第一章概述一.系統：由兩個及兩個以上要素組成，它們相互獨立又相互作用與聯系，構成能完成特定功能的完整有機體。從系統的定義可知系統具有以下四個基本特征：

1.集合性

各要素所構成的具有特定功能的集合體。（根據邏輯統一性要求來構成）各要素不完善也可能構成良好功能的系統，要素良好也可能作為整體卻不具有某種良好的功能。（例如球隊組成）2.相關性

系統內各要素既相互作用又相互聯系，構成有機整體。

3.目的性

系統特別是人造系統都具有目的性，要達到規定的目的，系統都具有一定的功能，目前一些尚不能控制和改造的自然系統不屬于此。4.環境適應性(自身調節）任何一個系統都存在于一定的物質環境中，必須適應外部環境（信息、物質、氣象等等）的變化。

1二.系統分析與系統模擬

1.系統分析它研究系統中各要素的具體性質，解決系統要素的具體問題之外（分解），還著重研究和揭示各個要素的有機聯系，特別是研究如何使得系統中各個要素的關系協調融洽，達到系統總目標最優的目的。（綜合）

2系統分析過程系統分解--系統綜合--運用系統工程方法求解二.系統分析與系統模擬2舉一個淺近的例子：

一個人，只有一個爐子，準備一頓飯菜。目標是耗費時間最少。①系統分解，初估各單項任務所需時間如：

淘米

洗菜

切菜

燒水

燒飯

炒菜5分鐘6分鐘5分鐘7分鐘12分鐘7分鐘②系統綜合：找出各部分的相互聯系及制約如：先后次序的限制；工作轉換的間隙；人手的忙閑；爐子的忙閑等。

舉一個淺近的例子：3③運用系統工程方法求解：（作圖法）

只需26分鐘完成全部工作，若6件事連著做，則需42分鐘，未增加勞動強度及先進設備就節省38%的時間。③運用系統工程方法求解：（作圖法）4

更重要的是，系統分析的結果還揭示提高效率的關鍵所在，這方面的意義遠遠超過前者。通過上面系統分析，可提出進一步縮短總時間的可能性，如：燒水和淘米要同步加快，洗菜、切菜要和燒飯同步加快，炒菜可單獨加快，以免盲目加快無效果，如：單純地提高洗菜速度就不能節省總時間，仍需26分鐘。環境系統問題也與此類同，只是由于條件、任務、目標不同，對某一治理單元設備盲目要求高的處理指標未必能改善環境效益，也許是徒勞。對于標準的制定也同樣有系統問題。系統分析的過程是對系統的分解和綜合，系統分解和綜合的過程都要建立和運用數學模型，定量分析是必要的。更重要的是，系統分析的結果還揭示提高效率的關鍵所5例2環境中的系統工程決策問題，如污水處理廠的選址城鎮污水廠河例2城鎮污水廠河63、環境系統工程的思路結構環境系統分析==環境科學+系統分析方法學（1）數據的收集---污染源數據、濃度數據、水文數據氣象數據、社會經濟數據

（2）系統與過程的模型化----用數學模型描述系統的過程及其相互關系（3）系統模擬-----驗證模型再現真實情況的程度，使模擬的結果與試驗監測數據相符（4）方案優化-----根據建立的數學模型或定量關系對系統中各種可能的狀態，進行預測，提出方案，并采用適當優化的方法對方案進行評價決策。3、環境系統工程的思路結構環境系統分析==環境科學+系統分析7環境系統分析教案（環科）ppt課件8(5)系統評價，主要包括：①系統的功能（所起作用與所應完成的任務）

②系統的費用（尋求低費用）

③系統的可靠性（系統的各層次和組成部分，在預定期限和正常條件下，運行成功的概率）。

④系統實現的時間（建立一個系統所需的時間）⑤系統的可維護性（長期運行過程中應便于維護管理）⑥系統的外部影響（對諸如生態平衡影響、資源和能源消耗等）

(6)設計實施：根據最優化結果進行實施控制，包括建立具體實施方案和具體實施行動。(5)系統評價，主要包括：9數學模型是主要工具主要參考書目：（1）[美]列奇著《環境系統工程》，水利出版社，1981（2）[日]高松武一郎，內藤正明[美]林三方合著《環境系統工程》，中國環境科學出版社，1985。（3）付國偉、程聲通主編，《水污染控制系統規劃》，清華大學出版社，1985。（4）程聲通等編，《環境系統分析》，高等教育出版社，1990。（5）孟繁堅，楊汝均編，《環境系統工程導論》，烴加工出版社1987年。

（6）韋鶴平，編著，《環境系統工程》，同濟大學出版社，1993.4。

環境系統分析教案（環科）ppt課件10第二章

數學模型概述§1模型定義、分類、建立一、基本概念：1、

原型：客觀事物本身，其狀態(由許多狀態參數決定)在不斷變化之中。2、

模型：用少數(主要)狀態參數描述、模擬客觀事物狀態變化的工具。（數學模型，物理模型）第二章

數11二、模型分類：（一）模型分類（1）物理模型：用物體本身或者按比例放大或縮小的實物做實驗,模擬客觀事物(原型)狀態變化。（遵循相同的物理、化學變化規律）如：太陽系九大行星運行（對應萬有引力公式），葛洲壩室內比例縮小模型；（2）數學模型：用一系列圖表、數學公式通過計算描述客觀事故(原型)主要狀態的變化。數學公式可以是統計的——統計模型，可以是描述物理(化學)運動的——機理模型。

y=f(x1,x2,x3,……)（3）文字模型：如技術報告、說明書等（在物理、數學模型度很難建立時使用）二、模型分類：12（二）數學模型分類

（1）按認識程度分：A）黑箱模型：因果關系不明，只有輸入、輸出統計關系；僅在一定區間內基本正確；例：污水處理廠提供的3月日常監測臺帳如下表所示，試根據3月份的數據建立其出水COD對應入水COD的數學模型。設：入水COD量為輸入x出水COD量為輸出y方程為：Y=0.137X+43.257黑箱輸入輸出（二）數學模型分類黑箱輸入輸出13表3月4月表3月14B）白箱模型：因果關系十分清楚，物理、化學運動機理(參數)完全掌握；可精確描述事物運動狀態的全部變化，又稱機理模型如：工廠投入確定數量人力、資金、原材料----各種加工程序-----確定數量的產品或：（作用力）F=ma（加速度）C）灰箱模型：復雜問題，主要因果關系清楚，但許多機理細節(參數)不明，可描述事物運動狀態的大致變化，與實際情況有一定誤差，又稱半機理模型。

