乘法公式和整式的除法一、教學內容：1、多項式與多項式相乘時常用到的兩個公式：平方差公式、完全平方公式．2、同底數冪的除法法則．3、單項式除以單項式和多項式除以單項式．二、知識要點：1、平方差公式：(a+b)(a—b)=a2—b2兩個數的和與兩個數的差的積，等于這兩個數的平方差．注意：(1)公式的左邊是兩個二項式相乘，并且這兩個二項式中有一項完全相同，另一項互為相反數．(2)右邊是左邊因式中的兩項的平方差(相同項的平方減去相反項的平方)．(3)公式中的a與b可以是單個的數，也可以是單項式或多項式.(4)只有對于形如兩數的和與這兩數的差相乘時，才可以用平方差公式．2、完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2兩數和(或差)的平方，等于它們的平方和加(或減)它們的積的2倍．注意：(1)(a+b)2=a2+2ab+b2和(&—匕)2=a2—2ab+b2都叫做完全平方公式.為了區別，我們把前者叫做兩數和的完全平方公式，后者叫做兩數差的完全平方公式．(2)公式的特點：兩個公式的左邊都是一個二項式的完全平方，二者僅一個“符號”的不同；右邊都是二次三項式，當中有兩項是公式左邊二項中每一項的平方，第三項是左邊二項式中兩項乘積的2倍，二者也僅是一個“符號”的不同．(3)公式中的a與b可以是數，也可以是單項式或多項式.(4)在運用公式時要注意保持前后“符號”的一致性．3、乘法公式和面積之間的關系如圖(1),(a+b)(a—b)=；如圖(2),(a+b)2=；如圖(3),(a—b)2=.4、同底數冪的除法的運算性質：am^an=am-n(aW0,m、n都是正整數，并且m>n).同底數冪相除，底數不變，指數相減．注意：(1)因為零不能作除數，所以底數不能為0．(2)底數可以是一個數，也可以是單項式或多項式．5、零指數冪因為am：am=1,又因為am:amuam-mua。.所以ao=1.其中aW0.即：任何不等于0的數的零次冪都等于1．6、單項式除以單項式單項式相除：把系數與同底數冪分別相除作為商的因式，對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數作為商的一個因式.如：一4am2：2m=[(—4)：2]?a?(m2：m)步驟：(1)把系數相除，所得結果作為商的系數．(2)把同底數冪相除，所得結果作為商的因式．(3)把只在被除式里含有的字母，連同它的指數作為商的一個因式．7、多項式除以單項式：(am+bm)：m=am；m+bm；m=a+b.多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項除以這個單項式，再把所得的商相加．其實質就是把多項式除以單項式的運算轉化為單項式除以單項式的運算．計算時不要漏除，同時注意運算符號．三、重點、難點：重點是乘法公式和整式除法的運算法則，難點是在運算過程中如何準確的應用乘法公式．【典型例題】例1、(1)計算：(3a—2b)(3a+2b),(2)(2008年福建南平)先化簡，再求值：(a+b)(a—b)+b(b—2),其中a=—1,b=1.分析：(1)是兩個數的和乘以兩個數的差的形式．可直接應用公式寫出結果．(2)的前一部分直接用平方差公式計算,再化簡求值．解：(1)(3a—2b)(3a+2b)=(3a)2—(2b)2=9a2—4b2,(2)(a+b)(a—b)+b(b—2)=a2—b2+b2—2b=a2—2b,當a=—1,b=1時，原式=a2—2b=-1.評析：利用平方差公式計算直接寫出結果時,“平方”是一個整體的平方,不但字母要平方，系數也必須同時平方，要防止出現這樣的錯誤：(3a+2b)(3a—2b)=3a2—2b2.例2、計算：(1)(3a+b)2；(2)(—x+3y)2；(3)9992；(4)(b＋c)(—b—c).