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人教A版（2023）必修一第二章一元二次函數、方程和不等式

一、單選題

1．（2023高二下·杭州月考）已知正數x，y滿足：，則x＋y的最小值為()

A．B．C．6D．

【答案】B

【知識點】基本不等式在最值問題中的應用

【解析】【解答】由題可知，

（當且僅當時取等號）

所以x＋y的最小值為

故答案為：B

【分析】將所求表示轉化為，由于乘以1不變，故原式可化為，將其整理化簡后由基本不等式求得最小值即可.

2．（2023高一下·元氏期中）兩個正實數滿足，則滿足，恒成立的m取值范圍（）

A．B．C．D．

【答案】B

【知識點】基本不等式在最值問題中的應用

【解析】【解答】由，，可得，當且僅當上式取得等號，若恒成立，則有，解得.

故答案為：B

【分析】由基本不等式和“1”的代換，可得的最小值，再由不等式恒成立思想可得小于等于的最小值，解不等式即得m的范圍。

3．（2023高一上·東方月考）若，，則的大小關系是（）

A．B．

C．D．的大小由的取值確定

【答案】A

【知識點】不等式比較大小

【解析】【解答】因為,>0,

所以，

故答案為：A.

【分析】利用作差法進行大小比較.

4．（2023高三上·長春月考）若，則下列不等式中恒成立的是（）

A．B．C．D．

【答案】B

【知識點】不等關系與不等式

【解析】【解答】解:∵,∴,∴B符合題意,A不符合題意;

取,,則,CD不符合題意.

故答案為：B.

【分析】根據,利用不等式的性質和取特殊值可得正確選項.

5．（2023高一下·湖州期末）不等式的解集是（）

A．B．

C．D．

【答案】A

【知識點】一元二次不等式的解法

【解析】【解答】由，

可得，，

所以，，

故答案為：A

【分析】解一元二次不等式，對原式因式分解可得，利用二次函數的圖形性質，可得結果.

6．（2023高一下·大慶期中）已知關于的不等式的解集為，若函數，則下列說法正確的是（）

A．函數有最小值2B．函數有最小值

C．函數有最大值-2D．函數有最大值

【答案】C

【知識點】一元二次不等式的解法；基本不等式在最值問題中的應用

【解析】【解答】由題得，的解集為，則，函數，又，則，故，當且僅當，即時，取得等號，函數有最大值.

故答案為：C

【分析】不等式可因式分解得，由解集為，可知，，代入函數，利用基本不等式，計算即得.

7．（2023高二上·咸陽月考）定義在R上的運算：.若不等式對任意實數x都成立，則（）

A．B．C．D．

【答案】B

【知識點】一元二次不等式的解法；一元二次不等式與一元二次方程

【解析】【解答】不等式可化為，即對任意實數都成立，

，解得.

故答案為：B.

【分析】由題意得出對任意實數x都成立，由判別式小于0求解即可.

8．（2023高一上·溫州期中）若不等式對一切實數都成立，則實數的取值范圍為（）

A．B．C．D．

【答案】B

【知識點】一元二次不等式的實際應用

【解析】【解答】①時，恒成立；

②，△，解得

綜上，，

故答案為：．

【分析】分類討論與0的關系，時恒成立，時，只需二次函數圖象開口向下且與軸無交點，進而求解.

二、多選題

9．（2023·淄博模擬）設表示不小于實數x的最小整數，則滿足關于x的不等式的解可以為（）

A．B．3C．-4.5D．-5

【答案】B,C

【知識點】一元二次不等式的解法

【解析】【解答】因為不等式，

所以，

所以，

又因為表示不小于實數x的最小整數，

所以不等式的解可以為3，-4.5.

故答案為：BC

【分析】先利用一元二次不等式的解法，得到，再根據表示不小于實數x的最小整數求解.

10．（2023高一上·海口月考）下列關于基本不等式的說法，正確的是（）

A．若，，則成立

B．對任意的，，成立

C．若，，則不一定成立

D．若，則成立

E．若，則成立

【答案】A,B,E

【知識點】基本不等式

【解析】【解答】A就是均值不等式，正確；由知B符合題意；由A知C不符合題意；當時，，但，D不符合題意；由A知E正確。

故答案為：ABE。

【分析】由基本不等式的條件分析。

三、填空題

11．定義運算“”：.當時，的最小值是.

