./2017年普通高等學校招生全國統一考試理科數學<全國2卷>一、選擇題：本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.〔A．B．C．D．2.設集合,．若,則〔A．B．C．D．3.我國古代數學名著《算法統宗》中有如下問題："遠望巍巍塔七層,紅光點點倍加增,共燈三百八十一,請問尖頭幾盞燈？"意思是：一座7層塔共掛了381盞燈,且相鄰兩層中的下一層燈數是上一層燈數的2倍,則塔的頂層共有燈〔A．1盞B．3盞C．5盞D．9盞4.如圖,網格紙上小正方形的邊長為1,粗實線畫出的是某幾何體的三視圖,該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分后所得,則該幾何體的體積為〔A．B．C．D．5.設,滿足約束條件,則的最小值是〔A．B．C．D．6.安排3名志愿者完成4項工作,每人至少完成1項,每項工作由1人完成,則不同的安排方式共有〔A．12種B．18種C．24種D．36種7.甲、乙、丙、丁四位同學一起去向老師詢問成語競賽的成績．老師說：你們四人中有2位優秀,2位良好,我現在給甲看乙、丙的成績,給乙看丙的成績,給丁看甲的成績．看后甲對大家說：我還是不知道我的成績．根據以上信息,則〔A．乙可以知道四人的成績B．丁可以知道四人的成績C．乙、丁可以知道對方的成績D．乙、丁可以知道自己的成績8.執行右面的程序框圖,如果輸入的,則輸出的〔A．2B．3C．4D．59.若雙曲線〔,的一條漸近線被圓所截得的弦長為2,則的離心率為〔A．2B．C．D．10.已知直三棱柱中,,,,則異面直線與所成角的余弦值為〔A．B．C．D．11.若是函數的極值點,則的極小值為〔A.B.C.D.112.已知是邊長為2的等邊三角形,P為平面ABC內一點,則的最小值是〔A.B.C.D.二、填空題：本題共4小題,每小題5分,共20分。13.一批產品的二等品率為,從這批產品中每次隨機取一件,有放回地抽取次,表示抽到的二等品件數,則．14.函數〔的最大值是．15.等差數列的前項和為,,,則．16.已知是拋物線的焦點,是上一點,的延長線交軸于點．若為的中點,則．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、解答過程或演算步驟。第17~21題為必做題,每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題,考生根據要求作答。〔一必考題：共60分。17.〔12分的內角的對邊分別為,已知．<1>求<2>若,面積為2,求18.〔12分淡水養殖場進行某水產品的新、舊網箱養殖方法的產量對比,收獲時各隨機抽取了100個網箱,測量各箱水產品的產量〔單位：kg其頻率分布直方圖如下：設兩種養殖方法的箱產量相互獨立,記A表示事件"舊養殖法的箱產量低于50kg,新養殖法的箱產量不低于50kg”填寫下面列聯表,并根據列聯表判斷是否有99%的把握認為箱產量與養殖方法有關：箱產量＜50kg箱產量≥50kg舊養殖法新養殖法根據箱產量的頻率分布直方圖,求新養殖法箱產量的中位數的估計值〔精確到0.01P〔K0.0500.0100.001k3.8416.63510.82819.〔12分如圖,四棱錐P-ABCD中,側面PAD為等比三角形且垂直于底面ABCD,E是PD的中點.〔1證明：直線平面PAB〔2點M在棱PC上,且直線BM與底面ABCD所成角為,求二面角M-AB-D的余弦值20.〔12分設O為坐標原點,動點M在橢圓C：上,過M做x軸的垂線,垂足為N,點P滿足.求點P的軌跡方程；設點Q在直線x=-3上,且.證明：過點P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點F.21.〔12分已知函數且.〔1求a；〔2證明：存在唯一的極大值點,且.〔二選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做,按所做的第一題計分。22.[選修4-4：坐標系與參數方程]〔10分在直角坐標系xOy中,以坐標原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為．〔1M為曲線上的動點,點P在線段OM上,且滿足,求點P的軌跡的直角坐標方程；〔2設點A的極坐標為,點B在曲線上,求面積的最大值．23.[選修4-5：不等式選講]〔10分已知,證明：〔1；〔2．2017年普通高等學校招生全國統一考試理科數學<Ⅱ>試題答案一、選擇題1.D2.C3.B4.B5.A6.D7.D8.B9.A10.C11.A12.B二、填空題13.1.9614.115.16.6三、解答題17.解：〔1由題設及,故上式兩邊平方,整理得解得〔2由,故又由余弦定理及得所以b=218.解：〔1記B表示事件"舊養殖法的箱產量低于",表示事件"新養殖法的箱產量不低于"由題意知舊養殖法的箱產量低于的頻率為故的估計值為0.62新養殖法的箱產量不低于的頻率為故的估計值為0.66因此,事件A的概率估計值為〔2根據箱產量的頻率分布直方圖得列聯表箱產量箱產量舊養殖法6238新養殖法3466由于故有的把握認為箱產量與養殖方法有關．〔3因為新養殖法的箱產量頻率分布直方圖中,箱產量低于的直方圖面積為,箱產量低于的直方圖面積為故新養殖法箱產量的中位數的估計值為．19.解：〔1取中點,連結,．因為為的中點,所以,,由得,又所以．四邊形為平行四邊形,．又,,故〔2由已知得,以A為坐標原點,的方向為x軸正方向,為單位長,建立如圖所示的空間直角坐標系A-xyz,則則,,,,,則因為BM與底面ABCD所成的角為45°,而是底面ABCD的法向量,所以,即〔x-12+y2-z2=0又M在棱PC上,設由①,②得所以M,從而設是平面ABM的法向量,則所以可取m=〔0,-,2.于是因此二面角M-AB-D的余弦值為20.解〔1設P〔x,y,M〔x0,y0,設N〔x0,0,由得因為M〔x0,y0在C上,所以因此點P的軌跡方程為〔2由題意知F〔-1,0.設Q〔-3,t,P<m,n>,則,由得,又由〔1知,故3+3m-tn=0所以,即又過點P存在唯一直線垂直于OQ,所以過點P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點F.21.解：〔1的定義域為設,則等價于因為若a=1,則.當0＜x＜1時,單調遞減；當x＞1時,＞0,單調遞增.所以x=1是的極小值點,故綜上,a=1〔2由〔1知設當時,；當時,,所以在單調遞減,在單調遞增又,所以在有唯一零點x0,在有唯一零點1,且當時,；當時,,當