(摩擦力）f=a（摩擦系數）*N（正壓力）模型參數：參數B）白箱模型：因果關系十分清楚，物理、化學運動機理(參數)完15（2）白箱、灰箱數學模型的細分（重要）

A）動態模型：含時間變化項S=f(t,X,Y,Z)；

例:1.(距離)s=(速度)v*(時間)t2.

穩態模型：不含時間變化項S=f(X,Y,Z)；

例：萬有引力公式：F=G*m1*m2/R*R

B）線性模型：函數、自變量都是一次項；

y=ax1+bx2+cx3+k非線性模型：函數、自變量中有二次項及二次以上的項與超越函數；

y=ax2+bx+cy=aex1+bx2+cx3超越函數:自變量之間的關系不能用有限次加、減、乘、除、乘方、開方運算表示的函數。（2）白箱、灰箱數學模型的細分（重要）16C）常系數(參數)模型：不隨時間、空間變化；

f=k*N(k摩擦系數）變系數(參數)模型：隨時間、空間變化；

中的Ex為湍流擴散系數D）空間0維Y=f(t)、一維S=f(t,X)、二維

S=f(t,X,Y)、三維S=f(t,X,Y,Z)；

解為：

問題：下列模型分別是什么模型？C）常系數(參數)模型：不隨時間、空間變化；17E）解析模型：用解析公式表達表達微分方程的解；數值模型：用計算值表達微分方程的解。E）解析模型：用解析公式表達表達微分方程的解；18三、數學模型的優點：成本低，周期短，自由度大；缺點：參數不明情況下誤差大。參數的確定常要用到物理模型和現場實驗方法(費用大)。四、模型建立：基本要求：1）理論(有關概念及其應用)正確；輸入數據可靠；2）形式簡單、實用

3）有足夠的精確度；4）含可控變量，適用性強。三、數學模型的優點：成本低，周期短，自由度大；缺點：參數不明19環境建模過程：

1）有關數據收集：水文、氣象、污染、污染源、經濟；通過數據分析確定問題的性質、涉及的領域，需要那些變量，變量之間的關系。2）模型結構選擇：選擇白、黑、灰箱模型；（物理、化學、生物過程），確定模型具體形式；模型性質確定：動態、穩態、幾維運動等問題；3）模型參數確定：實驗數據收集，最小距離法估算(最小二乘法）（例2-1）4）模型檢驗與修正環境建模過程：20例1.下表是十二胺在水中的降解數據時間（h)0135792327濃度(mg/l)2.32.221.921.61.521.070.730.51步：取得調查或試驗數據2步：確定模型結構3步：確定輸出輸入關系－－配線過程例1.下表是十二胺在水中的降解數據21常用線型：Y=lnxY=ax2Y=ae-bxY=ax-1常用線型：Y=lnxY=ax2Y=ae-bxY=ax-122

符合Y=A*e-bx關系

因此確定函數：C=C0

e-kt（2-1式）4步

：求C0及參數、k：

求C0：t=0,C0=C(0)；2.30求k：對C=C0

e-kt求對數，得：lnC=lnC0–kt

令：lnC=Y，lnC0=Y0得：Y=Y0–kt。(直線關系）問題：能否通過直接將某點C值帶入2-1式，求得k嗎？（作業）符合Y=A*e-bx關系23Y0即一維線性回歸線的截距，k為斜率。可用最小二乘法、圖解法求。（作業）5步(模型檢驗):

C*=2.30e-0.0519t，代入t，得C*(

t)與C(t)比較誤差分析(作業）預習：概率統計最小二乘法，回歸方程等內容Y0即一維線性回歸線的截距，k為斜率。可用最小24

§2數學模型的參數估值、誤差分析、一、模型參數的估值方法模型參數：由于人們對研究對象某方面的認識不夠深入，出于模型量化的需要，可用一些經驗系數來代表這些量，模型中含有的一個或多個經驗系數，就叫模型參數，參數不能通過推導得出，需試驗獲得。例：f=k*N(k摩擦系數）1、圖解法（應用范圍：函數關系為一元線性關系，或可通過轉化變成一元線性關系）

(1)已知函數關系式：y=mx+b,其中m,b為待定參數，有一組實測數據：xi(i=1,2,3,…)yi(i=1,2,3,…)

§2數學模型的參數估值、誤差分析、25圖：y=mx+b

(2)有些非線性問題，可以線性化后，再使用圖解法如：C=C0

e-kt兩邊取對數：lnC=lnC0-kt令:y=lnc,b=lnC0

得：y=-kt+b2一元線性回歸法

（最小二乘法）

*(x1,y1)*(x2,y2）*(x3,y3)*(x4,y4)*(xn,yn)**b截距圖：y=mx26設數學模型為y’=b+mX，X，y’，用最小二乘法，求b,m

y’=b+mX

誤差di=yi-yi’=yi-(b+mX)