【答案】

【知識點】基本不等式；基本不等式在最值問題中的應用

【解析】【解答】又新定義運算知，，

因為，

所以，==，但且僅當的最小值是

【分析】本題考查了基本不等式及新定義運算的理解能力，解答本題的關鍵，首先是理解新定義運算，準確地得到不等式，然后根據其特征，想到應用基本不等式求解.

12．（2023高二上·榆林期中）若不等式的解集是，則不等式的解集為．

【答案】

【知識點】一元二次不等式的解法

【解析】【解答】的解集為（-1，2），則，且對應方程的為-1和2，

∴，

，且，

不等式可化為，

即，

解得或．

故答案為：（-∞，-2）∪（1，+∞）．

【分析】根據的解集求出的關系，再化簡不等式，求出它的解集即可．

13．（2023高一下·南昌期中）若不等式對于一切恒成立，則a的最大值為.

【答案】2

【知識點】基本不等式在最值問題中的應用

【解析】【解答】不等式對于一切恒成立，即在上恒成立.

又，當且僅當時取等號.故，即的最大值為2.

故答案為：2

【分析】參變分離可得，再根據基本不等式求在上的最小值即可.

14．（2023高一下·南昌期中）已知函數，則函數的最小值為.

【答案】5

【知識點】基本不等式在最值問題中的應用

【解析】【解答】由題得，

因為，

所以.

當且僅當時取最小值.

故答案為：5.

【分析】由題得，再利用基本不等式求函數的最小值得解.

15．（2023·肥東模擬）已知集合，從集合A中取出m個不同元素，其和記為S；從集合中取出個不同元素，其和記為T．若，則的最大值為．

【答案】44

【知識點】基本不等式在最值問題中的應用

【解析】【解答】欲使m,n更大，則所取元素盡可能小，所以從最小開始取，S=即令2n-1=t,則m+2n=t+m+1,t為奇數,m為整數，則，由基本不等式當且僅當m=t=22時取等，∵t為奇數，∴的最大值在t=22附近取到，則t=21,m=23（舍）；t=21,m=22,成立；t=23,m=21（舍）;t=23,m=20,成立；故m+t的最大值為43，所以的最大值為44

故答案為44

【分析】欲使m,n更大，則所取元素盡可能小，所以從最小開始取S由得到令2n-1=t,則m+2n=t+m+1,t為奇數,m為整數，則，由基本不等式得取等條件不成立，則檢驗t=22附近取值，只有t=21,m=22和t=23,m=20,成立，則問題得解.

四、解答題

16．設函數，

（1）若不等式的解集．求的值；

（2）若求的最小值.

【答案】（1）【解答】解：因為不等式f(x)>0的解集(-1,3)，所以-1和3是方程f(x)=0的二實根，從而有：即解得：.

（2）【解答】解：由f(1)=2,a>0,b>0得到a+b=1,

所以,

當且僅當,即時“=”成立;所以的最小值為9．

【知識點】基本不等式在最值問題中的應用

【解析】【分析】本題主要考查了基本不等式在最值問題中的應用，解決問題的關鍵是（1）二次函數、二次方程與二次不等式統稱“三個”二次，它們常結合在一起，有關二次函數的問題，數形結合，密切聯系圖象是探求解題思路的有效方法，一般從：①開口方向；②對稱軸位置；③判別式；④端點值符合四個方面分析；（2）二次函數的綜合問題應用多涉及單調性與最值或二次方程根的分布問題，解決的主要思路是等價轉化，多用到數形結合思想與分類討論思想,（3）利用基本不等式求最值必須滿足一正，二定，三相等三個條件，并且和為定值時，積有最大值，積為定值時，和有最小值

17．圍建一個面積為360m2的矩形場地，要求矩形場地的一面利用舊墻（利用舊墻需維修），其它三面圍墻要新建，在舊墻的對面的新墻上要留一個寬度為2m的進出口，已知舊墻的維修費用為45元/m，新墻的造價為180元/m，設利用的舊墻的長度為x（單位：m）,(1)將y表示為x的函數(2)試確定x，使修建此矩形場地圍墻的總費用最小，并求出最小總費用

（1）將y表示為x的函數：

（2）試確定x，使修建此矩形場地圍墻的總費用最小，并求出最小總費用．

【答案】（1）解：設矩形的另一邊長為am，則y=45x+180（x﹣2）+1802a=225x+360a﹣360．

由已知ax=360，得，

所以

（2）解：因為x＞0，所以，所以，當且僅當時，等號成立．

即當x=24m時，修建圍墻的總費用最小，最小總費用是10440元．

【知識點】基本不等式在最值問題中的應用

【解析】分析：（1）設矩形的另一邊長為am，則根據圍建的矩形場地的面積為360m2，易得，此時再根據舊墻的維修費用為45元/m，新墻的造價為180元/m，我們即可得到修建圍墻的總費用y表示成x的函數的解析式；（2）根據（1）中所得函數的解析式，利用基本不等式，我們易求出修建此矩形場地圍墻的總費用最小值，及相應的x值．

18．（2023高二上·集寧月考）解關于的不等式.

