四川省資陽市東山中學(xué)2022-2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)文測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.已知函數(shù)f（x）=，則方程f（x）=ax恰有兩個不同實(shí)數(shù)根時，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）（注：e為自然對數(shù)的底數(shù)）A．（0，） B．[，） C．（0，） D．[，e]參考答案：B【考點(diǎn)】分段函數(shù)的應(yīng)用．【分析】由題意，方程f（x）=ax恰有兩個不同實(shí)數(shù)根，等價于y=f（x）與y=ax有2個交點(diǎn)，又a表示直線y=ax的斜率，求出a的取值范圍．【解答】解：∵方程f（x）=ax恰有兩個不同實(shí)數(shù)根，∴y=f（x）與y=ax有2個交點(diǎn)，又∵a表示直線y=ax的斜率，∴y′=，設(shè)切點(diǎn)為（x0，y0），k=，∴切線方程為y﹣y0=（x﹣x0），而切線過原點(diǎn)，∴y0=1，x0=e，k=，∴直線l1的斜率為，又∵直線l2與y=x+1平行，∴直線l2的斜率為，∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是[，）．故選：B．2.函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（其中）的圖象如圖所示，為了得到的圖象，只需將f（x）的圖象（）A．向左平移個長度單位 B．向右平移個長度單位C．向左平移個長度單位 D．向右平移個長度單位參考答案： D【考點(diǎn)】函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．【分析】根據(jù)圖象求出φ的值，再由“左加右減”法則判斷出函數(shù)圖象平移的方向和單位長度．【解答】解：∵由函數(shù)圖象可得：A的值為1，周期T=4×（﹣）=π，∴ω===2，又函數(shù)的圖象的第二個點(diǎn)是（，0），∴2×+φ=π，于是φ=，則f（x）=sin（2x+）=sin[2（x+）]，∵g（x）=cos（2x﹣）=sin2x，∴為了得到g（x）=cos（2x﹣）的圖象，只需將f（x）的圖象向右平移個單位即可．故選：D．3.函數(shù)是（

）A.非奇非偶函數(shù)

B.僅有最小值的奇函數(shù)C.僅有最大值的偶函數(shù)

D.既有最大值又有最小值的偶函數(shù)參考答案：D4.右圖是2014年在某大學(xué)自主招生面試環(huán)節(jié)中，七位評委為某考生打出的分?jǐn)?shù)的莖葉統(tǒng)計(jì)圖，去掉一個最高分和一個最低分后，所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別為（

）A、84，4.84 B、84，1.6

C、85，4

D、85，1.6 參考答案：D略5.已知函數(shù)，（為常數(shù)，）在處取得最小值，則函數(shù)是偶函數(shù)，且它的圖像關(guān)于對稱 是偶函數(shù)，且它的圖像關(guān)于對稱是奇函數(shù)，且它的圖像關(guān)于對稱 是奇函數(shù)，且它的圖像關(guān)于對稱參考答案：D6.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則等于

．參考答案：

7.設(shè)集合是的子集，如果點(diǎn)滿足：，稱為集合的聚點(diǎn).則下列集合中以為聚點(diǎn)的有：；②；③；

④ （）A．①④ B．②③ C．①② D．①②④參考答案：A略8.若實(shí)數(shù)滿足不等式組

則的最大值是

A．11

B．23

C．26

D．30參考答案：D做出可行域如圖，設(shè)，即，平移直線，由圖象可知當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)D時，直線的截距最大，此時最大。由解得，即，代入得，所以最大值為30，選D.9.若P（2，﹣1）為圓（x﹣1）2+y2=25的弦AB的中點(diǎn)，則直線AB的方程是（） A．x﹣y﹣3=0 B． 2x+y﹣3=0 C． x+y﹣1=0 D． 2x﹣y﹣5=0參考答案：考點(diǎn)： 直線和圓的方程的應(yīng)用；直線與圓相交的性質(zhì)．分析： 由圓心為O（1，0），由點(diǎn)P為弦的中點(diǎn)，則該點(diǎn)與圓心的連線垂直于直線AB求解其斜率，再由點(diǎn)斜式求得其方程．解答： 解：已知圓心為O（1，0）根據(jù)題意：Kop=kABkOP=﹣1kAB=1，又直線AB過點(diǎn)P（2，﹣1），∴直線AB的方程是x﹣y﹣3=0故選A點(diǎn)評： 本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系及其方程的應(yīng)用，主要涉及了弦的中點(diǎn)與圓心的連線與弦所在的直線垂直．10.已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)是奇函數(shù)，當(dāng)時，||，且對，恒有，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A．[0，2]

