一、求極限問題1、函數極限2、數列極限◆L-Hospital法則◆Heine原理-將數列極限轉換為函數極限◆等價無窮小替換及Taylor公式◆兩個重要極限◆其它：利用導數的定義、微分中值定理等◆極限存在的兩個準則：夾逼性、單調有界原理◆利用定積分的概念◆利用收斂級數的性質1、函數極限◆L-Hospital法則取對數●再次使用洛必達法則是求不定型的一種有效方法,但要注意：1、求極限過程中，若某個因子的極限已知，則可先提出已知極限；2、求極限過程中，可以與其他方法如等價無窮小替換、Taylor公式結合使用，效果更好，但小心使用；3、求極限過程中，可連續使用洛必達法則，直至求出不定型的極限；4、后面將有例題說明在求不定型過程中，不是

必須使用洛必達法則才行。●●故原式先取對數◆等價無窮小替換及Taylor公式常用的帶Peano型余項Taylor公式常見的等價無窮小替換難點：Taylor公式展開的階數與等價無窮小替換的條件●●原式掌握等價無窮小替換與Taylor公式的使用●另一方面原式●原式●提示：◆兩個重要極限提示：注意到

●原式◆其它：利用導數的定義、微分中值定理等●●●分析：利用重要極限可知●利用Lagrange中值定理知故原式2、數列極限◆極限存在的兩個準則：夾逼性、單調有界原理◆利用定積分的概念◆利用收斂級數的性質◆Heine原理-將數列極限轉換為函數極限◆Heine原理●故原式●故原式先取對數洛必達法則討論數列的斂散性，并且如果收斂的話，求極限值

(1)設(2)設●◆極限存在的兩個準則：夾逼性、單調有界原理分析:(1)由數學歸納法知由此可見和都存在，且極限值是方程的正根分析:(2)根據單調有界原理知數列有極限，不妨設●◆利用定積分的概念特別地●由夾逼定理得●●由Stolz定理的推論◆利用收斂級數的性質級數收斂的必要條件:●提示：考慮級數利用比值判別法可知該級數收斂首屆全國大學生數學競賽決賽試題一、計算下列各題（共20分，每題各5分，要求寫出重要步驟）（3）現要設計一個容積為的一個圓柱體的容器。已知上下兩底的材料費為單位面積元，而側面的材料費為單位面積元。試給出最節省的設計方案：即高與上下底的直徑之比為何值時所需費用最少。二、（10分）求下列極限法一：法二：故原式先取對數洛必達法則●●●●●自測題二、(偏)導數、高階(偏)導數的計算1、分段點或特殊點處求導：直接利用定義2、復合函數的鏈式求導法則3、隱函數的求導法則對數求導法4、由參數方程確定的函數的求導法則5、高階導數的計算(一元函數)6、變限積分函數的求導1、分段點或特殊點處求導：直接利用定義●●●2、復合函數的鏈式求導法則●因此:特別注意下面二者的區別變量樹圖變量樹圖

變量樹圖uv求設函數

z=f(x,y)

在點(1,1)處可微,且由題設●●偏導數對復合結構具有”遺傳性”.●令復合3、隱函數的求導法則對數求導法設F(x,y)具有連續偏導數,已知方程解法1、公式法●解法2、兩邊求導法故解得同理可得解法3：利用全微分形式的不變性注、公式法：●證明：●兩邊取對數●4、由參數方程確定的函數的求導法則5、高階導數的計算(一元函數)◆利用Leibniz公式●常用高階導數公式◆根據已知函數的高階導數公式，通過恒等變形、四則運算等方法，求出高階導數●◆利用Taylor級數●6、變限積分函數的求導●●●●●●自測題三、(偏)導數的應用1、一元函數導數的應用2、多元函數偏導數的應用◆函數單調性的判別法◆函數的極值與最值◆不等式的證明◆確定方程實根的個數◆函數單調性的判別法●

