第第頁2022-2023學年江西省南昌市重點中學高二（下）期中數學試卷（Word含解析）2022-2023學年江西省南昌市重點中學高二（下）期中數學試卷

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.已知等差數列中，，公差，則等于()

A.B.C.D.

2.函數在區間上的平均變化率為()

A.B.C.D.

3.已知函數可導，且滿足，則函數在處的導數為()

A.B.C.D.

4.已知實數列、、、、成等比數列，則()

A.B.C.D.

5.已知函數，函數的單調遞減區間為()

A.B.C.D.

6.點在曲線上移動，設點處切線的傾斜角為，則角的取值范圍是()

A.B.C.D.

7.若函數有兩個不同的極值點，則實數的取值范圍為()

A.B.C.D.

8.已知函數是定義在上的可導函數，其導函數為，若，且，則關于的不等式的解集為()

A.B.C.D.

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求）

9.下列結論中不正確的是()

A.B.

C.D.若，則

10.已知數列，滿足，，為的前項和，且，，則()

A.數列為等差數列B.

C.D.或時，取得最大值

11.若函數在區間上不單調，則實數的值可能是()

A.B.C.D.

12.已知函數，，若，，不等式成立，則的可能值為()

A.B.C.D.

三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.已知函數，則的單調遞增區間是______．

14.若是等差數列的前項和，且，則______．

15.已知數列為等比數列，且，設等差數列的前項和為，若，則______．

16.函數在區間上有最大值，則的取值范圍是．

四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

17.本小題分

已知等比數列中，，．

求的通項公式；

令，求數列的前項和．

18.本小題分

已知函數且在，上單調遞增，在上單調遞減，又函數．

求函數的解析式；

求證：當時，．

19.本小題分

已知數列為等差數列，為等比數列，且．

求，的通項公式；

求數列的前項和．

20.本小題分

已知函數．

討論的單調性；

若有兩個零點，求的取值范圍．

21.本小題分

已知函數，其中．

當時，求曲線在點處的切線方程；

當時，求函數的單調區間與極值．

22.本小題分

已知函數，．

當時，求函數的極值；

若任意，且，都有成立，求實數的取值范圍．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：因為等差數列中，，公差，