分析：此題可利用完全平方公式計算,(1)題是兩數和的平方,應選用和的完全平方公式，其中3a是公式中的a,b是公式中的b；⑵題(一x+3y)2=(3y—x)2=(x—3y)2；所以選用差的完全平方公式；(3)題關鍵是化成兩數差的平方；(4)題中(一b—c)=—(b+c),原式=—(b+c)2.解：(1)(3a+b)2=(3a)2+2?3a?b+b2=9a2+6ab+b2(2)(－x＋3y)2二(3y—x)2=(3y)2—2?3y?x+x2=9y2—6xy+x2(3)9992=(1000—1)2=10002—2X1000X1+1=1000000—2000+1=998001(4)(b＋c)(—b—c)=—(b+c)2=—(b2+2bc+c2)=—b2—2bc—c2評析：通過例題可以發現：當所給的二項式中兩項符號相同時，一般選用“和”的完全平方公式，如：(1)(3a+b)2和(4)(b+c)(—b—c)；當二項式中兩項符號相反時，一般選用“差”的完全平方公式.如：(2)(—x+3y)2.例3、(1)(2007年南京)計算x3：x的結果是 ()A.x4 B.x3 C.x2 D.3(2)(2007年重慶)計算6m3：(—3改)的結果是()A.—3m B.—2m C.2mD.3m(3)(2007年寧夏)計算：(9a2b—6ab2)：(3ab)=.分析：(1)x3：x=x3T=x2,故選C；(2)6m3：(—3改)=[6：(—3)]m3—2=—2m,故選B；(3)(9a2b—6ab2)：(3ab)=9a2b：3ab—6ab2：3ab=3a—2b解：(1)C(2)B(3)3a—2b評析：整式的除法歸根結底是要轉化成同底數冪的除法．例4、已知16x2—2(m—1)xy+49y2是一個完全平方式，求m的值.分析：由完全平方式特征可得a=4x,b=7y,且±2ab=—2(m—1)xy,所以m應有兩個值．解：由題意可知：一2(m—1)xy=±2?(4x)?(7y)m—1=±28?.m^29或m^27評析：完全平方式有兩種形式，用a2+b2±2ab解求ab項系數習題時應注意系數可為±2,不僅僅為2．1例5、計算：(1)(—xy)i2：(—xy)5；(2)(x—2y)4：(2y—x)3；(3)(—3)30：(3)0：(3)29.分析：此題主要運用同底數冪的除法法則進行運算,一定要注意法則的運用,如(1)題底數為一xy,且要注意符號.(2)和(3)題都需先把底數化成同底數如x—2y=—(2y—x).解：(1)(—xy)i2：(—xy)5=(—xy)12—5=(—xy)7=—X7y7；(2)(x—2y)4：(2y—x)3=(2y—x)4：(2y—x)3=(2y—x)4—3=2y—x；111(3)(—3)30^(3)0^(3)29=(3)30^(3)0：(3)291=(3)30—0—291=3評析：進行同底數冪的除法運算時，其底數必須相同，指數相減，此外，還應注意以下幾點：(1)符號的處置，指數的奇偶性確定符號的性質；(2)底數為多項式時不要隨意計算，如(a—b)ii=aii—bii這是極易出現的錯誤.例6、先化簡再求值．［(x—y)2+(x+y)(x—y)］：2x,其中x=3,y=—1.5.分析：(x—y)2與(x+y)(x—y)可運用乘法的完全平方公式與平方差公式展開，然后合并同類項.解：［(x—y)2+(x+y)(x—y)］：2x=(x2—2xy+y2+x2—y2)：2x=(2x2—2xy)：2x=x—y當x=3,y=—1.5時，原式=3一(—1.5)=4.5.【方法總結】1、在整式除法的學習中要注意轉化的思想方法，例如，多項式與單項式相除的法則，第一步是轉化為單項式與單項式相除，第二步則是轉化為有理數的除法與同底數冪的除法.2、注意乘法公式與面積之間的內在聯系，進而感受幾何與代數內在的統一性.