已知函數由以下表格給出，則等于.x1234－11212．（2023秋·高一課時練習）自變量x與因變量y之間的關系如下表：x01234…y02468…（1）寫出x與y的關系式：.（2）當時，.3．【多選】（2023秋·云南紅河·高一彌勒市一中校考階段練習）矩形的面積為，如果矩形的長為，寬為，對角線為，周長為，下列正確的（

）A．（） B．（）C．（） D．（）4．（2023·全國·高三對口高考）已知某人在2010年1月份至6月份的月經濟收入如下：1月份為1000元，從2月份起每月的月經濟收入是其上一個月的2倍，用列表、圖象、解析式三種不同形式來表示該人1月份至6月份的月經濟收入y（元）與月份序號x的函數關系，并指出該函數的定義域、值域和對應法則.5．（2023·全國·高三專題練習）某工廠近6年來生產某種產品的情況：前3年年產量的增長速度越來越快，后3年年產量保持不變．則可以描述該廠近6年這種產品的總產量c隨時間t變化的圖象是（

）A．

B．

C．

D．

6．【多選】（2023秋·高一課時練習）某地一年內的氣溫（單位：℃）與時間t（單位：月份）之間的關系如圖所示.已知該年的平均氣溫為10℃，令表示時間段內的平均氣溫，不能正確反映與t之間的函數關系的圖象有（）

A．

B．

C．

D．

考點二求函數的解析式（一）待定系數法求解析式7．（2023·全國·高一假期作業）已知一次函數滿足，則（

）A．12 B．13 C．14 D．158．（2023·全國·高一課堂例題）（1）已知一次函數滿足，求的解析式．（2）已知二次函數滿足，，，求的解析式．9．（2023·全國·高三對口高考）若二次函數滿足，且，則的表達式為（

）A． B．C． D．（二）換元法求解析式10．（2023春·遼寧朝陽·高二建平縣實驗中學校考階段練習）已知函數，則.11．（2023春·江西吉安·高三江西省泰和中學校考階段練習）已知，則的解析式為（

）A． B．C． D．12．（2023·重慶·統考模擬預測）已知函數，則（

）A．B．C． D．（三）配湊法求解析式13．（2023秋·陜西渭南·高一統考期末）已知，則（

）A． B．C． D．14．（2023秋·黑龍江哈爾濱·高一哈爾濱工業大學附屬中學校校考階段練習）已知函數，求函數的解析式為．（四）方程組法求解析式15．（2023·全國·高三專題練習）已知，求的解析式16．（2023·全國·高三專題練習）已知函數的定義域為R，對任意均滿足：則函數解析式為（

）A． B． C． D．17．（2023·全國·高三專題練習）設定義在上的函數滿足，則.18．（2023·全國·高一課堂例題）（1）已知函數滿足，求的解析式．（2）已知，其中，求的解析式．19．（2023秋·河北石家莊·高一石家莊精英中學校考階段練習）已知定義在上的函數滿足，則.（五）賦值法求解析式20．（2023·全國·高三專題練習）根據下列條件，求函數的解析式．(1)已知滿足.(2)已知，對任意的實數x，y都有.21．（2023·全國·高三專題練習）定義在R上的函數f(x)滿足，并且對任意實數x，y都有，求的解析式.22．（2023·江蘇·高一假期作業）設是R上的函數，，并且對于任意的實數都有，求.考點三函數圖象的應用23．（2023春·陜西榆林·高一陜西省神木中學校考階段練習）甲?乙兩人進行一次賽跑比賽，從同一地點出發，路程與時間的函數關系如圖所示，則下列說法正確的是（

）A．甲?乙兩人的速度相同 B．此次比賽甲獲勝C．乙跑的路程多 D．在比賽中甲比乙跑的快24．（2023·高一課時練習）在某種金屬材料耐高溫的實驗中，10分鐘內溫度y（℃）隨時間t（分鐘）的變化情況，經微機處理后顯示出如下圖象，則下列說法中正確的是（

）A．前5分鐘溫度增加的速度由慢變快，后5分鐘溫度保持不變B．前5分鐘溫度增加的速度由快變慢，后5分鐘溫度保持不變C．前5分鐘溫度增加的速度由慢變快，后5分鐘溫度勻速增加D．前5分鐘溫度增加的速度由快變慢，后5分鐘溫度勻速增加25．【多選】（2023·江蘇·高一專題練習）某公司計劃定制一批精美小禮品，準備在公司年終慶典大會上發給各位嘉賓，現有兩個工廠可供選擇，甲廠費用分為設計費和加工費兩部分，先收取固定的設計費，再按禮品數量收取加工費，乙廠直接按禮品數量收取加工費，甲廠的總費用（千元），乙廠的總費用（千元）與禮品數量x（千個）的函數關系圖象分別如圖中甲?乙所示，則（

