2022-2023學年北京市海淀區二十中學高一上學期階段性檢測（12月月考）數學試題一、單選題1,0,1,2,3，則AB（）1．已知集合A{x||x|2}，BA．0,1B．1,0,1C．0,1,2D．1,0,1,2【答案】B【分析】利用集合交集的定義求解.【詳解】由|x|2結合絕對值的幾何意義解得2x2，所以A{x|2x2}，1,0,1，所以AB故選:B.ln0.3，c0.36，則（）2．已知a60.3，bA．acb【答案】AB．abcC．bacD．bca【分析】與“0”，“1”比較大小即可解決.【詳解】由題知,a60.3601，bln0.3ln10，c0.36，因為00.360.30，所以0c1所以b0c1a，故選：A上單調遞增的是（）3．下列函數中，既是偶函數又在區間0,A．y1B．yexC．ylgxD．yxx【答案】D【分析】根據具體函數的性質對選項逐一判斷即可.1【詳解】對于A，因為yx，當x0時，y1，顯然y1在0,上單調遞減，故A錯誤；xx1對于B，因為yfxex，所以f1e1，f1e，即存在xR，使得fxfx，e所以fx不是偶函數，故B錯誤；ygxlgx，所以C，因為10glg111，g10lg101，即11gg10，10對于100,gx在上并不單調遞增，故錯誤；所以CD，因為R，即yhxx，易得hx的定義域為hx的定義域關于原點對稱，又hxxxhx，所以R上的偶函數，對于hx是在0,當0時，xD.hxx，顯然在hx上單調遞增，故正確故選：D.4．已知ab0，則下列各選項正確的是（）1111ab0A．0B．22abC．log2log20D．lnalnb0ab【答案】B【分析】每個選項依次考查，判斷一個命題是假命題只需舉一個反例..ab0,【詳解】1111A：不妨取a3,b2，0，A錯；ab321fb,11xabB：fx0，B對；單調遞減，fa22212log2log2log2log220C：取ab2,，C錯；，ab2121,lnlnb0,D錯；,b1D：取a2a3故選：B6區間中，包含fx零點的區間是（）5．已知函數fxlog．在下列xx24,5D．1,22,33,4A．B．C．【答案】C【分析】根據零點存在性定理解決即可.【詳解】由題知，函數在定義域內單調遞減，且f(1)6log160，2f(3)2log30，2f(4)log4103，2622f(5)log50，523,4,fx零點的區間是所以故選：C16．在同一坐標系內，函數yx(a0)和的圖象可能是()yaxaaA．【答案】BB．C．D．a0與性質，分和討論，0a<【分析】根據冪函數的圖象利用排除法，即可求解，得到答案.1a0【詳解】由題意，若(0,)yax時，函數在遞增，此時遞增，排除D；縱軸上截距yxaaa0時，不合題意；為正數，排除C，即1(0,)yax若a<0時，函數在遞減，又由遞減可排除A，故選B.yxaa【點睛】本題主要考查了冪函數的圖象與性質的應用，其中解答中熟記冪函數的圖象與性質是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.7．青少年視力是社會普遍關注的問題，視力情況可借助視力表測量．通常用五分記錄法和小數記錄法記錄視力數據，五分記錄法的數據L和小數記錄表的數據V的滿足L5lgV．已知某同學視力的五分記錄法的數據為4.9，則其視力的小數記錄法的數據為（）（10101.259）A．1.5【答案】CB．1.2C．0.8D．0.6【分析】根據L,V關系，L4.9時，求出lgV，再用指數表示V，即可求解.當L5lgV，當L4.9時，lgV0.1，【詳解】由11V100.1101010.8.10101.259則故選：C.8．函數的圖象大致為（）y2A．B．C．D．【答案】A【分析】由題意首先確定函數的奇偶性，然后考查函數在特殊點的函數值排除錯誤選項即可確定函數的圖象.4xx21，則函數fx為奇函數，其圖象關于坐標原fx【詳解】由函數的解析式可得：fx點對稱，選項CD錯誤；411當1時，20，選項錯誤yxB.故選：A.【點睛】函數圖象的識辨可從以下方面入手：(1)從函數的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數的值域，判斷圖象的上下位置．圖象的對稱性．(2)從函數的單調性，判斷圖象的變化趨勢．