總誤差z=d12+d22+d32+……dn2=

z=f(b,m)

b,m取值要求使總誤差z最小，其必要條件為：**（xi,yi)***dixiyi實測值*yi’為計算值設數學模型為y’=b+mX，X，y’，用最小二乘法，求b,27由此求得最佳m,b由此求得最佳m,b28例2：已知一組數據，適合線性方程y=mx+b,使用最小二乘法求參數m,b.xi123579101218yi2.957.111.515.718.921.925.738.65例2：已知一組數據，適合線性方程y=mx+b,使用最小二乘法29表2xi123579101218=67yi2.957.111.515.718.921.925.738.65=147.35Xi2149254981100122324=737Xiyi

2.91021.357.5109.9170.1219308.4695.7=1594.8

作業：用最小二乘法求參數m,b答案：方程：Y=0.814+2.09x3.多元線性回歸分析方程形式：y=a+b1x1+b2x2（待求參數，a,b1,b2)

采用最小二乘法得到：

表230

a=y-b1x1–b2x2

y的平均值x1的平均值x2的平均值其中涉及變量：Y…………………….X1i………………………………..X2i

…………………………a=y-b1x1–b2x2314.最優化方法簡介（非線性關系）

現有,需求參數:基本思路：利用最小二乘法，有：逐點誤差di=yi-yi’，

（

yi’為實測值，yi為方程值）總誤差z=d12+d22+d32+……dn2=求z為最小值時的例：通過一組實測的x,y值帶入z=得：

z=(θ1-3)2+9(θ2－5）21步：任選一點（θ

10θ

20）為（0，0）2步：求z在該點的梯度：4.最優化方法簡介（非線性關系）

現有32圖任選點最低點θ11

,θ21θ12

θ22θ1n,θ2nzθ

1θ

2θ10θ20圖任選點最低點θ11,θ21θ12θ22θ1333步：由第一點，沿負梯度方向找第二點：

步長4步：將上述坐標代入z函數，求步長誤差函數：z=(6λ-3)2+9(90λ-5)2

令：

λ=0.0557

5步：重復上述2-4步，依次求得2，3，4……n點，直到z(θ1n+1,θ2n+1)-z(θ1n,θ2n)<ε(足夠小的值）。

3步：由第一點，沿負梯度方向找第二點：34梯度法估計參數框圖設置參數初值計算初始z0值計算該點梯度計算步長計算新的參數計算新的z值輸出參數梯度法估計參數框圖設置參數初值計算初始z0值計算該點梯度計算35二模型誤差分析1圖形表示法：y=2x

y=1/2*y’

觀測值

y’觀測值y’：y’1,y’2,y’3…

y’N計算值Y：y1,y2,y3…yN計算值y********計算值y********362

相關系數法：求一組原型數據(觀測值)、一組模型數據(計算值)二者之間的相關

。R

是處在-1和1之間的數。其絕對值的數值越大，表示兩者的相關關系越好。3相對誤差法：絕對誤差：Yi’–Yi(Yi’為實測值，Yi為計算值）

相對誤差：ei=|Yi’–Yi|/Yi’相對誤差的統計規律（分布）：

誤差的累積頻率曲線)1()(6745.025.0--=?nY’iYY’ieiii22)()()()(1.),(jjjjjjjjyxYXYXnYXCOVRYXYXss----==???中值誤差2相關系數法：求一組原型數據(觀測值)、一組模型數據(計37例3（以例2數據為根據）Y’=0.814+2.09xxi

123579101218yi

2.957.111.515.718.921.925.738.65Yi’

2.94.99

7.0811.26

15.4419.6221.7125.8938.43

==0.012)1()(6745.025.0--=?nY’YY’eiii例3（以例2數據為根據）Y’=0.814+2.09x)1(38三模型的靈敏度分析輸入

模型輸出，當輸入+模型輸出+求“輸入”的放大率:γ=/

高靈敏度模型，“誤差”放大，γ>>1；如：無線電信號放大器。中靈敏度模型，“誤差”變化不大，γ≈1；經濟仿真模型，彈導模型。低靈敏度模型，“誤差”縮小，γ<<1。如：環境模型。

例如有一模型為：y=a+b1x1+b2x2，輸入誤差來自：a,b1,b2,x1,x2的取值誤差，造成計算值y的誤差。靈敏度即為：，，，，。⊿1⊿2⊿2⊿1三模型的靈敏度分析⊿1⊿2⊿2⊿139§3.EXCEL在模型建立中的應用例3-1線性回歸模型：某污水處理廠提供的3、4月份的日常監測臺帳如下表所示，試根據3月份的數據建立其出水COD對應入水COD的線性回歸模型，然后用4月份的數據進行驗證。§3.EXCEL在模型建立中的應用40解:第1步：首先建立Excel的工作表，輸入污水處理廠監測的原始數據。在2.2中已介紹了MicrosoftExcel的“分析工具庫”。線性回歸也是屬于該工具庫的內容。在“工具”菜單中，單擊“數據分析”命令。如果“數據分析”命令沒有出現在“工具”菜單中，則需要通過加載宏安裝“分析工具庫”，與此同時也將“規劃求解”安裝備用。第2步：在“工具”菜單中，單擊“數據分析”命令，選擇線性回歸操作。按照對話框要求在Y值輸入區域輸入對因變量數據區域的引用，該區域必須由單列數據組成。這里選擇輸入3月份的出水COD的數據區域；在X值輸入區域輸入對應入水COD數據。回歸統計的一些主要結果：

MultipleR0.630237Intercept43.25682XVariable10.136996

標準誤差26.22009觀測值24解:41方程為：Y=0.137X+43.257

第3步：線性相關的相關系數檢驗下表給出了在兩種顯著性水平a=0.05及a=0.01下的相關系數的顯著性檢驗表，表中的數值是相關系數的臨界值。如果用來檢驗的觀測數據有n個，先由觀測值計算出相關系數R，于是就有如下結論：(1)如果|R|≤R0.05(n-2)，則認為y與x兩者的相關關系不顯著，或者說y與x之間不存在相關關系。(2)如果R0.05(n-2)<|R|≤R0.01(n-2)，則認為y與x兩者的相關關系顯著；(3)如果|R|>R0.01(n-2)，則認為y與x兩者的相關關系高度顯著。