）A．甲廠的費用與禮品數量x之間的函數關系式為C．當禮品數量超過2千個時，乙廠的總費用與禮品數量x之間的函數關系式為D．若該公司需定制的禮品數量為6千個，則該公司選擇乙廠更節省費用26．（2023秋·高一課時練習）某部影片的盈利額（即影片的票房收入與固定成本之差）記為，觀影人數記為，其函數圖象如圖（1）所示.由于目前該片盈利未達到預期，相關人員提出了兩種調整方案，圖（2）、圖（3）中的實線分別為調整后與的函數圖象.給出下列四種說法：①圖（2）對應的方案是：提高票價，并提高成本；②圖（2）對應的方案是：保持票價不變，并降低成本；③圖（3）對應的方案是：提高票價，并保持成本不變；④圖（3）對應的方案是：提高票價，并降低成本.其中，正確的說法是（

）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④考點四分段函數求值27．（2023秋·天津北辰·高一校考階段練習）已知函數，則=，=28．（2023秋·江西南昌·高一統考期中）已知函數，則.29．（2023春·廣東深圳·高一校考期中）已知函數，則（

）A． B．0 C．4 D．630．（2023·全國·高一課堂例題）已知則的值等于（

）A．-2 B．4 C．2 D．-431．（2023秋·山東青島·高一校考期中）已知函數，若，實數（

）A．2 B．3 C．4 D．532．（2023秋·四川成都·高三樹德中學校考階段練習）已知，若，則（

）A．1 B． C．2 D．考點五分段函數與不等式的綜合33．（2023·江蘇·高一假期作業）已知函數，則不等式的解集是．34．（2023秋·河南南陽·高一統考階段練習）設函數,則滿足的的取值范圍是（

）A． B．C． D．35．（2023·全國·高一專題練習）函數，若關于的不等式的解集.36．（2023·全國·高三專題練習）已知,則使成立的的取值范圍是（

）A． B．C． D．37．（2023·全國·高三專題練習）設，則不等式的解集是（）A．B．C．D．38．（2023秋·江蘇淮安·高一江蘇省淮安中學校考期末）已知函數，令，則不等式的解集是考點六分段函數的定義域、值域問題39．（2023秋·廣東江門·高一江門市第二中學校考期中）已知函數的圖象如圖所示，其中軸的左側為一條線段，右側為某拋物線的一段．(1)寫出函數的定義域和值域；(2)求的值．40．【多選】（2023秋·貴州畢節·高一統考期末）已知函數，關于函數的結論正確的是（

）A．的定義域為 B．的值域為C． D．若，則的值是241．【多選】（2023秋·廣東梅州·高一校考期中）已知函數，則關于函數的結論正確的是（

）A．的定義域為R B．的值域為C． D．若，則x的值為42．【多選】（2023秋·福建莆田·高一校聯考期中）函數，則下列結論正確的是（

）A．定義域為 B．的值域是C．方程的解為 D．方程的解為43．【多選】（2023秋·寧夏中衛·高一中寧一中校考階段練習）如圖是函數的圖像，則下列說法正確的是（

）A． B．的定義域為C．的值域為 D．若，則或244．【多選】（2023秋·河南周口·高一周口恒大中學校考期中）已知函數關于函數的結論正確的是（

）A．的定義域為RB．的值域為C．D．若則x的值是45．（2023秋·吉林通化·高一校考階段練習）已知函數的值域是，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．考點七分段函數圖象的畫法46．（2023秋·甘肅武威·高一校考期中）已知函數.作出函數的圖像，并根據圖像寫出函數的值域.

47．（2023·全國·高一課堂例題）作出下列函數的圖象：(1)(2)，．48．（2023秋·福建漳州·高一漳州三中校考期中）已知函數．

(1)求，；(2)若，求的值；(3)在給定的坐標系中，作出函數的圖象．49．（2023·全國·高一假期作業）已知函數.(1)求，的值；(2)作出函數的簡圖；(3)由簡圖指出函數的值域；50．（2023秋·廣東深圳·高一深圳市羅湖高級中學校考期中）已知.(1)用分段函數的形式表示該函數.(2)畫出區間上的的圖象；(3)根據圖象寫出區間上的值域.51．（2023秋·湖北武漢·高一校聯考期中）給定函數.

(1)在同一直角坐標系中畫出函數的圖像；(2)表示中的較大者，記為.結合圖像寫出函數的解析式，并求的最小值.52．（2023·全國·高三專題練習）已知函數，．(1)在給出的坐標系中畫出函數的圖像；(2)若關于的不等式恒成立，求實數的取值范圍．考點八分段函數圖象的應用（一）根據函數的圖象求解析式53．（2023春·陜西西安·高二西安市鐵一中學校考階段練習）如圖所示，在直角坐標系的第一象限內，是邊長為2的等邊三角形，設直線截這個三角形可得位于此直線左方的圖象的面積為，則函數的圖象大致是（

）

A．

B．

C．

D．

54．（2023秋·湖南郴州·高一校考階段練習）直角梯形如圖，直線左邊截得面積的圖象大致是（

）A．B．C．D．55．（2023秋·安徽黃山·高一屯溪一