(3)從函數的奇偶性，判斷(4)從函數的特征點，排除不合要求的圖象．利用上述方法排除、篩選選項．abx為奇函數0”是“”的（）fx充分條件D．既不必要條件fxa9．已知函數ebe0，則“abxA．充分而不必要條件B．必要而不C．充分必要條件充分也不【答案】C【分析】根據ab0可得fx，由奇偶性定義可知充分性成立；由fx為奇函數可知fxfx，由ab0，知必要性此可構造方程求得成立，由此可得結論.fxaexae，fxaexaexfx，x【詳解】當ab0時，fx為奇函數，充分性成立；當fx為奇函數時，由fxfx得：aebeee，xabxxxab，即ab0，必要性成立；“ab0”是“”的充分必要條件.fx為奇函數故選：C.e1x10．已知函數fx．下列關于函數的說法錯誤的是（）fx1e2xA．函數是奇函數fxB．函數在上是增函數fxR11,22C．函數的值域是fxfxa0有兩個不相等的實數根D．存在實數，使得關于的方程ax【答案】D【分析】根據奇函數的性質、指數函數的性質，結合函數的單調性進行求解判斷即可.e1的定義域為，R1e2xA，函數fx【詳解】解：對于xe010，且fxe111121e2xe111e221exefx，xxxf(0)1e21ex0x函數是奇函數，fxA選項正確；ex11111，1e221e1B，函數fx對于1e2xxx1e1e21e21e1e1e1111eex12xxx21，1e1exx12令xx，fxfx2121xxxx1212xx，eeee0，xxxx121212而1e1，1e1，xx12eexx1201e1ex2fxfx，即fxfx，112x21因此函數fx在上是增函數，B選項正確；R1121e對于C，函數，1e1，fxxx111ex01ex1，則10，11221ex1111fx，即2，221122fx的值域是,所以函數，C選項正確；f(x)a0不可能有兩個不相等的對于D，由B可知函數fx在上是增函數，因此關于x的方程RD選項錯誤；實數根，故選：D.二、填空題11．函數lnxfx1x1的定義域是___________．【答案】0,11,【分析】利用具體函數的定義域的求法求解即可.【詳解】因為lnxfx1，x1x0x10，則x0且，1x所以.0,11,的定義域是故lnxfx1x10,11,故答案為：.fx21的零點為___________．12．函數x1【答案】1【分析】直接解方程即可.【詳解】fx210,21,x1log10,x1.x1x12故答案為：1fxlog2x31（13．函數a0且a1）的圖象過定點_________.a【答案】2,1yfx的圖象所再代入函數解析式，即可得出函數過定點的坐【分析】令真數為1，求出x的值，標.【詳解】令2x31，得，且f2log111.x2a2,1.yfx的圖象過定點因此，函數2,1故答案為.【點睛】本題考查對數型函數圖象過定點問題，一般利用真數為1求出自變量的值，考查運算求解能力，屬于基礎題.14．已知函數fx3x，gxxa2(aR)．若函數ygfx存在兩個零點，則a的取值范圍是___________．,2【答案】0時，不符合題意；當a<0時，寫成分段函數的形式，判斷其單調性，利用【分析】先分類討論a零點存在定理得出有兩個零點的條件即可求解.fx3，gxxa2(aR)，【詳解】因為xgfxfxa23xa2，所以3xa2在R上為0時，gfx若a增函數，至多有一個零點，不符合題意；agfx3xa2當a<0時，，33xa2,xloga3單調遞增，則gfx在,logaloga,單調遞減，在33gfx3log3aa2aa220，易知min3x可取得無窮大值，故不管a的取值如何，在loga,必存在一點3當xloga時，因為y3gfx0，x，使得11loga,xloga,上必存在唯一零點，所以gfx在313因為函數ygfx存在兩個零點，所以當xloga時，gfx在,loga上也必須存在一個零點，即在,loga必存333x2在一點，使得gfx0a20，，即3x22,log所以a23x2在a上能成立，3因為指數函數y30恒成立，且當x時，y3x0，x所以只需a20即可，得a2，即a的取值范圍為.,2,2.故答案為：ax1,x115．已知函數a0且a1．