B．[，]

C．[1，1]

D．[2，0]參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸,并在兩種坐標(biāo)系中取相同的長度單位.已知圓的極坐標(biāo)方程為，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），則圓心到直線的距離是

.參考答案：

12.設(shè)函數(shù)f(x)＝x3－2ex2＋mx－lnx，記g(x)＝，若函數(shù)g(x)至少存在一個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_____參考答案：13.為了研究某種細(xì)菌在特定環(huán)境下隨時間變化的繁殖情況，得到如下實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)：天數(shù)t（天）34567繁殖個數(shù)y（千個）2.5m44.56及y關(guān)于t的線性回歸方程，則實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中m的值為

．參考答案：3【考點(diǎn)】線性回歸方程．【專題】計(jì)算題；方程思想；演繹法；概率與統(tǒng)計(jì)．【分析】求出這組數(shù)據(jù)的橫標(biāo)和縱標(biāo)的平均數(shù)，寫出這組數(shù)據(jù)的樣本中心點(diǎn)，把樣本中心點(diǎn)代入線性回歸方程求出m的值．【解答】解：∵=5，=，∴這組數(shù)據(jù)的樣本中心點(diǎn)是（5，），∵關(guān)于y與x的線性回歸方程，∴，=0.85×5﹣0.25，解得m=3，∴m的值為3．故答案為3．【點(diǎn)評】本題考查回歸分析，考查樣本中心點(diǎn)滿足回歸直線的方程，考查求一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，是一個運(yùn)算量比較小的題目，并且題目所用的原理不復(fù)雜，是一個好題．14.已知，，則__________．參考答案：315.已知點(diǎn)F為拋物線y2=﹣8x的焦點(diǎn)，O為原點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線準(zhǔn)線上一動點(diǎn)，點(diǎn)A在拋物線上，且|AF|=4，則|PA|+|PO|的最小值為

