第二章質點動力學1牛頓第二章質點動力學

前言§2-1牛頓運動定律§2-2*力學相對性原理非慣性系中的力學§2-3動量動量守恒定律§2-4功動能勢能機械能守恒定律§2-5*

理想流體的伯努利方程第二章質點動力學2前言運動和物體相互作用的關系是人類幾千年來不斷探索的課題。在力學中，物體與物體間的相互作用稱之為力。力的作用既有瞬時效應，又有積累效應：前者由牛頓定律描述，后者則由三大守恒律所描述；原來物體作何種運動，既與物體間的相互作用有關，又與物體自身的性質有關。當物體內部出現某種非線性因素時，在一定條件下即可能導致混沌。從17世紀開始，以牛頓定律為基礎建立起來的經典力學體系，一直被認為是“確定論”的。但廿世紀80年代，人們發現了在“確定論”系統中，卻可能發出現“隨機行為”。為什么？第二章質點動力學3§2－1牛頓運動定律一、慣性定律慣性參照系實驗表明，動力學規律并非是在任何參考系中都成立。這就引出了慣性參考系的問題。1、慣性定律“孤立質點”的模型：不受其它物體作用或離其他物體都足夠遠的質點。例如，太空中一遠離所有星體的飛船。

牛頓第一定律（慣性定律）：一孤立質點將永遠保持其原來靜止或勻速直線運動狀態。第二章質點動力學4

慣性和慣性運動

慣性運動：物體不受外力作用時所作的運動

慣性：任何物體都有保持其原有運動狀態的特性，慣性是物質固有的屬性。

慣性和第一定律的發現，使人們最終把運動和力分離開來。2.慣性系與非慣性系問題的提出：慣性定律是否在任何參照系中都成立？第二章質點動力學5牛頓定律只適用于某些參照系。asa/S/系S系光滑S/:牛頓定律不成立

a/0S:牛頓定律成立

a=0

第二章質點動力學6

什么是慣性系：孤立物體相對于某參照系為靜止或作勻速直線運動時，該參照系為慣性系。

如何確定慣性系──只有通過力學實驗*1地球是一個近似程度很好的慣性系但

相對于已知慣性系作勻速直線運動的參照系也是慣性系。

一切相對于已知慣性系作加速運動的參照系為非慣性系。*2太陽是一個精度很高的慣性系

太陽對銀河系中心的加速度為

馬赫認為：所謂慣性系，其實質應是相對于整個宇宙的平均加速度為零的參照系。慣性系只能無限逼近，而無最終的慣性系。第二章質點動力學7※牛頓第二定律：物體受到外力作用時，它所獲得的加速度的大小與合外力的大小成正比。與物體的質量成反比；加速度的方向與合外力F的方向相同。比例系數k與單位制有關。在國際單位制（SI制）中k=1。二、牛頓第二定律慣性質量引力質量其數學形式為２0物體之間的四種基本相互作用；1、關于力的概念１0力是物體與物體間的相互作用，這種作用可使物體產生形變，可使物體獲得加速度。力的概念只是物質的相互作用在經典物理中的一種表述。第二章質點動力學830力的疊加原理若一個物體同時受到幾個力作用，則合力產生的加速度，等于這些力單獨存在時所產生的加速度之矢量和。力的疊加原理的成立，不能自動地導致運動的疊加。2、關于質量的概念3、牛頓第二定律給出了力、質量、加速度三者間瞬時的定量關系１0質量是物體慣性大小的量度；２0引力質量與慣性質量的問題；調節引力常數Ｇ，使m引，m慣的比值為一慣性質量與引力質量等價。第二章質點動力學9三、牛頓第三定律1０作用力與反作用力是分別作用在兩個物體上的力，不是一對平衡力。2０作用力與反作用力是同一性質的力。3０若A給B一個作用，則A受到的反作用只能是B給予的。牛頓第三定律：當物理A以力作用在物體B上時，物理B也必定同時以力作用在物體A上，和大小相等，方向相反，且力的作用線在同一直線上，即*牛頓第三定律只在實物物體之間，且運動速度遠小于光速時才成立。第二章質點動力學10四、牛頓定律的應用1、牛頓定律只適用于慣性系在直角坐標系在自然坐標系2、牛頓定律只適用于質點模型3、具體應用時，要寫成坐標分量式第二章質點動力學11若F=常量，則若F=F(v)，則