給出下列四個結論：，其中fxa2x1,x1①若a2，則函數fx的零點是0；0,1；②若函數fx無最小值，則的取值范圍為a③若a2，則fx在區間上單調遞增；上單調遞減，在區間0,,0根x,x,x，則a的取值范圍為2,3，且不相等的實數123④若關于的方程fxa2恰有三個xxxx的取值范圍為,2．123其中，所有正確結論的序號是_____．【答案】①④當x1時，fx單調遞減，得②錯誤；分可知2時存在有三個不等實【分析】令fx0可確定①正確；由函數無最小值可知別判斷兩段函數的單調性，根據嚴格單調遞增的要求知③錯誤；討論ax,x,x，進而得到xxx的范圍，知根的情況，采用數形結合的方式可得a的范圍，分別求得123123④正確.a10，解得：x0a2x10，解得：x1【詳解】對于①，令；令（舍）；x2，則函數的零點是fx若ax0，①正確；f00；對于②，當1時，1，此時fxxfxaxmin若fx無最小值，則需當x1a20，解得：a2時，fx單調遞減，即，且1，a的取值范圍為0,11,2，②錯誤；又a0a0,11,，上分別單調遞增；對于③，當2時，fx在,0上單調遞減，在a若需fx在0,a10，解得：a1（舍），上單調遞增，則fx在0,上并非嚴格單調遞增，③錯誤；a2時，x1fx0在對于④，當時有無數解，不滿足題意；fxa2有時，當0a1或1a2時，a20，則當fxa2無解；當x1x1時，方程唯一解x2；不滿足方程有三個不等實根；當a2時，fx大致圖象如下圖所示，fxa2有三個不等實根，則0a21，解得：；2a3若設xxx，123a2x1a2，解得：x2；令2，即x3a1a2，解得：xlog3a，xloga1，令x1a2axxlog3aa1loga24a3；12aa，a4a30,1xx,02a3，，212xxx,2，④正確.123故答案為：①④【點睛】思路點睛：本題考查分段函數零點、最值、單調性和方程根的分布的問題；求解方程根的分布的基本思路是能夠將問題轉化為曲線與平行于x軸的直線交點個數問題，通過數形結合的方式，利用函數圖象來進行分析和討論，由此確定根的分布情況.三、解答題16．計算下列各式的值．1128(15)0(1)34(9)2；273log352lg10log1log142log23(2)555015【答案】(1)5(2)7【分析】根據指數、對數的運算規律化簡求解即可.1.3434413353【詳解】（1）解：原式13481343133821331（2）解：原式log572lg102log252log27315551log712log2log2log73555511237.17．已知對數函數fxlogx（a0且a1）．a(1)若對數函數fx的圖像經過點8,3，求的值；a(2)若對數函數fx在區間,2上的最大值比最小值大2，求a的值．aa【答案】(1)a22(2)a2或2【分析】（1）已知對數函數fx的圖像經過點8,3，將此點代入函數即可求出a的值；（2）對數函數fx在區間a,2a上的最大值比最小值大2，分類討論a1，0a1時函數的單調性，并求出最大值與最小值，列出方程即可求出a的值.f8log83，，則【詳解】（1）解：若對數函數fx的圖像經過點8,3aa38，即a2.f(x)logx在a,2a上是增函數，（2）解：當a1時，afxf2alog2alog21，f(x)f(a)loga1，minamaxaa因為最大值比最小值大2，所以log211log22，解得a2；aaf(x)logx在a,2a上是減函數，當0a1時，afxfa1，fxf2alog21，maxmina則1log21log22，aa1a2，2a22綜上a2或2.218．已知函數fxax1x2．(1)若a1，求不等式fx0的解集；(2)已知a0，求不等式fx0的解集．【答案】(1)x1x2(2)答案見解析【分析】（1）當a1時，直接由一元二次不等式的解法可得出所求的答案；（2）分類討論:01aa，和11a2，分別根據一元二次不等式的解法即可得出相應的解集.22【詳解】（1）解：當a1時，f(x)(x1)(x2)，fx0可化為：(x1)(x2)0所以不等式，解得x12，x1x2.fx0的解集為：即不等式（2）解：因為(ax1)(x2)0，當12，即0a11時，解得x2或x；a2a12，即a1當時，解得x2；a2當12，即a11或x2；得x時，解a2a時，不等式fx,；1a1a,2綜上所述，當00的解集為2時，不等式fx12,；,20當a當a的解集為20時，不等式fx1,2,的解集.1為2a19．