測量教案章測量誤差第1頁，課件共38頁，創作于2023年2月(1)偶然誤差——符號與大小呈偶然性單個偶然誤差無規律，大量偶然誤差有統計規律偶然誤差——真誤差案例1——三等、四等水準測量在cm分劃水準標尺上估讀mm位估讀的數有時過大，有時偏小案例2——經緯儀測量水平角大氣折光使望遠鏡中目標的成像不穩定引起瞄準目標有時偏左、有時偏右多次觀測取平均值可以削弱偶然誤差的影響不能完全消除偶然誤差的影響第2頁，課件共38頁，創作于2023年2月(2)系統誤差——符號與大小保持不變，或按一定規律變化案例——鋼尺量距用沒有鑒定、名義長為30m、實際長為30.005m的鋼尺量距每丈量一整尺段距離就量短了0.005m產生-0.005m的量距誤差各整尺段的量距誤差大小都是-0.005m符號都是負，不能抵消，具有累積性系統誤差對觀測值的影響具有一定的規律性找到規律就可對觀測值施加改正以消除或削弱系統誤差的影響第3頁，課件共38頁，創作于2023年2月誤差定義——規范規定——測量儀器使用前應檢驗和校正按規范要求操作布設平面與高程控制網測量控制點三維坐標時應有一定量的多余觀測嚴格按規范要求進行測量時系統誤差與粗差是可被消除或削弱到很小只討論誤差有偶然誤差(真誤差)的情形——第4頁，課件共38頁，創作于2023年2月§6.2偶然誤差的特性定義——大部分情況下，真值未知，求不出Δ某些情形中，觀測量函數的真值已知案例——三角形內角和閉合差ω定義為ωi=(β1+β2+β3)i－180°真值，ω的真誤差——結論：三角形閉合差的真誤差等于閉合差本身第5頁，課件共38頁，創作于2023年2月358個三角形閉合差真誤差統計分析案例第6頁，課件共38頁，創作于2023年2月Δ——橫坐標，——縱坐標長條矩形面積——，等于頻率第7頁，課件共38頁，創作于2023年2月①偶然誤差有界——一定觀測條件、有限次觀測偶然誤差絕對值不超過一定限值②小誤差出現頻率大，大誤差出現頻率小③絕對值相等的正、負誤差出現頻率大致相等④觀測次數n→∞，偶然誤差平均值→0偶然誤差的特性第8頁，課件共38頁，創作于2023年2月誤差數n→∞，誤差區間dΔ→0小長條矩形頂折線→光滑曲線——正態分布密度曲線正態分布概率密度函數——德國科學家高斯(Gauss)1794年研究誤差規律時發現①Δ→∞，f(Δ)→0②|Δ1|>|Δ2|，f(Δ1)<f(Δ2)③f(－Δ)=f(Δ)，f(Δ)關于y軸對稱④E(Δ)=0第9頁，課件共38頁，創作于2023年2月概率論稱Δ——隨機變量Δ為連續型隨機變量時，可以證明E(Δ)——隨機變量Δ的數學期望Var(Δ)——方差，σ——標準差Δ為離散型隨機變量時，上述兩式變成第10頁，課件共38頁，創作于2023年2月§6.3評定真誤差精度的指標(1)標準差與中誤差對真值進行了n次等精度獨立觀測觀測值——l1，l2

，…，ln

真誤差——Δ1，Δ2

，…，Δn

觀測值標準差——n有限時標準差——中誤差(meansquareerror)——m表示第11頁，課件共38頁，創作于2023年2月[例6-1]