【答案】解：原不等式可化為，即，

①當時，原不等式化為，解得，

②當時，原不等式化為，

解得或，

③當時，原不等式化為.

當，即時，解得；

當，即時，解得滿足題意；

當，即時，解得.

綜上所述，當時，不等式的解集為；

當時，不等式的解集為或；

當時，不等式的解集為；

當時，不等式的解集為；

當時，不等式的解集為.

【知識點】一元二次不等式的解法

【解析】【分析】將原不等式因式分解化為，對參數分5種情況討論：，，，，，分別解不等式．

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人教A版（2023）必修一第二章一元二次函數、方程和不等式

一、單選題

1．（2023高二下·杭州月考）已知正數x，y滿足：，則x＋y的最小值為()

A．B．C．6D．

2．（2023高一下·元氏期中）兩個正實數滿足，則滿足，恒成立的m取值范圍（）

A．B．C．D．

3．（2023高一上·東方月考）若，，則的大小關系是（）

A．B．

C．D．的大小由的取值確定

4．（2023高三上·長春月考）若，則下列不等式中恒成立的是（）

A．B．C．D．

5．（2023高一下·湖州期末）不等式的解集是（）

A．B．

C．D．

6．（2023高一下·大慶期中）已知關于的不等式的解集為，若函數，則下列說法正確的是（）

A．函數有最小值2B．函數有最小值

C．函數有最大值-2D．函數有最大值

7．（2023高二上·咸陽月考）定義在R上的運算：.若不等式對任意實數x都成立，則（）

A．B．C．D．

8．（2023高一上·溫州期中）若不等式對一切實數都成立，則實數的取值范圍為（）

A．B．C．D．

二、多選題

9．（2023·淄博模擬）設表示不小于實數x的最小整數，則滿足關于x的不等式的解可以為（）

A．B．3C．-4.5D．-5

10．（2023高一上·海口月考）下列關于基本不等式的說法，正確的是（）

A．若，，則成立

B．對任意的，，成立

C．若，，則不一定成立

D．若，則成立

E．若，則成立

三、填空題

11．定義運算“”：.當時，的最小值是.

12．（2023高二上·榆林期中）若不等式的解集是，則不等式的解集為．

13．（2023高一下·南昌期中）若不等式對于一切恒成立，則a的最大值為.

14．（2023高一下·南昌期中）已知函數，則函數的最小值為.

15．（2023·肥東模擬）已知集合，從集合A中取出m個不同元素，其和記為S；從集合中取出個不同元素，其和記為T．若，則的最大值為．

四、解答題

16．設函數，

（1）若不等式的解集．求的值；

（2）若求的最小值.

17．圍建一個面積為360m2的矩形場地，要求矩形場地的一面利用舊墻（利用舊墻需維修），其它三面圍墻要新建，在舊墻的對面的新墻上要留一個寬度為2m的進出口，已知舊墻的維修費用為45元/m，新墻的造價為180元/m，設利用的舊墻的長度為x（單位：m）,(1)將y表示為x的函數(2)試確定x，使修建此矩形場地圍墻的總費用最小，并求出最小總費用

（1）將y表示為x的函數：

（2）試確定x，使修建此矩形場地圍墻的總費用最小，并求出最小總費用．

18．（2023高二上·集寧月考）解關于的不等式.

答案解析部分

1．【答案】B

【知識點】基本不等式在最值問題中的應用

【解析】【解答】由題可知，

（當且僅當時取等號）

所以x＋y的最小值為

故答案為：B

【分析】將所求表示轉化為，由于乘以1不變，故原式可化為，將其整理化簡后由基本不等式求得最小值即可.

2．【答案】B

【知識點】基本不等式在最值問題中的應用

【解析】【解答】由，，可得，當且僅當上式取得等號，若恒成立，則有，解得.

故答案為：B

【分析】由基本不等式和“1”的代換，可得的最小值，再由不等式恒成立思想可得小于等于的最小值，解不等式即得m的范圍。

3．【答案】A

【知識點】不等式比較大小

【解析】【解答】因為,>0,

所以，

故答案為：A.