若F=F(r)，則

４、要根據力函數的形式選用不同的方程形式運用舉例：第二章質點動力學12MMMM1)物體M對地的加速度2)物體m對M的加速度3)物體m與M間的彈力N4)尖劈與桌面間的彈力R

解：分別以m,Ｍ為對象，選地為參考系a/

是m對M的加速度，aM是M對地的加速度所以m對地的加速度為例2-1質量為M的光滑尖劈，傾角為θ，置于光滑的水平桌面上，質量為m的物體放在尖劈的斜面上，求：※牛頓定律只適用于慣性系建立如圖坐標，則am在X、Y軸上的分量分別為第二章質點動力學13由牛頓定律的坐標分量式方程可得對于m有對于Ｍ有m,Ｍ的受力圖如下所示第二章質點動力學14聯立得第二章質點動力學15例２－２圖中A為定滑輪，B為動滑輪，三個物體m1>m2>m3(m1>m2+m3)繩輕且不可伸長，滑輪質量不計，求每個物體對地加速度及繩中張力。解：設m2,m3對滑輪的相對加速度為a/，向下為Ｘ軸正方向,a1為m1對地加速度，則可得對m1對m3對m2AB對動滑輪為什么T2＝T2/第二章質點動力學16第二章質點動力學17例2－3一根細繩跨過一光滑的定滑輪，一端掛一質量為M的物體，另一端被人用雙手拉著，人的質量為m＝M/2，若人相對于繩以加速度a0向上爬，則人相對于地面的加速度是多少？解：分別以人、物為對象，受力圖如下。mgTa0MgTaa則人對地的加速度為設物體向下的加速度為a由牛頓第二定律，有聯立，得于是人對地的加速度為第二章質點動力學18※已知運動情況求力例2－4長l的輕繩，一端固定，另一端系一質量為m的小球。使小球從懸掛著的鉛直位置以水平初速度v0開始運動。用牛頓定律求小球沿逆時針方向轉過

角時的角速度和繩中的張力

解：取小球為研究對象；小球受重力mg，及繩子的張力T

取自然坐標系，將重力mg、張力T沿、n方向分解.列方程第二章質點動力學19將①式兩邊同乘d

，并約去等式兩邊m可得對上式兩邊求積分有解得將v=l

代入②式第二章質點動力學20解：設向下為Ｘ軸正向，且由牛頓第二定律得例2-5在地球表面附近自由下落的物體，所受空氣阻力與速率平方成正比，求其速度表示式※已知力求運動若令則有第二章質點動力學21故即討論：第二章質點動力學221、

單位制：基本量、導出量

單位制的任務是：規定那些物理量是基本量及所使用的基本量的數量級。

七個基本量為

長度、質量、時間、電流、溫度、物質的量和發光強度從基本量導出的量稱為導出量，相應的單位稱為導出單位。五、國際單位制和量綱（自學提綱）2、量綱：通過物理定律、定理、定義等將某個物理量表示成某種單位制中基本物理量的方次。第二章質點動力學23

因為導出量是基本量導出的，所以導出量可用基本量的某種組合(乘、除、冪等)表示。這種由基本量的組合來表示物理量的式子稱為該物理量的量綱式，例如：在SI制中第二章質點動力學24力的瞬時效應→加速度：牛頓定律力的積累效應──一、質點的動量定理１、動量的引入在牛頓力學中，物質的質量可視為常數故即§2-3沖量、動量、動量定理第二章質點動力學25１）式中 叫做動量，是物體運動量的量度。２）動量 是矢量，方向與相同。動量是相對量，與參照系的選擇有關。 ２、沖量的概念１）恒力的沖量２）變力的沖量此時沖量的方向不能由某瞬時力的方向來決定