方程為：Y=0.137X+43.25742相關系數顯著性檢驗表相關系數顯著性檢驗表43結論：相關系數R=0.63，觀測值24個。查閱相關關系檢驗表，R0.01(22)=0.515；由于這里|R|>R0.01(n-2)，說明3月份數據的出水COD與入水COD兩者之間，存在高度顯著的線性相關關系第4步：運用方程預測4月出水COD例3-2：使用excel進行模型結構分析和曲線擬合。（根據前例中的數據）下表是十二胺在水中的降解數據時間（h)0135792327濃度(mg/l)2.32.221.921.61.521.070.730.5結論：相關系數R=0.63，觀測值24個。查閱相關關系檢驗44解：第一步：在excel先做出散點或折線圖第二步：點擊圖表曲線或點，添加趨勢線在趨勢線命令中分別選擇模型結構形式為線性和指數模型，擬合結果如圖2-8所示。指數模型又分別指定和不指定是否必須通過初始濃度2.3mg/L。注意在圖2-7中有個選項頁，如果需要在圖中顯示出模型的表達式、R2，或者需要限制趨勢線必須通過初始濃度標記的函數點，均在選項頁進行操作。

解：第一步：在excel先做出散點或折線圖45名稱趨勢線計算方程備注線性y=mx+bm

代表斜率b

代表截距對數y=clnx+bc

和b

代表常數，函數ln代表自然對數多項式y=b+c1x+c2x2+…c5x5

可選擇多項式階數，b

和Ci

代表常數乘冪y=cxb

其中c

的b

為常數指數y=cebx

c

和b

為常數，e

代表自然對數的底數例3-3.例2-5已知河流平均流速為4.0km／h，飽和溶解氧(DO)為lO.Omg／L，河流起點的BOD(L0)濃度為20mg／L，沿程的溶解氧(DO)的測定數據如下:試根據河流溶解氧的變化規律，確定耗氧速度常數Kd和復氧速度常數Ka。已知數學模型為：)()(00xdxaxauxkuxkdaduxksseekkLkeDOccc-----+--=1010溶氧10名稱趨勢線計算方程46解：：首先建立如圖2-9所示Excel的工作表。根據2-19式，（1）在b6-B10單元格內輸入符合Excel定義的溶解氧計算公式：=B1+B3*F3/F4*(EXP(F2*(A6:A10)/B2*(-1))-EXP((-1)*F3*(A6:A10)/B2))（2）在D11單元格，是用函數形式表示的計算值與觀測值間的誤差的平方和。在F2、F3單解：：首先建立如圖2-9所示Excel的工作表。47(3)在F2、F3單元格內設置由經驗給定的參數Kd

和Ka

的初值分別相當于2（1/d）和1（1/d），(4)在“工具”菜單中，單擊“規劃求解”命令，按照對話框要求輸入變化的參數區域F2、F3和目標函數的區域D11單元格,要求的目標是使計算值與觀測值間誤差的平方和達到最小。(5)公式輸入時，如想是某個單元格的值在拖動中不變，需加$號，如$a$3(3)在F2、F3單元格內設置由經驗給定的參數Kd和K48總結：觀測數據1模型結構選擇參數估計檢驗和驗證模型應用觀測數據2總結：觀測數據1模型結構選擇參數估計檢驗和驗證模型應用觀測數49第三章

環境質量基本模型§1污染物在環境介質中的運動一、基本概念1、環境介質：能幫助傳遞物質、能量的物質，傳遞過程中物質與能量有可能有耗散。三大類介質：流體(又可分為液體與氣體)，固體，混合體(如土壤)。2、運動:事物狀態的變化(廣義)。物質狀態的變化(位置、速度、密度、形態、質量、溫度、帶電量、組成成分)的變化。如：機械運動、物理運動、化學運動、生物運動、政治運動。3、污染物：對環境生態系統(特別是人體健康)有不良影響的物質、能量，一般為過量的有害物質，物質質量相對于介質質量則是微量的。第三章

環境質量基本模型50二、污染物在介質中各種運動（重要概念）1、推流遷移運動：污染物遷移量(質量通量)：（單位：物質量/單位時間*單位面積，如g/m2s）

X軸方向：fx=uxC=Y軸方向：fy=uyC，Z軸方向：fz=uzC。SLuxQΔtxzyuy這段河道中的總水量二、污染物在介質中各種運動（重要概念）SLuxQΔtxzyu512

擴散(稀釋)運動：物質質量在空間分散化、均勻化，使物質濃度隨時間不斷變小。物質濃度總從高處向低處擴散。1）分子擴散：由于分子隨機運動引起的擴散—溶解，其速度與“熱”有關。濃度梯度：在某個方向上的濃度變化率