【分析】利用作差法進行大小比較.

4．【答案】B

【知識點】不等關系與不等式

【解析】【解答】解:∵,∴,∴B符合題意,A不符合題意;

取,,則,CD不符合題意.

故答案為：B.

【分析】根據,利用不等式的性質和取特殊值可得正確選項.

5．【答案】A

【知識點】一元二次不等式的解法

【解析】【解答】由，

可得，，

所以，，

故答案為：A

【分析】解一元二次不等式，對原式因式分解可得，利用二次函數的圖形性質，可得結果.

6．【答案】C

【知識點】一元二次不等式的解法；基本不等式在最值問題中的應用

【解析】【解答】由題得，的解集為，則，函數，又，則，故，當且僅當，即時，取得等號，函數有最大值.

故答案為：C

【分析】不等式可因式分解得，由解集為，可知，，代入函數，利用基本不等式，計算即得.

7．【答案】B

【知識點】一元二次不等式的解法；一元二次不等式與一元二次方程

【解析】【解答】不等式可化為，即對任意實數都成立，

，解得.

故答案為：B.

【分析】由題意得出對任意實數x都成立，由判別式小于0求解即可.

8．【答案】B

【知識點】一元二次不等式的實際應用

【解析】【解答】①時，恒成立；

②，△，解得

綜上，，

故答案為：．

【分析】分類討論與0的關系，時恒成立，時，只需二次函數圖象開口向下且與軸無交點，進而求解.

9．【答案】B,C

【知識點】一元二次不等式的解法

【解析】【解答】因為不等式，

所以，

所以，

又因為表示不小于實數x的最小整數，

所以不等式的解可以為3，-4.5.

故答案為：BC

【分析】先利用一元二次不等式的解法，得到，再根據表示不小于實數x的最小整數求解.

10．【答案】A,B,E

【知識點】基本不等式

【解析】【解答】A就是均值不等式，正確；由知B符合題意；由A知C不符合題意；當時，，但，D不符合題意；由A知E正確。

故答案為：ABE。

【分析】由基本不等式的條件分析。

11．【答案】

【知識點】基本不等式；基本不等式在最值問題中的應用

【解析】【解答】又新定義運算知，，

因為，

所以，==，但且僅當的最小值是

【分析】本題考查了基本不等式及新定義運算的理解能力，解答本題的關鍵，首先是理解新定義運算，準確地得到不等式，然后根據其特征，想到應用基本不等式求解.

12．【答案】

【知識點】一元二次不等式的解法

【解析】【解答】的解集為（-1，2），則，且對應方程的為-1和2，

∴，

，且，

不等式可化為，

即，

解得或．

故答案為：（-∞，-2）∪（1，+∞）．

【分析】根據的解集求出的關系，再化簡不等式，求出它的解集即可．

13．【答案】2

【知識點】基本不等式在最值問題中的應用

【解析】【解答】不等式對于一切恒成立，即在上恒成立.

又，當且僅當時取等號.故，即的最大值為2.

故答案為：2

【分析】參變分離可得，再根據基本不等式求在上的最小值即可.

14．【答案】5

【知識點】基本不等式在最值問題中的應用

【解析】【解答】由題得，

因為，

所以.

當且僅當時取最小值.

故答案為：5.

【分析】由題得，再利用基本不等式求函數的最小值得解.

15．【答案】44

【知識點】基本不等式在最值問題中的應用

【解析】【解答】欲使m,n更大，則所取元素盡可能小，所以從最小開始取，S=即令2n-1=t,則m+2n=t+m+1,t為奇數,m為整數，則，由基本不等式當且僅當m=t=22時取等，∵t為奇數，∴的最大值在t=22附近取到，則t=21,m=23（舍）；t=21,m=22,成立；t=23,m=21（舍）;t=23,m=20,成立；故m+t的最大值為43，所以的最大值為44

故答案為44

【分析】欲使m,n更大，則所取元素盡可能小，所以從最小開始取S由得到令2n-1=t,則m+2n=t+m+1,t為奇數,m為整數，則，由基本不等式得取等條件不成立，則檢驗t=22附近取值，只有t=21,m=22和t=23,m=20,成立，則問題得解.

16．【答案】（1）【解答】解：因為不等式f(x)>0的解集(-1,3)，所以-1和3是方程f(x)=0的二實根，從而有：即解得：.

（2）【解答】解：由f(1)=2,a>0,b>0得到a+b=1,

所以,

當且僅當,即時“=”成立;所以的最小值為9．

【知識點】基本不等式在最值問題中的應用