指兩個物體相互作用持續一段時間的過程中，在物體間傳遞著的物理量力在某一段時間間隔內的沖量沖量的方向與力的方向相同作用力F＝恒量，作用時間t1t2，力對質點的沖量，第二章質點動力學2626在直角坐標系中的分量式②動量與慣性系的選取有關，而動量的增量與慣性系的選取無關。③動量定理的應用范圍比牛頓第二定律更廣泛。注意事項：①沖量是元沖量的矢量和，一般情況下，沖量的方向與外力方向不相同，也與動量的方向不同，而與動量的增量方向相同。即其表示：物體所受外力的沖量等于物體的動量的增量3、質點的動量定理第二章質點動力學27平均沖力概念１）峰值沖力的估算ff0tt+△tt

３）當相互作用時間極短時，相互間沖力極大，此時某些有限主動外力（如重力等）可忽略不計。

４、動量定理的應用２）當動量的變化是常量時，有第二章質點動力學28

例２－7作用在質量為1kg的物體上的力F=6t+3,如果物體在這一力的作用下，沿直線運動，則在0

2.0s時間內，這個力作用在物體上的沖量I=

2秒末物體的速度v=________________

第二章質點動力學29XYOBA例2－8質量為m的小球在向心力作用下，在水平面內做半徑為R、速率為v的勻速圓周運動，如圖所示。小球自A點逆時針運動到B點的半圓內，動量的增量應為：（A）（B）（C）（D）答（B）動量的增量為第二章質點動力學30

例2-9一火箭在均勻引力場中，以恒定速率u噴射氣體，由靜止上升。假定排出氣體質量的增率為dm/dt=

m,其中m是火箭的瞬時質量，

是常數，再假定使火箭減速的空氣阻力是bv（b為常數），求火箭的終極速度。

解：以t時刻火箭內的質量m和即將噴出的質量dm為一系統，以豎直向上為正方向，則

t時刻（t+dt）時刻運用動量定理在整理中略去高階無窮小量dmdv

得第二章質點動力學31將代入，并整理，得顯然，當時有終極速度，即第二章質點動力學32二、質點系的動量定理1、內力與外力

i質點所受的內力i質點所受合力2、i質點動量定理第二章質點動力學333、質點系的動量定理（對i求和）因為內力成對出現這說明內力對系統的總動量無貢獻，但對每個質點動量的增減是有影響的。第二章質點動力學34質點系合外力的沖量=質點系動量的增量。

于是有或第二章質點動力學35三、動量守恒定律若系統所受的合外力系統總動量守恒

一個孤立的力學系統（即無外力作用的系統）或合外力為零的系統，系統內各質點動量可以交換，但系統的總動量保持不變。這就是動量守恒定律。

注意：動量守恒式是矢量式(1)守恒條件是而不是第二章質點動力學36

若，但若某一方向的合外力零，則該方向上動量守恒；

(3)必須把系統內各量統一到同一慣性系中；

(4)若作用時間極短，而系統又只受重力作用，則可略去重力，而運用動量守恒。(2)若

表示系統與外界無動量交換，表示系統與外界的動量交換為零。則系統無論沿那個方向的動量都守恒；第二章質點動力學37

MMLM例２－10質量為Ｍ的木塊在光滑的固定斜面上，由Ａ點從靜止開始下滑，當經過路程Ｌ運動到Ｂ點時，木塊被一顆水平飛來的子彈射中，立即陷入木塊內，設子彈的質量為m，速度為v，求子彈射中木塊后，子彈與木塊的共同速度解：木塊由Ａ至Ｂ過程，機械能守恒，木塊在B點的末速度

以子彈，木塊為一系統，沿斜面方向為Ｘ軸，則該方向上動量守恒。（圖中f，f/為內力，支持力Ｎ在Ｘ方向中沒有分力，重力在Ｘ方向中的分力可略去）第二章質點動力學38

為什么在水平方向動量不恒？因為此時約束反力Ｎ在水平方向的分力不為零子彈擊中瞬間，Ｘ方向有第二章質點動力學39uuMMMABC例２－11三只小船的質量（包托載重）均為M，以相同速率v0在一條直線上航行。如中船的人以水平相對速率u將質量為m的兩個小包同時分別投向前后兩只船，不計水對船的阻力，求投后各船的速率解：解此題的關鍵是將質點系內各量統一到同一慣性系中。