已知函數fx3x3x．2的奇偶性，(1)判斷函數fx并說明理由；上的單調性，并用單調性定義證明；(2)判斷函數fx在0,0對任意a,2恒成立，求fax(3)若1f2xx的取值范圍．【答案】(1)奇函數，理由見解析；(2)單調遞增，證明見解析；(3)1,0.【分析】（1）根據證明函數的奇偶性步驟解決即可；（2）根據單調性定義法證明即可；（3）根據奇偶性，單調性轉化解不等式即可.33xx【詳解】（1）fx為奇函數，理由如下2易知函數的定義域為,，關于原點對稱，3x3因為f(x)xf(x)，2所以f(x)為奇函數.（2）fx在0,上的單調遞增，證明如下33x，x0,，x因為fx2x,x(0,)，且xx，設任意的12123333x23333所以fxfxx1x2xxxxx121122221233133xx233xx121331xxxx121233xx1222x,x(0,)，xx，因為1212所以330,3x320，xxx121fx，12所以fxfx0，即fx12所以函數fx在0,上的單調遞增.（3）由（1）知f(x)為奇函數，由（2）知fx在0,上的單調遞增，所以()在,單調遞增，fx0對任意a,2恒成立，因為fax1fx2所以f(ax1)f(2x)f(x2)，對任意a,2恒成立，所以ax1x2令gaxa1x0，a,2x0g(2)2x(1x)0，解得1x則只需0，1,0所以x的取值范圍為.20．有一種放射性元素，最初的質量為500g，按每年10%衰減(1)求兩年后，這種放射性元素的質量；g(2)求年后，這種放射性元素的質量（單位為：）與時間的函數表達式；twt(3)由（2）中的函數表達式，求這種放射性元素的半衰期（剩留量為原來的一半所需的時間叫作半衰lg20.3010，lg30.47710.1期）．（精確到年，已知：）g【答案】(1)405(2)w5000.9(3)6.6年.t【分析】(1)根據衰減率直接求解即可；(2)根據衰減規律歸納出函數表達式；(3)半衰期即為質量衰減為原來的一半，建立等式，利用換底公式求解.500(10.1)5000.9，【詳解】（1）經過一年后，這種放射性元素的質量為經過兩年后，這種放射性元素的質量為500(10.1)(10.1)5000.92，g即兩年后，這種放射性元素的質量為405（2）由于經過一年后，這種放射性元素的質量為500(10.1)5000.91，經過兩年后，這種放射性元素的質量為500(10.1)(10.1)5000.92，……所以經過年后，這種放射性元素的質量5000.9t.twlg0.5lg26.6.（3）由題可知5000.9t250，即log0.5t年lg0.92lg310.9xxA,xaS0Aa21．對于正整數集合，記，記集合所有元素之和為，．若SXAX；②AAAx；③SASA，則稱122xAA2，存在非空集合A、，滿足：①AA1121“雙拆”．若，“存在均存在“雙拆”，稱A可以xAA任意雙拆”．A“雙拆”？如果是，否“任意雙拆”？（是否存在繼續判斷可不必1,2,3,41,3,5,7,9,11(1)判斷集合和寫過程，直接寫出判斷結果）；(2)Aa,a,a,a,a，證明：A不能“任意雙拆”；12345(3)若可以“任意雙拆”，求中元素個數的最小值．AA【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析(3)7【分析】（1）根據題中定義判斷可得出結論；aaaaa，利用反證法，通過討論集合中去掉的元素，結合（2）不妨設“任意雙拆”的A12345定義得出等式，推出矛盾，即可證得原結論成立；（3）分析可知集合中每個元素均為奇數，且集合中所有元素都為奇數，分析可知n7n7，當AAA1,3,5,7,9,11,13，根據時，“任意分拆”的定義可判斷集合可“任意分拆”，即可得出結論.A1,2,3,41,2,3,441,2,31）解：對于集合，，且123，【詳解】（1,2,3,4所以，集合可雙拆，，243，342，故集合不可任意分拆；1,2,3,4“”若在集合中去掉元素1，因為2341,3,5,7,9,11去除任意一個元素形成新集合，1,3,5,7,9,11若集合可以“雙拆”，則在集合BBBB，SBSB，則SBSB2SB，若存在集合B、B使