所以．

故選：．

利用等差數列的通項公式進行求解即可．

本題主要考查了等差數列的通項公式，屬于基礎題．

2.【答案】

【解析】解：根據題意，函數，

在區間上，，，

則其平均變化率．

故選：．

根據題意，由函數的解析式求出和，進而計算可得答案．

本題考查平均變化率的計算，注意平均變化率的計算公式，屬于基礎題．

3.【答案】

【解析】解：，

則．

故選：．

根據已知條件，結合導數的幾何意義，即可求解．

本題主要考查極限及其運算，屬于基礎題．

4.【答案】

【解析】解：設等比數列、、、、的公比為，則，

由等比中項的性質可得，所以，，

因此，．

故選：．

求出的值，利用等比中項的性質可求得結果．

本題主要考查等比數列的性質，屬于基礎題．

5.【答案】

【解析】解：

令，即，解得，

所以函數的單調遞減區間為．

故選：．

求導，令，求解即可．

本題考查導數的綜合應用，屬基礎題．

6.【答案】

【解析】解：因為，所以，

因為，所以，

又，所以．

故選：．

結合導數的幾何意義求出切線的斜率的取值范圍，進而根據斜率與傾斜角的關系以及傾斜角的范圍即可求出結果．

本題考查導數的幾何意義及應用，考查直線傾斜角與斜率的關系，是基礎題．

7.【答案】

【解析】解：由，

當時，函數單調遞增，在時，該函數單調遞減，

當時，函數有最大值，

且，且函數的對稱軸為，

所以當時，有兩個不同的極值點，

等價于直線與函數有兩個不同的交點，

所以，

故選：．

根據函數極值點的定義，結合二次函數的性質、數形結合思想、轉化法進行求解即可．

本題考查導數的綜合應用，利用導數研究函數的單調性與極值，數形結合思想，屬中檔題．

8.【答案】

【解析】解：令，

，

因為，

所以，

所以在上單調遞減，

因為，

所以，

不等式可化為，則，即，

所以，

所以，

故選：．

令，求導分析的單調性，由，得，不等式可化為，即，結合單調性，即可得出答案．

本題考查導數的綜合應用，解題中注意轉化思想的應用，屬于中檔題．

9.【答案】

【解析】解：對于選項：，故A錯誤；

對于選項：根據導數運算律可得，故B正確；

對于選項：，故C錯誤；

對于選項：根據復合函數導數運算，，故D正確．

故選：．

根據導數公式和導數運算律，復合函數求導分別判斷各個選項即可．

本題主要考查導數的求導法則，屬于基礎題．

10.【答案】

【解析】解：由，

所以數列為等差數列，因此選項A正確；

設該等差數列的公差為，因為，，

所以有，，

因此選項B正確，選項C不正確；

因為，

所以或時，取得最大值，因此選項D不正確．

故選：．

根據等差數列的定義、結合等差數列的前項和公式、通項公式逐一判斷即可．

本題主要考查了等差數列的通項公式和前項和公式，屬于中檔題．

11.【答案】

【解析】解：，

，

又區間，，

由，得，

又函數在區間上不單調，

，

解得，又，

，

故選：．

根據題意可得導函數在上有變號零點，從而建立不等式，即可求解．

本題考查利用導數研究函數的單調性，化歸轉化思想，不等式思想，屬中檔題．

12.【答案】

【解析】解：若，，不等式成立，

則．

，則，

令，解得；令，解得．

故在遞減，在遞增，

故；

而，

即時，，則，，

在遞增，可得，故成立；

，即時，

令，解得；令，解得，

故在遞減，在遞增，

故，

故只需，即．

令，

則，

令，解得；令，解得，

故在遞減，在遞增，

則，，，，

故滿足的的最大值是，

故選：．

由題意可得，通過導數分別求出函數，的最值，得到關于的不等式，可得的最大值，進而得到結論．

本題考查導數的運用：求最值，以及不等式恒成立問題解法，考查轉化思想和運算能力、推理能力，屬于中檔題．

13.【答案】

【解析】解：函數的定義域為，

，

令，可得，

故的單調遞增區間為．

故答案為：．

求出的定義域，再對求導，令，即可求解的單調遞增區間．

本題主要考查利用導數求函數的單調區間，考查運算求解能力，屬于基礎題．

14.【答案】

【解析】解：設等差數列的公差為，

，

，化簡整理可得，，

．

故答案為：．

根據已知條件，結合等差數列的前項和公式，求出，再結合等差數列的性質，即可求解．

本題主要考查等差數列的前項和公式，以及等差數列的性質，屬于基礎題．

15.【答案】

【解析】解：因為數列為等比數列，且，

所以，解得或舍，

即，又因為數列為等差數列，

則．

故答案為：．

根據等比數列的性質可得，然后結合等差數列的前項和公式，即可得到結果．

本題主要考查等差數列與等比數列的綜合，等差數列的前項和公式，考查運算求解能力，屬于基礎題．

16.【答案】

【解析】解：，，

令解得；令，解得或，

由此可得在上是增函數，在上是減函數，在上是增函數，

故函數在處有極大值，在處有極小值，

，即，解得，

即的取值范圍是．

故答案為：．

求函數導數，研究函數單調性，判斷其取最大值的位置，由于函數在區間上有最大值，故最大值對應的橫坐標應在區間內，由此可以得到參數的不等式，解不等式即可得到的取值范圍．

本題主要考查利用導數研究函數的最值，考查運算求解能力，屬于中檔題．

17.【答案】解：，．

，

解得，．

的通項公式．

，

，

則，

【解析】根據條件求出等比數列的首項和公比，然后求的通項公式；

求出令的通項公式，然后利用裂項法求數列的前項和．

本題主要考查等比數列的通項公式的計算以及利用列項法求數列的和，要求熟練掌握相應的公式和化簡技巧．

18.【答案】解：由題得：，

在，上單調遞增，在上單調遞減，

，，

即，，

，，

；

證明：令，

，對稱軸為，開口向上，

故F在上單調遞增，且，

當時，單調遞增，

又，

當時，．

【解析】由函數在，上單調遞增，在上單調遞減，知函數在點或處取得極值，可得，求導，即可求字母的值，進而求解解析式；

令，轉化為求的最值即可．

本題主要考查應用導數研究函數的極值和單調性問題，體現了轉化的思想方法，屬中檔題．

19.【答案】解：設數列的公差為，的公比為，由已知得，，，

解得，，

則；

由可得，

則，，

兩式相減得，

所以．

【解析】設數列的公差為，的公比為，由題可得關于與的方程，解之可得答案；

由結合錯位相減法可得答案．

本題主要考查了等差數列和等比數列的通項公式，考查了錯位相減法求和，屬于中檔題．

20.【答案】解：由題意可知，函數的定義域為，

所以，

令可得，

當時，，函數為單調遞減，

當時，，函數為單調遞增，

所以函數在上單調遞增，在上單調遞減．

根據題意，若有兩個零點，即方程有兩個實數根，

所以函數與有兩個不同的交點，

由知，在上單調遞增，在上單調遞減，

所以函數在時取極大值，也是最大值，

當時，，

當時，，

當時，，

畫出函數圖象如下：

由圖可知，若函數與有兩個不同的交點，則，

所以的取值范圍為．

【解析】求導分析的符號，的單調性，即可得出答案．

根據題意，若有兩個零點，即方程有兩個實數根，則函數與有兩個不同的交點，進而可得答案．

本題考查導數的綜合應用，解題中注意轉化思想的應用，屬于中檔題．

21.【答案】解：Ⅰ由，

當時，，．

，則切點為

，則切線斜率為，

用點斜式得切線方程為：，即；

Ⅱ由，得

．

當時，由，解得：．

由，解得：或．

遞減區間是，，遞增區間是

極小值是，極大值是．

【解析】Ⅰ把代入函數解析式，求出導函數，得到，再求出，直接寫切線方程的點斜式；

Ⅱ求出原函數的導函數，由，解出導函數大于和小于的的范圍，則答案可求．

本題考查了利用導數求曲線上過某點的切線方程，考查了利用導數研究函數的單調區間以及根據函數的增減性得到函數的極值，是中檔題．

22.【答案】解：當時，，．

則，令，解得或，

又因為，所以．

列表如下：

單調遞減極小值單調遞增

因為函數在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，所以有極小值，無極大值．

因為，，

所以，，

若對任意，且恒成立

不妨令，則，

令，只需證明在單調遞增，

因為