以小船前進方向為正方向，設B船投出小包時的速度為v2,則分別投向A、C兩船的小包的對地速度為

第二章質點動力學40

分別以A、C、B船及小包為對象，由水平方向動量守恒，可得

解得

第二章質點動力學41例2－12一質量m1=50kg的人，站在質量m=200kg長為L＝4m的船的船頭上，開始時船靜止。試求當人走到船尾時，船移動的距離。水的阻力不計。方向與人前進的方向相反。水平方向動量守恒

解：設人對船的速度為，船對靜止水的速度為。第二章質點動力學42

一、功的概念功率1、恒力的功

即某力的功等于力與質點在該力作用下的位移的標積

(中學）力在位移方向上的投影與該物體位移大小的乘

積

由矢量標積定義式，有§2-４功動能勢能機械能守恒定律第二章質點動力學43功值的圖示法2、

變力的功１）元功

XYZObaL設質點沿X軸運動，則力Ｆ在區間x1,x2內做的功，即為圖中有陰影部分的面積

物體在變力的作用下從a運動到b

b第二章質點動力學442)dA

在F-S圖上的幾何意義0absF(s)dA3）變力在一段有限位移上的功功的直角坐標系表示式因為功是標量，所以總功等于各方向上的分量之代數和。

dA=F（s）ds

，其在F－s圖上即為有陰影的小方塊的面積。說明：(1)功是標量，有正、負之分。(2)功是過程量，與初末位置及運動路徑有關。第二章質點動力學45★一對作用力與反作用力的功只與相對位移有關0所以一般情況下

式中為相對位移第二章質點動力學46３、功率

單位時間內所作的功稱為功率

功率的單位：在SI制中為瓦特（w）

第二章質點動力學47物體m在重力作用下由a運動到b，取地面為坐標原點.0xyzabz1z2mg

重力的功只由質點始、末位置來決定，而與所通過的路徑無關.4、保守力的功

重力的功第二章質點動力學4848萬有引力的功

由圖知元位移

力函數

Mm第二章質點動力學49

彈簧彈性力的功力函數元位移oXo第二章質點動力學501)、保守力

如重力、彈簧彈性力、萬有引力、靜電力、分子作用力等均為保守力，即保守力沿任一閉合路徑的功為零。abcc/

如果某力的功只與始末位置有關而與具體路徑無關，則該力謂之保守力。第二章質點動力學51LmS+保守力的共同特征：a、力函數或為常數，或者僅為位置的函數；

b、保守力的功總是“原函數”增量的負值。

2)、非保守力若力的功值與具體路徑有關,則為非保守力.如摩擦力、爆炸力等。第二章質點動力學52

例2－14一物體按x=ct3

規律在媒質中作直線運動，式中c為常量，t為時間，設媒質對物體的阻力正比于速度的平方，阻力系數為k，試求物體由x=0運動到x=l時，阻力所作的功。

解：速度

阻力為阻力對物體所作的功為：

第二章質點動力學53二、動能定理1、動能是一個獨立的物理量，與力在空間上的積累效應對應。★這說明又，m為常數第二章質點動力學54★是質點作機械運動時所具有的運動量的量度，稱之為動能★是狀態量，相對量，與參照系的選擇有關

2、動能定理或即，合外力的功等于物體動能的增量

合力對質點作用一段距離所產生的積累作用，從而導致動能的有限變化。第二章質點動力學55

動能與動量的區別引入兩種度量作用第二章質點動力學56例２－１6一質量為m的質點，在力的作用下，由靜止開始沿一軌跡方程為x2＝9y的曲線從原點０（０，０）運動到Ｑ（３，１）點。試求質點運動到Ｑ點時的速度。解：根據功的定義將x2＝9y代入上式得

根據動能定理：

第二章質點動力學57例2-17一個質量15g的子彈，以200米/秒的速度射入一固定的木板內，如阻力與射入木板的深度成正比，即且求子彈射入木板的深度。解：以m為研究對象，建立坐標系ox，設射入深度為OXm在射入深度為x時，由動能定理：第二章質點動力學58三、勢能描述機械運動的狀態參量是

