高考真題（2019?江蘇卷）在平面直角坐標系xOy中，設點集，令.從集合Mn中任取兩個不同的點，用隨機變量X表示它們之間的距離.（1）當n=1時，求X的概率分布；（2）對給定的正整數n（n≥3），求概率P（X≤n）（用n表示）.【解析】（1）當時，的所有可能取值是．的概率分布為，．（2）設和是從中取出的兩個點．因為，所以僅需考慮的情況．①若，則，不存在的取法；②若，則，所以當且僅當，此時或，有2種取法；③若，則，因為當時，，所以當且僅當，此時或，有2種取法；④若，則，所以當且僅當，此時或，有2種取法．綜上，當時，的所有可能取值是和，且．因此，．【答案】（1）見解析；（2）見解析.（2019?天津卷（理））設甲、乙兩位同學上學期間，每天7：30之前到校的概率均為.假定甲、乙兩位同學到校情況互不影響，且任一同學每天到校情況相互獨立.（Ⅰ）用表示甲同學上學期間的三天中7：30之前到校的天數，求隨機變量的分布列和數學期望；（Ⅱ）設為事件“上學期間的三天中，甲同學在7：30之前到校的天數比乙同學在7：30之前到校的天數恰好多2”，求事件發生的概率.【解析】（Ⅰ）因為甲同學上學期間的三天中到校情況相互獨立，且每天7:30之前到校的概率均為，故，從面.所以，隨機變量的分布列為：0123隨機變量的數學期望.（Ⅱ）設乙同學上學期間的三天中7:30之前到校的天數為，則.且.由題意知事件與互斥，且事件與，事件與均相互獨立，從而由（Ⅰ）知：.【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）（2019?北京卷（理））改革開放以來，人們的支付方式發生了巨大轉變．近年來，移動支付已成為主要支付方式之一．為了解某校學生上個月A，B兩種移動支付方式的使用情況，從全校學生中隨機抽取了100人，發現樣本中A，B兩種支付方式都不使用的有5人，樣本中僅使用A和僅使用B的學生的支付金額分布情況如下：交付金額（元）支付方式（0,1000]（1000,2000]大于2000僅使用A18人9人3人僅使用B10人14人1人（Ⅰ）從全校學生中隨機抽取1人，估計該學生上個月A，B兩種支付方式都使用的概率；（Ⅱ）從樣本僅使用A和僅使用B的學生中各隨機抽取1人，以X表示這2人中上個月支付金額大于1000元的人數，求X的分布列和數學期望；（Ⅲ）已知上個月樣本學生的支付方式在本月沒有變化．現從樣本僅使用A的學生中，隨機抽查3人，發現他們本月的支付金額都大于2000元．根據抽查結果，能否認為樣本僅使用A的學生中本月支付金額大于2000元的人數有變化？說明理由．【解析】（Ⅰ）由題意可知，兩種支付方式都是用的人數為：人，則：該學生上個月A，B兩種支付方式都使用的概率.（Ⅱ）由題意可知，僅使用A支付方法的學生中，金額不大于1000的人數占，金額大于1000的人數占，僅使用B支付方法的學生中，金額不大于1000的人數占，金額大于1000的人數占，且X可能的取值為0,1,2.，，，X的分布列為：X012其數學期望：.（Ⅲ）我們不認為樣本僅使用A的學生中本月支付金額大于2000元的人數有變化.理由如下：隨機事件在一次隨機實驗中是否發生是隨機的，是不能預知的，隨著試驗次數的增多，頻率越來越穩定于概率。學校是一個相對消費穩定的地方，每個學生根據自己的實際情況每個月的消費應該相對固定，出現題中這種現象可能是發生了“小概率事件”.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）見解析；（Ⅲ）見解析.（2019?全國I卷（理））為了治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進行動物試驗．試驗方案如下：每一輪選取兩只白鼠對藥效進行對比試驗．對于兩只白鼠，隨機選一只施以甲藥，另一只施以乙藥．一輪的治療結果得出后，再安排下一輪試驗．當其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時，就停止試驗，并認為治愈只數多的藥更有效．為了方便描述問題，約定：對于每輪試驗，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分．甲、乙兩種藥的治愈率分別記為α和β，一輪試驗中甲藥的得分記為X．（1）求的分布列；（2）若甲藥、乙藥在試驗開始時都賦予4分，表示“甲藥的累計得分為時，最終認為甲藥比乙藥更有效”的概率，則，，，其中，，．假設，．（i）證明：為等比數列；（ii）求，并根據的值解釋這種試驗方案的合理性．【解析】（1）由題意可知所有可能的取值為：，，；；則的分布列如下：（2），，，（i）即整理可得：是以為首項，為公比的等比數列（ii）由（i）知：，，……，作和可得：表示最終認為甲藥更