Fick第一定律（通量）

X上某點濃度梯度單位：物質量/單位時間*單位面積Em為分子擴散系數，且各向同性；2)湍流擴散：由于流體的湍流運動造成污染團內部質點強烈的隨機運動—撕裂

Fick第一定律（通量）：**ΔxΔc=c2-c1xc1c2xyzI1XI1ZI1Y2

擴散(稀釋)運動：物質質量在空間分散化、均勻化，使物質52單位：物質量/單位時間*單位面積Ex,Ey,Ez

為x,y,z

三個方向的湍流擴散系數，各向異性，一般x,y方向的擴散系數大于z

方向的擴散系數。為對時間求平均的平均濃度。3)彌散擴散：由于介質宏觀運動(流速)分布不均勻，造成流體形變引起的擴散。

為斷面平均值,單位：物質量/單位時間*單位面積

**c1c2單位：物質量/單位時間*單位面積**c1c253須考慮須考慮須考慮須考慮543

裒減、轉化運動：由于生物或化學的作用，由一種物質變化為另一種物質，對原物質是裒減了，而對于新生物質而言則是增生了。以上數學模型是一階一次常系數微分方程。描述的是某物質“濃度”變化速率，是該物質“濃度”本身的常系數一次函數，又稱一級動力學模型。當物質量為增生時：c2>c1時，當物質量為衰減時：c1>c2時衰減速度常數單位時間、單位體積內的物質增量**tt2t1c1c2濃度變化速度3

裒減、轉化運動：由于生物或化學的作用，由一種物質變化為554（綜合三種作用）的圖像理解只有推流遷移

推流遷移+擴散

推流遷移+擴散+裒減

推流遷移+裒減無推流遷移無推流遷移

僅有擴散

有擴散+裒減

4（綜合三種作用）的圖像理解56§2基本模型的推導

1.質量守恒原理初始存量為：存量1，一段時間后：存量2對于輸入端：物質總量=存量1+進入量（1）對于輸出端：物質總量=存量2+出去量（2）存量1+進入量=存量2+出去量存量2-存量1=進入量-出去量存量的變化量（增量）=進入量-出去量存量進入量出去量§2基本模型的推導存量進入量出去量572.零維模型推導(完全混合）（重要）在t1t2的Δt時段內濃度c1c2Δc=c2-c1物質量vc1vc2Δm=v(c2-c1)=vΔc單位時間的物質變化量：kVQ,C0SQ,C2.零維模型推導(完全混合）（重要）kQ,C0SQ,58根據質量平衡原理,單位時間的物質變化量也可表示為

Q*c0+S-(kc)*v-QC所以：m3/smg/m3mg/smg/s*m3m3進入量出去量衰減項根據質量平衡原理,單位時間的物質變化量也可表示為m3/smg59一維模型推導（了解）

推流：fx=uxC

擴散：立方體體積:

迎水面面積：圖3-3體積元的質量平衡分析xst1t2c1c2一維模型推導（了解）圖3-3體積元的質量平衡分析xst160圖3-3體積元的質量平衡分析在x方向上立方體內污染物在t1t2時段內的變化量：在單位時間內的變化量：單位時間內，流經端面的物質總量應為物質通量與面積的乘積，故單位時間內輸入量為:(設任意點推流通量函數為f(x),擴散通量I(x))

f(x)=uxC,

x0X0+Δxk圖3-3體積元的質量平衡分析在x方向上立方體內污染物在t161I1(擴散）I2（擴散）?x?I=I2-I1?f=f2-f1f1（推流）f2I1(擴散）I2（擴散）?x?I=I2-I162綜合上述兩種情況；綜合上述兩種情況；63根據泰勒公式，可將任意函數f(x)在某點x=x0處用級數展開：將推流函數f(x)在x=x0展開：所以在x=x0+Δx處：因為微元很小,Δx也很小，可將所有含大于2階得導數項省略，得：將擴散函數I(x)在x=x0展開:根據泰勒公式，可將任意函數f(x)在某點x=x0處用級數展開64所以在x=x0+Δx處，將所有含大于2階得導數項省略，得：單位時間輸入量：斷面面積單位時間輸出量：單位時間，該體積元的物質變化量為（2）-（3）

zyxCECuzyIfxxxxDD??-=DD+][)(zyxxCExxCExCuxCuxxxxDDD??-??+??-D??+])()([（2）（3）推流增量擴散增量所以在x=x0+Δx處，將所有含大于2階得導數項省略，得65約去相同項：當ux,Ex,為常數時，如果考慮衰減作用：體積元內污染物按一級反應式衰減,衰減量為-單位時間單位體積內的衰減量單位時間濃度變化推流增量擴散增量衰減變化量(源匯項）局地項推流項擴散項衰減項約去相同項：-單位時間單位體積內的衰減量單位時間濃度變化推流66二維模型推導與一維基本模型的推導相似，當在x

方向和y

方向存在濃度梯度時，可建立起二維基本模型

Y方向擴散項

Y方向推流項式中，Ey——y

坐標方向的彌散系數；uy——y方向的流速分量；

三維模型推導

如果在x、y、z

三個方向上都存在濃度梯度，可以用類似方法推導出三維基本模型：式中，Ex

、Ey

、Ez—x、y、z

坐標方向的湍流擴散系數；uz—z方向的流速分量。KCyCuxCuyCExCEtCyxyx-??-??-??+??=??2222二維模型推導KCyCuxCuyCExCEtCyxyx-??-67模型使用范圍（重要）零維模型：（假定內部無濃度梯度，濃度均勻化）------適合于箱體，湖泊環境一維模型（在一個方向上有濃度梯度變化）--------適合于細、長、淺河流環境二維模型（在二個方向上有濃度梯度變化）

--------適合于寬、長、淺大型河流，河口、海灣、淺湖三維模型（在三個方向上有濃度梯度變化）--------適合于寬、長、深環境，如大氣、海洋、深湖模型使用范圍（重要）68§3數值解與解析解一、概述由于環境問題涉及因素復雜(一些模式參數常是變數)，數學上能求得解析解的微分方程(又稱控制方程)又不多，常需把問題簡化(對運動作約束)后才能求得解析解，因此解析解的使用條件很嚴，不能亂用。控制方程簡化過程中涉及的數學分析問題有：二解析解求解1.化簡控制方程（重要）1）物質運動性質分析，常涉及微分方程(控制方程)的階數。平流問題，控制方程是一階微分方程：