．參考答案：2考點(diǎn)：拋物線的簡單性質(zhì)．專題：計(jì)算題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．分析：利用拋物線的定義由|AF|=4得到A到準(zhǔn)線的距離為4，即可求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，根據(jù)：“|PA|+|PO|”相當(dāng)于在準(zhǔn)線上找一點(diǎn)，使得它到兩個定點(diǎn)的距離之和最小，最后利用平面幾何的方法即可求出距離之和的最小值．解答： 解：∵|AF|=4，由拋物線的定義得，∴A到準(zhǔn)線的距離為4，即A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為﹣2，又點(diǎn)A在拋物線上，∴從而點(diǎn)A的坐標(biāo)A（﹣2，4）；坐標(biāo)原點(diǎn)關(guān)于準(zhǔn)線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為B（4，0）則|PA|+|PO|的最小值為：|AB|=故答案為：2．點(diǎn)評：此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用拋物線的簡單性質(zhì)解決最小值問題，靈活運(yùn)用點(diǎn)到點(diǎn)的距離、對稱性化簡求值，是一道中檔題．16.已知角α的終邊過點(diǎn)（﹣2，3），則sin2α=．參考答案：【考點(diǎn)】二倍角的正弦；任意角的三角函數(shù)的定義．【分析】根據(jù)定義求出sinα，和cosα的值，利用二倍角公式可得sin2α的值．【解答】解：角α的終邊過點(diǎn)（﹣2，3），根據(jù)三角函數(shù)的定義可知：sinα=，cosα=，則sin2α=2sinαcosα==，故答案為：．17.如圖所示，在中，為邊上的一點(diǎn)，且，若（），則_____________.參考答案：【分析】本題考察向量的線性表示，屬于常規(guī)問題，難度適中，可以通過兩個思路去解決問題，第一，利用幾何關(guān)系處理問題，通過建立平行線尋找?guī)讉€向量的關(guān)系；第二，則可以使用向量之間的相互表達(dá)的手段去處理，或者直接使用共線定理（即：若共線，且，則）。【解】方法一：由于，則，其中，，那么可轉(zhuǎn)化為，可以得到，即，則，那么，故填.方法二：直接利用共線定理，，則，則，則，那么，故填.方法三：利用幾何方法，如右圖所示構(gòu)造輔助線，做的三等分點(diǎn)，根據(jù)平行線等分定理則，在新構(gòu)造的中，，又，，那么，可以得到，則，那么，故填.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，在四棱錐A﹣BCDE中，CD⊥平面ABC，BE∥CD，AB=BC=CD，AB⊥BC，M為AD上一點(diǎn)，EM⊥平面ACD．（Ⅰ）證明：EM∥平面ABC；（Ⅱ）若CD=2，求四棱錐A﹣BCDE的體積．參考答案：【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺的體積；直線與平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）取線段AC的中點(diǎn)F，連接BF．通過BF⊥AC，CD⊥BF，證明BF⊥平面ACD，推出EM∥BF，然后證明EM∥平面ABC．（Ⅱ）連接MF，證明BE∥平面ACD，推出BE∥MF，證明四邊形BEMF為平行四邊形，然后證明CD⊥AB，推出AB⊥平面BCDE，求解棱錐的底面面積，求解幾何體的體積．【解答】（Ⅰ）證明：取線段AC的中點(diǎn)F，連接BF．因?yàn)锳B=BC，所以BF⊥AC，因?yàn)镃D⊥平面ABC，所以CD⊥BF，又AC∩CD=C，所以BF⊥平面ACD，因?yàn)镋M⊥平面ACD，所以EM∥BF，又EM?平面ABC，BF?平面ABC，所以EM∥平面ABC．（Ⅱ）解：連接MF，因?yàn)锽E∥CD，BE?平面ACD，CD?平面ACD，所以BE∥平面ACD，又平面BEMF∩平面ACD=MF，所以BE∥MF，由（Ⅰ）知EM∥BF，所以四邊形BEMF為平行四邊形，所以BE=MF．因?yàn)镕是AC的中點(diǎn)，所以M是AD的中點(diǎn)，所以．因?yàn)镃D⊥平面ABC，所以CD⊥AB，又BC⊥AB，所以AB⊥平面BCDE，所以四棱錐A﹣BCDE的體積．19.已知函數(shù)，其中．（1）討論f（x）的單調(diào)性；（2）當(dāng)a=1時，證明：；（3）求證：對任意正整數(shù)n，都有（其中e≈2.7183為自然對數(shù)的底數(shù)）參考答案：（1）見解析（2）見解析（3）見解析【分析】（1）分別在和兩段范圍內(nèi)討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，從而得到單調(diào)區(qū)間；（2）將問題轉(zhuǎn)化為證明，通過導(dǎo)數(shù)求得，從而證得所證不等式；（3）根據(jù)（2）可知，令，則可得，再通過進(jìn)行放縮，證得，從而得到所證結(jié)論.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋佼?dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增②當(dāng)時，令，解得：當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增綜上，當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增（2）當(dāng)時，要證明，即證，即設(shè)則，令得，當(dāng)時，，當(dāng)時，所以為極大值點(diǎn)，也為最大值點(diǎn)所以，即故（3）由（2）（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立）令，則所以即所以【點(diǎn)睛】本題考查討論含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)最值證明不等式問題、與自然數(shù)相關(guān)的不等式的證明問題.對于導(dǎo)數(shù)中含自然數(shù)的問題的證明，關(guān)鍵是對已知函數(shù)關(guān)系中的自變量進(jìn)行賦值，進(jìn)而得到與相關(guān)的不等關(guān)系，利用放縮的思想進(jìn)行證明.20.(12分)解關(guān)于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a∈R)．參考答案：21.(13分)甲，乙，丙三個同學(xué)同時報名參加某重點(diǎn)高校2014年自主招生，高考前自主招生的程序?yàn)閷徍瞬牧虾臀幕瘻y試，只有審核過關(guān)后才能參加文化測試，文化測試合格者即可獲得自主招生入選資格．因?yàn)榧祝遥烁饔袃?yōu)勢，甲，乙，丙三人審核材料過關(guān)的概率分別為0．5，0．6，0．4，審核過關(guān)后，甲，乙，丙三人文化測試合格的概率分別為0．6，0．5，0．75．（I）求甲，乙，丙三人中只有一人通過審核材料的概率；（Ⅱ）求甲，乙，丙三人中至少兩人獲得自主招生入選資格的概率參考答案：（I）分別記甲，乙，丙通過審核材料為事件記甲，乙，丙三人中只有一人通過審核材料為事件B。則==……6分（Ⅱ）甲，乙，丙三人獲得自主招生入選資格概率均為……9分記甲，乙，丙三人中至少兩人獲得自主招生入選資格為事件C。則P(C)=……13分22.如圖所示，在三棱錐