數列的值最小的項的項數________.且該項的數值為

.提示：，則●

設

_______.提示:◆函數的極值與最值提示:先通過代換代入原方程得到●

設函數滿足方程求函數的極大值和極小值.再根據極值的第二充分條件得到關于的線性方程組解得極大值極小值解得再根據極值的第二充分條件

現要設計一個容積為的一個圓柱體的容器。已知上下兩底的材料費為單位面積元，而側面的材料費為單位面積元。試給出最節省的設計方案：即高與上下底的直徑之比為何值時所需費用最少。●且滿足費用函數解得◆不等式的證明

.微分中值定理利用函數的單調性(單調性的判別法)●即（*）式成立。證明不等式●利用函數的單調性來證明不等式的問題，關鍵在于通過要證明的不等式構造相應的輔助函數◆確定方程實根的個數利用函數的單調性(單調性的判別法)零點定理(根的存在性定理)Rolle定理（反證法）o由連續函數的零點存在定理知：●●

存在性由零點定理矛盾,唯一性(反證法)Rolle定理也可以指明方程實根的個數(反證法)Case1:若恒正(或恒負)，則根的個數Case2:若有唯一解，則根的個數Case3:若有兩個解，則根的個數Case4:若恒正(或恒負)，則根的個數Case6:若恒正(或恒負)，則根的個數Case5:若有唯一解，則根的個數提示:顯然故在整個實數軸上的零點個數至少有三個.另外注意到●或利用2、多元函數偏導數的應用◆曲線的切線與法平面◆曲面的切平面與法線◆多元函數的極值：無條件極值、條件極值設空間曲線的方程◆曲線的切線與法平面曲線在M處的切線方程空間曲線方程為空間曲線方程為切線方程為●

求曲線在點M(1,–2,1)處的切線方程與法平面方程.解法1

令則切向量法平面方程即解法2

方程組兩邊對

x求導,得解得切線方程即切線方程即法平面方程即曲線在點

M(1,–2,1)處有:切向量●◆曲面的切平面與法線設為曲面上的任一點,切平面方程為將定點代入平面方程即得無條件極值◆多元函數的極值：無條件極值、條件極值●

求中心在原點的橢圓的長半軸長度問題等價于求：在條件的極值(舍去帶減號的根)長半軸長為化簡其中滿足●

求函數在的最值原問題等價于求函數在的最值(證明：)所以在球內部沒有函數的駐點。構造輔助函數解得四、微分中值定理◆Rolle定理◆Lagrange中值定理◆Cauchy中值定理◆Taylor公式:Peano型、Lagrange型Rolle定理Lagrange中值定理Cauchy中值定理特殊推廣Taylor公式●◆Rolle定理●2題結論等價于構造輔助函數，驗證Rolle定理滿足分析:1題難點在于尋求區間，而2題難點在于構造合適的輔助函數，要求相應函數在相應區間上滿足

Rolle定理的條件知識點：Rolle定理、積分中值定理●該構造輔助函數的方法稱為指數因子法●提示(2):等價于輔助函數◆Lagrange中值定理●分析：要證明存在兩個或兩個以上的中間值，由于用一次中值定理只能找到一個中間值，故此問題通常至少要用兩次中值定理才能解決解：利用閉區間上連續函數的介值性(1)(2)由(1),(2)有相乘即可●提示:將結論改進為由介值定理,(1)(2)由(1),(2)有相加即可◆Cauchy中值定理●分析:結論等價于◆Taylor公式:Peano型、Lagrange型●由題意知合并同類項后得到●●分析：解：注意：帶Lagrange型余項的Taylor公式常用于證明與中間值相聯的不等式，其關鍵是注意Taylor公式中

展開點的選擇。通常選擇已知區間的端點、中間點或函數的極值點和導數等于零的點。這類題的特點是已知函數可導的階數較高(二階或二階以上)，同時還有若干個已知的函數值或導數值●●●●

–,則有更一般的，●提示：由條件知●存在性由Lagran