第一章常用邏輯用語1.1命題及其關系1.1.1命題[目標導航]課標要求1.理解命題的概念,能判斷給定語句是否為命題.2.掌握命題的構成,能把命題改寫成“若p,則q”的形式.3.能判斷一些簡單命題的真假.素養達成通過對命題的概念、結構、真假的學習,逐步提升學生的數學抽象、邏輯推理等數學核心素養.新知導學課堂探究新知導學·素養養成判斷真假真假條件結論思考1:數學中的定義、公理、定理、推論是命題嗎?是真命題嗎?答案:是命題,并且是真命題.思考2:將含有大前提的命題改寫成“若p,則q”的形式,大前提如何處理?答案:保持不變.名師點津(1)判斷命題的真假,一定要全面分析命題中相關條件與結論,用相關的定義、公理、定理、性質等進行判斷.(2)一個命題要么是真、要么是假,不能既真又假,也不能模棱兩可無法判斷真假.題型一課堂探究·素養提升命題的概念[例1]判斷下列語句中,哪些是命題?并說明理由.解:(1)是陳述句,且能判斷真假,是命題.(2)當x∈R時,3x2-2x與1的大小關系不確定,無法判斷其真假,不是命題.(3)不是陳述句,不是命題.(2)3x2-2x>1;(3)在平面上作一個半徑為4的圓;(4)若sinα=cosα,則α=45°;(5)5100是一個大數;(6)垂直于同一個平面的兩條直線一定平行嗎?(7)若x∈R,則x2+2>0.解:(4)是陳述句,且能判斷真假,是命題.(5)是陳述句,但是“大數”的標準不確定,所以無法判斷其真假,不是命題.(6)不是陳述句,不是命題.(7)是陳述句,且能判斷真假,是命題.方法技巧判斷語句是否是命題的策略(1)命題是可以判斷真假的陳述句,因此,一般疑問句、祈使句、感嘆句等都不是命題.(2)對于含變量的語句,要注意根據變量的取值范圍,看能否判斷其真假,若能,就是命題;若不能,就不是命題.即時訓練1-1:下列語句中是命題的有

.(填序號)

①一個分數不是正分數就是負分數;②0是自然數嗎?③22022是一個很大的數;④4是集合{2,3,4}的元素;⑤作△ABC≌△A′B′C′.解析:②是一般疑問句,不是命題;③是陳述句,但“很大”無法說明到底多大,不能判斷真假,不是命題;⑤是祈使句,不是命題.①④是可以判斷真假的陳述句,是命題.答案:①④[備用例1]“紅豆生南國,春來發幾枝?愿君多采擷,此物最相思.”這是唐代詩人王維的《相思》詩,在這四句詩中,可以作為命題的是(

)(A)紅豆生南國 (B)春來發幾枝(C)愿君多采擷 (D)此物最相思解析:“紅豆生南國”是陳述句,所述事件在唐代是事實,所以本句是命題,且是真命題;“春來發幾枝”是一般疑問句,“愿君多采擷”是祈使句,“此物最相思”是感嘆句,都不是命題,故選A.題型二命題真假的判斷[例2]判斷下列命題的真假:(1)已知a,b,c,d∈R,若a≠c,b≠d,則a+b≠c+d;(2)若x∈N,則x3>x2成立;(3)若m>1,則方程x2-2x+m=0無實數根;(4)存在一個三角形沒有外接圓.解:(1)假命題.反例:1≠4,5≠2,而1+5=4+2.(2)假命題.反例:當x=0時,x3>x2不成立.(3)真命題.因為m>1,所以Δ=4-4m<0,所以方程x2-2x+m=0無實數根.(4)假命題.因為不共線的三點確定一個圓,即任何三角形都有外接圓.方法技巧命題真假的判斷方法(1)分清命題的條件和結論,是對命題進行真假判斷的關鍵;(2)判斷一個命題是假命題,只需要舉一個反例即可,判斷一個命題為真命題,需經過嚴格的推理論證,在判斷時,要有推理依據.數學中的定義、定理、公理和公式都是真命題.即時訓練2-1:下列命題中,是真命題的是(

)(A)若a3+b3=0,則a2+b2=0(B)若a>b,則ac>bc(C)若M∩N=M,則N?M(D)若M?N,則M∩N=M解析:A.取a=1,b=-1,則a2+b2≠0,A不成立;B.c≤0時,不成立;C.M∩N=M,則M?N,C不成立;D成立.故選D.[備用例2]下列命題正確的是(