已知某段距離真值——49.984m用50m鋼尺丈量6次，求一次丈量50m的中誤差第12頁，課件共38頁，創作于2023年2月2.相對誤差專為距離測量定義的精度指標單純用距離丈量中誤差不能反映距離精度情況丈量50m距離，測量中誤差——±5mm丈量100m距離，測量中誤差——±5mm不能認為這兩段不同長度的距離丈量精度相等引入相對誤差——第13頁，課件共38頁，創作于2023年2月相對誤差無單位，分子、分母長度單位應統一習慣將相對誤差分子化為1，分母為一個較大數分母越大——相對誤差越小，距離測量精度越高后者精度>前者第14頁，課件共38頁，創作于2023年2月(3)誤差容許值設ξ為任一正實數，事件A=(|Δ|＜ξσ)的概率為:-ξσξσ第15頁，課件共38頁，創作于2023年2月結論真誤差絕對值＞σ的占31.73%真誤差絕對值＞2σ的占4.55%真誤差絕對值＞3σ的占0.27%后兩者屬于小概率事件，小樣本中不會發生觀測次數有限時絕對值＞2σ或＞3σ的真誤差不可能出現測量規范常以2σ或3σ作為真誤差的允許值限差——|Δ限|=2σ=2m或|Δ限|=3σ=3m觀測值誤差大于上述限差時認為它含有系統誤差，應剔除第16頁，課件共38頁，創作于2023年2月§6.4誤差傳播定律及其應用測量中，有些未知量不能直接觀測測定需由直接觀測量計算求出水準儀一站觀測的高差——h=a-b三角高程測量初算高差——h’=Ssinα直接觀測量的誤差導致它們的函數也存在誤差函數的誤差由直接觀測量的誤差傳播過來第17頁，課件共38頁，創作于2023年2月(1)線性函數的誤差傳播定律及其應用函數——Z=f1X1+f2X2+……+fnXn系數——f1，f2，……，fn誤差獨立觀測量——X1，X2，……，Xn觀測量中誤差——m1，m2，……，mn函數中誤差——第18頁，課件共38頁，創作于2023年2月1)等精度獨立觀測量算術平均值的中誤差等精度獨立觀測值——l1，l2，…，ln算術平均值——每個觀測量的中誤差——m結論算術平均值的中誤差=為一次觀測中誤差的N→∞時，第19頁，課件共38頁，創作于2023年2月[例6-1]每次距離丈量中誤差——m=±5.02mm6次丈量距離平均值的中誤差——第20頁，課件共38頁，創作于2023年2月2)等精度獨立觀測量和的中誤差獨立觀測n站高差——h1，h2，…hn路線高差之和——h=h1+h2+…+hn每站高差觀測中誤差——m站第21頁，課件共38頁，創作于2023年2月(2)非線性函數的誤差傳播定律及其應用非線性函數——Z=F(X1，X2，…，Xn)X1，X2，…，Xn——誤差獨立觀測量中誤差——m1，m2，…，mn第22頁，課件共38頁，創作于2023年2月[例6-2]測量斜邊S=163.563m，中誤差mS=±0.006m測量角度α=32°15′26″，中誤差mα=±6″邊長與角度觀測誤差獨立,求初算高差h’的中誤差mh’[解]h’=Ssinα，取全微分得第23頁，課件共38頁，創作于2023年2月角度的微分量dα”除以ρ”是為了將dα”的單位由秒→弧度H=Ssinα=163.563×sin32°15′26″=87.297mf1=h/S=87.297÷163.563=0.533721f2=hcotα/ρ”=87.297×cot32°15′26″÷206265=0.000671第24頁，課件共38頁，創作于2023年2月§6.5等精度獨立觀測量的最可靠值等精度獨立觀測值——l1，l2，…，ln算術平均值——真誤差——Δ1，Δ2，…，Δn其中取極限結論——觀測次數n→∞時，算術平均值→真值n有限時，取算術平均值為未知量的最可靠值第25頁，課件共38頁，創作于2023年2月1）真值已知——2）真值未知——用代替計算m定義觀測量改正數——有真誤差——則δ——常數，Δi=δ-Vi取平方——Δi2=δ2-2δVi+Vi2[ΔΔ]=nδ2+2δ[V]+[VV]=nδ2+[VV]§6.6等精度獨立觀測時的精度評定方法第26頁，課件共38頁，創作于2023年2月第27頁，課件共38頁，創作于2023年2月取極限l1，l2，…，ln誤差獨立，其兩兩協方差=0第28頁，課件共38頁，創作于2023年2月觀測次數n有限時等精度獨立觀測時觀測值改正數Vi計算一次觀測中誤差的公式——白塞爾公式(Besselformula)第29頁，課件共38頁，創作于2023年2月[例6-3]

在[例6-1]中，假設距離真值未知用白塞爾公式計算鋼尺每次丈量50m的中誤差？算出六次丈量距離的平均值——49.9822m第30頁，課件共38頁，創作于2023年2月§6.6不等精度獨立觀測量的最可靠值與精度評定(1)權的定義觀測量li的中誤差——mi，權m02——任意正實數li的方差mi2越大，權就越小，精度越低li的方差mi2越小，權就越大，精度越高令Wi=1，則有m02=mi2m02——權等于1的觀測量方差，單位權方差m0——單位權中誤差第31頁，課件共38頁，創作于2023年2月(2)加權平均值及其中誤差對某量進行不等精度獨立觀測得觀測值——l1，l2，…，ln中誤差——m1，m2，…，mn權——W1，W2，…，Wn觀測值的加權平均值為應用誤差傳播定律第32頁，課件共38頁，創作于2023年2月第33頁，課件共38頁，創作于2023年2月[例6-4]1，2，3點——已知高等級水準點其高程誤差很小，可以忽略不計為求P點高程，用DS3水準儀獨立觀測了三段水準路線的高差，每段高差的觀測值及其測站數標于圖中，求P點高程的最可靠值與中誤差。第34頁，課件共38頁，創作于2023年2月[解]都是用DS3水準儀觀測可認為每站高差觀測中誤差相等高差觀測值h1，h2，h3的中誤差——取h1，h2，h3的權——W1=1/n1，W2=1/n2，W3=1/n3計算出P點的高程值為HP1=H1+h1=21.718+5.368=27.086mHP2=H2+h2=18.653+8.422=27.075mHP3=H3+h3=14.165+12.914=27.079m第35頁，課件共38頁，創作于2023年2月因為三個已知水準點高程的誤差很小，可忽略不計所以求出的三個高差觀測值的中誤差m1，