擴散問題，控制方程是二階微分方程：§3數值解與解析解692）

物質運動在幾維空間內進行，含幾個空間變量。在一維空間內運動，只含一個空間變量：即在二維空間內運動，含二個空間變量：

在三維空間內運動，含三個空間變量：3）

運動是否隨時間而變化，方程含不含時間t這個變量。對于瞬時排放，污染物濃度隨時間而變化

2）

物質運動在幾維空間內進行，含幾個空間變量。70對于穩定排放，濃度不隨時間變化

4）運動中是否質量、能量守恒的分析，常涉及是否存在“外力”作用，控制方程中有否強迫項(源、匯)。無源、匯項存在，守恒物質方程：非守恒物質，有源、匯存在，方程非齊次

2.模型解析解(重要）

解析解：

通解：定解：定解條件（初、邊值條件）：源匯項對于穩定排放，濃度不隨時間變化源匯項71例題：求的通解、定解(了解）代入初邊值條件求積分常數：x=0時，c=c0積分常數通解：積分常數cc例題：求的通解、定解(了解）積分721）

瞬時排放的解析解（濃度隨時間變化）(1)一維流場、無彌散、有推流、有裒減，（重要）（推流作用》擴散作用）控制方程為：根據條件化簡上面方程得：解：圖像表示t=0t=1t=2X=utt=073初始條件：t=0時,c=C0，則其濃度為:

x=ut污染物正好到達：=0當x≠ut污染物已過或未到顯然只有x=ut處有污染物。(2)一維流場，有彌散、有推流、有裒減，（彌散、推流、裒減作用相當）控制方程為：

（重要）求得通解，代入以下初邊值條件初值：t=0,c=c0;邊值：x=0，c=c0；x=∞，c=0

污染源坐標0x0D污染源坐標0x0D74復習隨機變量的正態分布函數隨著時間的t的變化有：水團長度＝xautxc復習隨機變量的正態分布函數xautxc75例題3-1瞬時向河流中投放示蹤劑，含若丹明染料5kg,在起始斷面處充分緩和，假定河流平均寬度10m，平均水深0.5m,平均流速0.5m/s,縱向彌散系數為0.5m2/s,試求距投放點500m處的若丹明濃度分布的時間過程線。假定斷面面積為矩形，則面積A＝寬×深＝10*0.5=5m2,u=0.5m/s,D=0.5m2/s,M=5kg=5*106mgT(min)1012……….C(mg/l)5*10-141.8*10-5……………….ct例題3-1ct76圖像：(4)二維流場，有推流、擴散、裒減，控制方程為其解為:tX方向分布y方向分布點（0，0），t）圖像：tX方向分布y方向分布點（0，0），t）77圖形：utxccycyxuytxy圖形：utxccycyxuytxy78(3)三維流場，有推流、擴散、裒減，控制方程為：控制方程：其解為：當污染源坐標（x0,y0,z0)位于三維坐標的原點（0，0，0）時，有：(3)三維流場，有推流、擴散、裒減，控制方程為：79令上式=復習：X方向分布Y方向分布Z方向分布CXutCyvtCzwt令X方向分布Y方向分布Z方向分布CXutCyvtCzwt802）

穩定排放的解析解

穩定排放定義：

排放強度變化很小(變化率在±10%以內)；

排放時間長(T>>X/u)。

穩定排放問題沒有初值，只有邊值。(1)

0維(箱模式)：有一股流量為Q的污水，流經容積為V的水箱，污水流入水箱后與箱內水體充分混合，并與箱內微生物反應、造成污染物以k的速率裒減控制方程：解析解當t無窮大時：K,v,cQ,C0Q,C2）

穩定排放的解析解K,v,cQ,C0Q,C81當t足夠長時，解為：(2)一維穩態、無彌散、推流、裒減模式：設置控制方程，此時已不是擴散問題，而是推流問題。控制方程為:邊值條件為:x=0處C=C0

求解過程：當t足夠長時，82得：代入邊值條件：問題：在什么情況下，可以忽略擴散的影響？由于一般河流中|u|>>|Dx|，所以考慮不考慮彌散并不重要復習常微分方程解法變量xc積分常數得：變量xc積分常數83（3）一維穩態、有彌散、推流、裒減模式，控制方程為：代入邊值：x=0,C=C0,x=∞,C=0。

可以推斷解析解形式：C=f(x)導數形式而當解析解為：c=f(x,y,z,…)導數形式：控制方程變為：課后作業：1求上述常微分方程的定解2說明一維穩態方程與動態方程的區別（3）一維穩態、有彌散、推流、裒減模式，84其特征方程為：

Dxλ2-uλ-k=0

由此求出特征根：其通解為：代入邊值：x=0,C=C0,x=∞,C=0。

得A=0，B=C0，故解為

(6)二維穩態、有彌散、推流、裒減模式二維河道中可以忽略X方向的擴散Dx,y方向的推流作用，

化簡：cxe-kt重要其特征方程為：Dxλ2-uλ-k=0化簡：cx85環境系統分析教案（環科）ppt課件86此控制方程(排放口在坐標原點：x=0,y=0)求解較復雜，

其解為:y方向的分布xy此控制方程(排放口在坐標原點：x=0,y=0)求解較復雜，87二維問題實際應用中的復雜性(1)污染源在河中（重要）A河道無界(湖泊、海灣）B.河道有界：1污染源在河中xyB*(x,y)xyB*(x,y)B/2B/2-yB/2*N=1N=1N=2實源虛源虛源x二維問題實際應用中的復雜性xyB*(x,y)xyB*(x,y88加和后總濃度：(2)污染源在河邊(重要）A.河道無界總濃度*(x,y)實源虛源xy加和后總濃度：*(x,y)實源xy89B.河道有界總和為：*(x,y)B-yyXBB2B-yN=0,1N=2，3N=1,22By2B+y實源虛源虛源B.河道有界*(x,y)B-yyXBB2B-yN=0,1N=90(7)三維模式：大氣環境中高煙囪穩定排放，其控制方程為