)(A)若兩條直線和同一個平面所成的角相等,則這兩條直線平行(B)若一個平面內有三個點到另一個平面的距離相等,則這兩個平面平行(C)若一條直線平行于兩個相交平面,則這條直線與這兩個平面的交線平行(D)若兩個平面都垂直于第三個平面,則這兩個平面平行解析:A中這兩條直線可平行、異面、相交,選項A錯;B中,經過這三個點的平面與這個平面可相交,選項B不正確;對于C,如圖,平面α∩β=b,a∥α,a∥β,過直線a作平面ε∩α=c,過直線a作平面γ∩β=d,因為a∥α,所以a∥c.因為a∥β,所以a∥d,所以d∥c,因為c?α,d?α,所以d∥α.又因為d?β,α∩β=b,所以d∥b,所以a∥b,選項C正確;若兩個平面都垂直于第三個平面,則這兩個平面可平行、可相交,選項D不正確.故選C.題型三命題的結構形式[例3]把下列命題改寫成“若p,則q”的形式,并判斷真假,且指出p和q分別指什么.(1)乘積為1的兩個實數互為倒數;(2)奇函數的圖象關于原點對稱;(3)與同一直線平行的兩個平面平行.解:(1)“若兩個實數乘積為1,則這兩個實數互為倒數”,它是真命題.p:兩個實數乘積為1;q:這兩個實數互為倒數.(2)“若一個函數為奇函數,則它的圖象關于原點對稱”.它是真命題.p:一個函數為奇函數;q:這個函數的圖象關于原點對稱.(3)“若兩個平面與同一條直線平行,則這兩個平面平行”.它是假命題,這兩個平面也可能相交.p:兩個平面與同一條直線平行;q:這兩個平面平行.方法技巧(1)對命題改寫時,一定要找準命題的條件和結論,有些命題的形式比較簡潔,條件和結論不明顯,寫命題的條件和結論時需要適當加以補充,例如命題“對頂角相等”的條件應寫成“若兩個角是對頂角”,結論為“這兩個角相等”.(2)在對命題改寫時,要注意所敘述的條件和結論的完整性,有些命題中,還要注意大前提的寫法,例如命題“在△ABC中,若a>b,則A>B”中,大前提“在△ABC中”是必不可少的.即時訓練3-1:將命題“平行于同一平面的兩條直線平行”改寫成“若p,則q”的形式為

,且為

(填“真”或“假”)命題.解析:命題可改寫為若兩條直線平行于同一平面,則它們互相平行.因為平行于同一平面的兩條直線可能平行、相交或異面,所以是假命題.答案:若兩條直線平行于同一平面,則它們互相平行假[備用例3]指出下列命題中的條件p和結論q,并判斷各命題的真假.(1)若四邊形是平行四邊形,則它的對角線互相平分;(2)若a>0,b>0,則a+b>0;(3)兩個面積相等的三角形是全等三角形.解:(1)條件p:四邊形是平行四邊形,結論q:四邊形的對角線互相平分.真命題.(2)條件p:a>0,b>0,結論q:a+b>0.真命題.(3)條件p:兩個三角形面積相等,結論q:它們是全等三角形.假命題.題型四根據命題真假求參數范圍[例4]已知集合A={x|x2<2},若a∈A是真命題,則a的取值范圍是(

)方法技巧(1)已知命題的真假求參數的取值范圍,應根據題意建立相應的不等式或方程求解.解題時要善于尋找解題思路,運用性質、定理等條件.(2)命題的條件或結論是集合形式的,可將集合化到最簡時再求解.即時訓練4-1:“若x2-2x-8<0,則p”為真命題,那么p是(

)(A)-2<x<4 (B)-4<x<2(C)x>4或x<-2 (D)x>4或x<2解析:由x2-2x-8<0解得-2<x<4,所以p是“-2<x<4”,故選A.經驗分享區一般地,若已知命題是假命題,則命題的“對立面”就是真命題.如:①“方程F(x)=0無解”為假命題,則表明“方程F(x)=0有解”為真命題.②“函數y=logax(a>0,a≠1)是增函數”是假命題.因為函數y=logax(a>0,a≠1)的單調性只有兩種情況:增函數或減函數,所以“y=logax(a>0,a≠1)是減函數”就是真命題,即可得出0<a<1.課堂達標解析:①②③是命題,④中x>2無法判斷真假,⑤是感嘆句,所以④⑤不是命題.1.下列語句是命題的是(

)①三角形的內角和等于180°;②2>3;③偶數是自然數;④x>2;⑤這座山真險啊!(A)①②③ (B)①③④ (C)①②⑤ (D)②③⑤A2.下列命題中,是真命題的是(

)D解析:可以通過舉反例的方法說明選項A,B,C為假命題.故選D.解析:①中當m=0時,是一元一次方程;②中當Δ=4+4a<0時,拋物線與x軸無交點;③是正確的;④中空集不是本身的真子集.故選A.3.下列命題中真命題有(

)①mx2+2x-1=0是一元二次方程;②拋物線y=ax2+2x-1與x軸至少有一個交點;③互相包含的兩個集合相等;④空集是任何集合的真子集.(A)1個 (B)2個 (C)3個 (D)4個A答案:④解:(1)若一個多邊形是正n邊形(n≥