【模擬試題】(答題時間：60分鐘)一、選擇題TOC\o"1-5"\h\z1、(2008年哈爾濱)下列運算中，正確的是( )A.x2+x2=x4 B.x2：x=x2 C.x3—x2=x D.x?x2=x32、(2008年山東)下列計算結果正確的是( )A.—2x2y3?2xy=-2x3y4 B.3x2y—5xy2=-2x2yC.28x4y2：7x3y=4xy D.(—3a—2)(3a—2)=9a2—43、在下列多項式乘法中，可以用平方差公式計算的是 ( )A.(x＋y)(—x—y) B.(a2—b)(a2＋b2)C.(2x—3y)(2y＋3x) D.(—3a＋4b)(—3a—4b)4、(2008年廣東汕頭)下列式子中是完全平方式的是 ( )A.a2＋ab＋b2 B.a2＋2a＋2C.a2—2b＋b2 D.a2＋2a＋15、(2007年黃岡)下列計算正確的是( )A.a3+a2=2a5B. (—A.a3+a2=2a5(a+b)(a+b)2=a2+b2a6：a2=a3*6、下列算式：①a3n：an=a3②b3n—bn=b2n,③(3—n)0=1,④(Pn+1)3：P2n?P2=Pn+1中，正確的算式有()A.1A.1個 B.2個C.3個 D.4個7、( )3D.2(a—b)2=12,則0.2+b2的D.4D.500D.7、( )3D.2(a—b)2=12,則0.2+b2的D.4D.500D.62TOC\o"1-5"\h\zA.—1 B.1 C.3*8、(2008年全國數學競賽廣東初賽)已知(&+匕)2=8,值為( )A.10 B.8 C.20100029、計算2522—2482的結果為( )1A.2 B.1000 C.500069 9**10、若1—x+x2=0,那么x的值等于 ()A.—3 B.3 C.—6、填空題11、(1)a5：a2= (2)(—a)3：(—a)=.12、(1)(x+3)(x—3)= ,(2)(3x+y)(y—3x)= ．13、(2008年濟南)當x=3,y=1時，代數式(x+y)(x—y)+y2的值是.*14、(—m+2)2= ,(x—2y—3)(x+2y—3)=[( )—2y][( )+2y]=( )2—4y2．15、利用乘法公式計算：1993X2001=.3*16、(3m—2n)(2m+n)= ．三、解答題17、計算下列各題：(1)(x3y2)5：(x3y2)3;(2)(x+y)10：(—x—y)7：(x+y)2；(3)(1—2a)(1+2a)(1+4a2)(1+16a4)．18、運用乘法公式進行簡便計算：(1)103X97；(2)4012；(3)20082—2009X2007．19、先化簡再求值：8(2x—1)2—(3x—1)(1+3x)+5x(x—1),其中x=—9；**20、(2007年山東淄博)根據以下10個乘積,回答問題：11X29；12X28；13X27；14X26；15X25；16X24；17X23；18X22；19X21；20X20．(1)試將以上各乘積分別寫成一個“口2—。2"(兩數平方差)的形式，并寫出其中一個的思考過程；(2)將以上10個乘積按照從小到大的順序排列起來；(3)試由(1)、(2)猜測一個一般性的結論．(不要求證明)【試題答案】、選擇題1、D2、C3、D4、D5、B6、A7、C8、A9、D10、B、填空題11、（1）a3（2）a212、x2－9，y2－9x213、914、m2－4m＋4，x－3，x－3，x－315、39999116116、原式=2 (3m—2n)1(3m+2n) =2(9m2—)=三、解答題17、(1)X6y4(2)—x—y(3)1—256a818、(1)原式=(100+3)(100—3)=10000—9=9991(2)原式=(400+1)2=4002+800+1=160801(3)原式=20082—(2008+1)(2008—1)=20082—20082+1=119、原式=4x2—4x+1—(9x2—1)+5x2—5x=4x2—4x+1—9X2+1+5