其解為：(7)三維模式：大氣環境中高煙囪穩定排放，91例題:狹長河流中穩定排放污水，污水量q=0.15mg/m3,BOD=30mg/m3,流量Q=5.5m3/s,平均流速為0.3m/s,河道BOD本底濃度為0.5mg/m3,BOD的衰減速度常數K=0.2d-1,彌散系數D=10m2/s,求下游10km處的BOD濃度。Qqc010km例題:Qqc010km92連續點源排放，源強為50g/s,河流水深h=1.5m,ux=0.3m/s,橫向彌散系數DY=5m2/s,污染物衰減速度常數為0，求（1）無邊界情況，（2000，10）坐標處的濃度（2）邊界排放，寬度無限大，該處的污染物濃度（3）邊界排放，寬度B=100M時，該處的污染物濃度連續點源排放，源強為50g/s,河流水深h=1.5m,ux=93三.污染物在均勻流場中的分布特征（復習）（1）一維流場中的分布特征（動態）控制方程為

解上式變為：上式也可變為令：cx常數utctx/u常數擴展知識x/u三.污染物在均勻流場中的分布特征（復習）cx常數utctx94（2）一維流場中的分布特征（穩態）控制方程為

解（3）二維流場中的污染物分布特征（動態見前）穩態：xc（2）一維流場中的分布特征（穩態）控制方程為xc95解：問題1：污染物到達對岸(或地面)所需的距離：污染物到達河邊：岸邊濃度達到平均濃度的5%距排放口距離x(m)的污染物平均濃度為：排放口在河中，任意點濃度（帶反射）：排放口到達岸邊完全混合xyB解：排放口到達岸邊完全混合xyB96根據定義：排放口在岸邊：問題2；污染物完全混合所需的距離污染物完全混合：斷面任意一點濃度達到平均濃度的95%。河中排放岸邊排放作業：p54(1)(2)根據定義：97模型數值解一階導數：偏導數概念二階導數：模型數值解一階導數：偏導數概念98根據泰勒公式，可將任意函數y(x)在某點x=a處用級數展開：所以在x=a+h處,

(h=x-a)所以在x=a-h處：因為h很小，可將所有含大于2階得導數項省略，（1）+（2）得：將ahh（1）（2）根據泰勒公式，可將任意函數y(x)在某點x=a處用級數展開：99綜上二階導數可變為：tx?x?tj+1icjiji+1j-1i-1Cji-1i-2Cj+1iCji-21綜上二階導數可變為：tx?x?tj+1icjiji+1j-1100αβγ對于i=1，對于i=2。。。。。。對于i=iCj+1CjAαβγ對于i=1，Cj+1CjA101初始條件C(xi,0)=ci0邊界條件C(0,ti)=c0j初始條件102第四章

內陸水體水質模型1水體污染類型（1）有機耗氧性污染生活污水和一部分工業廢水中含有大量的碳水化合物、蛋白質、脂肪和木質素等有機物。

COD:BOD（CBOD,NBOD)：（2）化學毒物污染大體可分為四類：

a非金屬無機毒物(F、S等)，b重金屬與類金屬無機毒物(Hg、Cd、Cr、Pb、Mn等)，c易分解有機毒物(揮發酚、醛、苯等)，d難分解有機毒物(DDT、六六六，、多氯聯苯、多環芳烴、芳香胺等)。第四章內陸水體水質模型103(3)石油污染(4)放射性污染(5)富營養化污染(6)致病性微生物污染2污染物在水體中主要的過程（1）物理過程：污染物在水體的稀釋、混合、擴散、沉積、沖刷、再懸浮等作用。稀釋、混合：Q,C1q,C2斷面1混合后(3)石油污染Q,C1q,C2斷面1混合后104(2)擴散作用（略）（3）沉降作用

由于沉降作用造成的單位時間單位體積內的污染物減少量沉降速度常數(2)擴散作用（略）由于沉降作用造成的單位時間單位體積內的污105(4)化學\生物化學過程a污染物衰減過程(BOD)①一級反應動力學方程：

式中kC為實驗室內降解速度常數

初值：t=0時，L=L0，解析解：

kC隨溫度的變化而變，是溫度T的函數

θ=1.047（T=10~35）。

②衰減速度常數的求解：實驗室內的衰減速度常數kC河道內實際的衰減速度常數krkC在實驗室中，根據二個時間（t2、t1）的L值（L2、L1），便可估算(4)化學\生物化學過程106河道內kr估算：理論估算H為河流平均平均深度，u為河流平均流速，η為河床活度系數，由河床坡度決定

Ks為沉降速度常數實測數據估算此方法忽略了擴散作用，可行嗎？ABXAXBL0u河道內kr估算：ABXAXBL0u107b.

大氣復氧過程有機污染物的耗氧作用：大氣對水體的復氧作用：溶解氧(DO),BOD,COD飽和溶解氧（CS）：在標準大氣壓力、淡水中，飽和溶解氧的濃度為：

有機污染物的耗氧作用：t1t2Δt=t2-t1DO1DO2ΔDO=DO2-DO1

L1L2ΔL=L2-L1耗氧速率：?（以需氧量表示的污染物量

ΔL表示一定的污染物的損耗量，消耗了多少融氧表示的）b.大氣復氧過程108大氣向水中復氧的控制方程V為水體體積，A為河面表面積，A/V=1/H，H為平均水深。氧虧概念：溶解氧虧不足量