對應于：

彈簧彈性力的功

萬有引力的功重力的功

1、勢函數為此我們回顧一下保守力的功第二章質點動力學59

由上所列保守力的功的特點可知，其功值僅取決于物體初、終態的相對位置，故可引入一個由相對位置決定的函數由定積分轉換成不定積分，則是

式中c為積分常數，在此處是一個與勢能零點的選取相關的量

又由于功是體系能量改變量的量度。因此，這個函數必定具有能量的性質；而這個具有能量性質的函數又是由物體相對位置所決定，故把這種能量稱之為勢能（或曰位能），用ＥＰ表示。則有：第二章質點動力學602、已知保守力求勢能函數

彈性勢能：保守力的力函數若取坐標原點，即彈簧原長處，為勢能零點，則c=0于是

重力勢能

保守力的力函數若取坐標原點為勢能零點，則c=0

第二章質點動力學61

引力勢能保守力的力函數

若取無窮遠處為引力勢能零點，則

勢能函數的一般特點rij1)對應于每一種保守力就可引進一種相關的勢能2)勢能大小是相對量與所選取的勢能零點有關3)一對保守力的功等于相關勢能增量的負值4)勢能是彼此以保守力作用的系統所共有

第二章質點動力學62３、已知勢能函數求保守力分布若保持y，z不變，則dy＝dz＝0同理則第二章質點動力學63例：求保守力函數第二章質點動力學64

勢能曲線

將勢能隨相對位置變化的函數關系用一條曲線描繪出來，就是勢能曲線。Ep(h)0(a)h重力勢能曲線Ep(r)r0(c）引力勢能曲線0(b)lEp(l)彈性勢能曲線第二章質點動力學651、勢能曲線能說明質點在軌道上任一位置時，質點系所具有的勢能值。2、勢能曲線上任一位置處的斜率（dEP/d

）的負值，表示質點在該點處所受的保守力。

設有一保守系統，其中一質點沿x方向作一維運動，則有

由教材中之圖可知，凡勢能曲線有極值時，即曲線斜率為零處，其受力為零。這些位置點即為平衡位置。

勢能曲線有極大值的位置點是不穩定平衡位置，勢能曲線有極小值的位置點是穩定平衡位置點

由勢能曲線所獲得的信息第二章質點動力學66四、質點系的動能定理與功能原理1、質點系的動能定理

質點系的內力和外力

對于單個質點

第二章質點動力學67

對i求和—質點系的動能定理

質點系總動能的增量等于外力的功與質點系內保守力的功、內部非保守力的功三者之和。第二章質點動力學68若引入(機械能）則可得

系統機械能的增量等于外力的功與內部非保守力功之和。2、功能原理由于內力總是成對出現的，而對每一對內部保守力均有

第二章質點動力學69２）功能原理只適用于慣性系（從牛頓定律導出）3)具體應用時，一是要指明系統，二是要交待相關的勢能零點

注意的問題：１）功能原理是屬于質點系的規律（因涉及ＥP），與質點系的動能定理不同質點系動能定理質點系功能原理4）當質點系內各質點有相對運動時，注意將各量統一到同一慣性系中第二章質點動力學70五、機械能守恒律由功能原理式可知機械能守恒的條件：系統與外界無機械能的交換系統內部無機械能與其他能量形式的轉換

當系統機械能守恒時，應有

即系統內，動能的增量＝勢能增量的負值若和,則系統的機械能保持不變。第二章質點動力學71六、能量轉換與守恒

在一個孤立的系統內，各種形態的能量可以相互轉換，但無能怎樣轉換，這個系統的總能量將始終保持不變。第二章質點動力學72

例2-18如圖所示質量為M的物塊A在離平板h的高度處自由下落，落在質量也是M的平板B上。已知輕質彈簧的倔強系數為k，物體與平板作完全非彈性碰撞，求碰撞后彈簧的最大壓縮量。解：從物塊A自由下落到彈簧壓縮到最大限度可分為三個物理過程：第二章質點動力學73

第三個