D=DOS-DO

取微分：dD=-dDO

帶入上面方程得：

Ka的求法：C、n、m的取值見P.57上的表4-3

溫度以200C為基準，則：，θ=1.024。大氣復氧速度常數

單位時間、單位體積內的復氧量大氣向水中復氧的控制方程大氣復氧速度常數單位時間、單位體積109C.光合作用對于時間平均模型，產氧速度可取一天中的平均值P(設為常數)，設任意一天的光合作用放氧量為p,有（單位：/d)d藻類呼吸作用呼吸作用是耗氧過程。通常把藻類呼吸耗氧作為R處理：（單位：/d)光合作用和呼吸作用的產氧、耗氧速度，可用白瓶、黑瓶試驗求得：1）

先求得L0與KC，并計算得KCL0；2）

測得黑瓶中的溶解氧變化值，即可求出R：3)再測得白瓶中的溶解氧變化值，即可求得P：時間單位：/dC.光合作用1103。河流水質模型

（1）河流水質模型使用概述（2）一維河流水質模型

a單一河段水質模型（只有一個排放口）①S-P模型（Streeter-phelps)1925年建立，用于描述河流中的BOD與DO的復合變化規律。其基本假設（1）是河流中的BOD裒減和DO恢復都是一級反應，（2）河流中的耗氧由BOD衰減引起，且DO的來源只有大氣復氧。u1Q1u2Q23。河流水質模型u1Q1u2Q2111此時的控制方程（流速作用》擴散作用）令有機物濃度、溶氧濃度分別為L,DO,上式分別為：有機耗氧大氣復氧解為：其中D0為初始氧虧值，D0=DOS-DO0單位時間、單位體積內的融氧變化量單位時間、單位體積內的復氧量單位時間、單位體積內的耗氧量此時的控制方程（流速作用》擴散作用）有機耗氧大氣復氧解為：其112將氧虧用溶氧表示：濃度分布：

BOD:DO:LtDOSD0DC

（水質最差點）xc=u*tc

復氧曲線

氧垂曲線

耗氧曲線

DOxDOCDO0將氧虧用溶氧表示：LtDOSD0DC（水質最差點）xc113求水質最差點的位置及溶氧：②S-P模型的修正型1）

托馬斯模型：在S-P模型基礎上引入對BOD有去除作用的沉淀過程：解：

求水質最差點的位置及溶氧：解：114臨界點發生時間：臨界點發生時間：1152）康布模型：在S-P模型基礎上增加了底泥釋放BOD貢獻和河流中水生植物光合作用產氧。增加了二個強迫項B、P。底泥釋放BOD的速度光合作用產氧速度解為：2）康布模型：底泥釋放BOD的速度光合作用產氧速度解為：1163）歐康奈爾模型：在（含碳有機物CBOD）托馬斯模型基礎上引進含氮有機物(NBOD)對水質的影響。：

解為：

3）歐康奈爾模型：解為：117某河段流量為216*104m3/s,流速是46km/d,詩、水溫13.6度，kd=0.94d-1ka=1.82d-1,ks=-0.17d-1河段始端廢水排放量10*104m3/d,BOD500mg

/l,DO為0，上游河水BOD為0，DO8.95mg

/l，求和段6公里處河水的BOD和氧虧某河段流量為216*104m3/s,流速是46km/d,詩118河段長16km，枯水流量為60m3/s,u=0.3m/s,kd=0.25d-1,ks=0.1d-1,ka=0.4d-1,水流穩定，光合作用呼吸作用不發達，如果河段中保持DO>5mg/l,河段中每天流入的BOD不超過多少，（排放口上游來水氧虧為0，河水溫度20度）河段長16km，枯水流量為60m3/s,u=0.3m/s,k119由托馬斯模型：69.2km由托馬斯模型：69.2km120（3）多河段水質模型多河段模式：1）基本概念：一維單一河段模式有穩定解析解的條件是清水、污水水流均勻、穩定，只有一個排放口(一般設在起始斷面處)的情況下得到的。當河流的水文條件、排放條件沿途發生變化時(但還是穩定的——不隨時間變化)，可以把河流分成多段，每段又可視作一個單一河段(由相鄰河段界面決定)模式處理，上游界面作為該河段的初始或邊界條件處理，在該處函數值允許出現第二類不連續(導數不連續)。這些邊界通常設置在：

①河流流態(u,Q,H)發生變化處；②有支流(清水)輸入或排污(污水)輸入處；③河水取水處；④其它需要設立斷面的地方(水文站、橋涵等便于采樣處)；⑤環境保護處。斷面處通常需要詳細分析水流與污染物的輸入、輸出情況，一般設起始斷面為0斷面，該處應有較為詳細的水文、水質觀測資料(Q0流量、L0BOD值、O0DO值)。（3）多河段水質模型1212）解法：多河段模式有二種解法：（A）

一種是自上游起始斷面起，一個一個斷面(二相鄰斷面構成一單一河段)逐段求解；求解過程：①

先把起始端面之溶解氧值(O)，轉換為氧虧值(D=OS-O),再根據河段起始斷面之BOD值(L0)、氧虧值(D0)與河段中的耗氧、復氧過程參數(Kd,Ka)，求河段末端段面之BOD值(L)、氧虧值(D)：②

河段末端斷面的水量平衡：輸入清水量為Q0-Q取，輸入污水量q污,輸出混合水水量為:Q0-Q取+q污。③根據以上計算結果作為河段末端斷面的水質、水量輸入資料，但需把氧虧轉換回溶解氧，然后才能與污水中的溶解氧混合(氧虧只是一個概念，不能混合)，混合根據加權平均原則進行，公式用：2）解法：多河段模式有二種解法：122④

求出混合濃度即為河段末端的水質輸出參數，水量輸出則為Q0-Q取+q污。可作為下一河段繼續計算時的初始條件。此時又需把溶解氧轉換為氧虧。（B）

另一種是用矩陣方法(可編寫一專用軟件)，一下子全部解出各端面上的所有水質、水量，