2023年高考數學模擬試卷

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）

填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處工

2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦

干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。

3,非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應位置上；如需改動，先

劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。

4.考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.若數列｛4）滿足q=15且3a?+1=3%—2,則使ak-。川＜0的女的值為（）

A.21B.22C.23D.24

/、[x2+10x+LX＜0/、，、/、

2.設函數/1＞0若關于K的方程/（x）=a（蚱R）有四個實數解工。=1,2,3,4）,其中

王＜々＜尤3＜%4，則（玉+七）（下一七）的取值范圍是（）

A.(0,101]B.(0,99]C.(0,100]D.(0.+OO)

3.拋物線『=2尸S＞0）的焦點為F,準線為/,A,/，是拋物線上的兩個動點，且滿足/4尸8=；,設線段46

\MN\

的中點M在/上的投影為N,則上得的最大值是（

\AB)

AVsR行「抬’nR

A.-----B.C?D.、/3

432

4.已知將函數/（x）=sin（ox+。）（0＜。＜6,-巳＜。＜工）的圖象向右平移:個單位長度后得到函數身（x）的圖

223

象，若/（x）和g（x）的圖象都關于》=工對稱，則下述四個結論:

4

①0=3②9=?③/（￡）=孝④點后為函數/⑴的一個對稱中心

其中所有正確結論的編號是（）

A.①②③B.①C.①@@D.

5.已知復數z=」一，則復數z的虛部為（）

3+4/

4444

-B.----C.一D.——

5555

6,已知集合人={幻光>一1},集合8={x|x（x+2）vO},那么AU3等于（）

A.[x]x>-2}B.{x|-l<x<0}C.{x|x>-l}D.{x|-l<x<2}

]—r2

7.函數大幻=」匚的圖象大致為o

ex

8.設a=log73,b=log，，c=3o.7f則a,b,c的大小關系是（）

3

A.a<b<cB.c<b<aC.b<c<aD.b<a<c

9.閱讀名著，品味人生，是中華民族的優良傳統.學生李華計劃在高一年級每周星期一至星期五的每天閱讀半個小時

中國四大名著：《紅樓夢》、《三國演義》、《水滸傳》及《西游記》，其中每天閱讀一種，每種至少閱讀一次，則每周不

同的閱讀計劃共有（）

A.120種B.240種C.480種D.600種

10.函數丁=5訂1%（35而》+485為。6/?）的最大值為4/，最小正周期為丁，則有序數對（加，7）為（）

A.（5,乃）B.（4,4）C.（一1,2乃）D.（4,2萬）

11.木匠師傅對一個圓錐形木件進行加工后得到一個三視圖如圖所示的新木件，則該木件的體積（）

俯視圖

A.24萬+96B.484+96C.484+18/D.1447+18有

（3\

12.已知函數/（》）=*一皿根>0,且加wl）的圖象經過第一、二、四象限，則a="（&）|"=/48,c=|/（0）|

\7

的大小關系為（）

A.c<b<aB.c<a<b

C.a<b<cD.b<a<c

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.在平面五邊形A8C0E中，ZA=60°,AB=AE=6>/3,BC±CD,且BC=OE=6.將五邊形48cDE沿對

角線的折起，使平面4%與平面BCDE所成的二面角為120。，則沿對角線的折起后所得幾何體的外接球的表面積

是.

14.如圖，在平行四邊形A8CQ中，A8=2，A￡）=1,則正.麗的值為.

15.已知（l+2x）”的展開式中含有丁的項的系數是60,則展開式中各項系數和為.

17

16.已知點尸是拋物線\，=2/的焦點，M,N是該拋物線上的兩點，若|ME|+|NE|=丁，則線段中點的縱

4

坐標為.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）如圖，焦點在x軸上的橢圓G與焦點在）’軸上的橢圓G都過點M（0,1）,中心都在坐標原點，且橢圓G

與C,的離心率均為3.

2

<I）求橢圓C,與橢圓C2的標準方程；

（U）過點M的互相垂直的兩直線分別與G，G交于點A,8（點A、8不同于點M）,當AM4B的面積取最大值

時，求兩直線MA,斜率的比值.

18.(12分)已知函數/(x)=a(x-lnx)+x2-2x.

(1)當a=—2e為自然對數的底數)時，求函數/(x)的極值；

(2)/'(x)為y=/(x)的導函數，當。>0,%>與>°時，求證：/(司卜/''/%.

22

19.(12分)在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：二+與=1的左、右焦點分別為片、F,,且點用、

a-b-

F2與橢圓C的上頂點構成邊長為2的等邊三角形.

(1)求橢圓。的方程;

幽

(2)已知直線/與橢圓。相切于點/,,且分別與直線x=T和直線l=-1相交于點M、N.試判斷是否為定

值,并說明理由.

20.(12分)在新中國成立70周年國慶閱兵慶典中，眾多群眾在臉上貼著一顆紅心，以此表達對祖國的熱愛之情，在

數學中，有多種方程都可以表示心型曲線，其中有著名的笛卡爾心型曲線，如圖，在直角坐標系中，以原點。為極點,

x軸正半軸為極軸建立極坐標系.圖中的曲線就是笛卡爾心型曲線，其極坐標方程為夕=1-sin6(0<6<2肛P>0),

M為該曲線上的任意一點.

3

(1)當|0M|=/時，求M點的極坐標；

(2)將射線OM繞原點。逆時針旋轉g與該曲線相交于點N,求|MN|的最大值.

21.(12分)已知函數/(切=鬻+夕曲線y=/(x)在點(1,7(1))處的切線方程為x+2y-3=0.

(I)求。的值；

(H)若ZWO,求證：對于任意xe(l,”)，/(x)>—+-.

X—1X

22.(10分)已知集合A={x|log2(x+3)W3},B={x|2/n-l<x</??+3}.

(1)若/〃=3,則AUB；

(2)若AD8=8,求實數，〃的取值范圍.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.C

【解析】

因為初―4=一2(，所以{叫是等差數列，且公差〃=-右24=15,貝！|4=15-；2(〃-1)=一；2〃+方47，所

以由題設4可2得472〃+三45)<0=與45<〃<47?,貝！J〃=23,應選答案C.

2.B

【解析】

畫出函數圖像，根據圖像知：石+工2=-10,V4=l,；4毛<1,計算得到答案.

【詳解】

X2+10x+Lx<0

〃x）=<

|ig4、>。，畫出函數圖像'如圖所示:

根據圖像知：^+%2=-10,lgx3=-lgx4,故玉％=1,且需勺％3<1.

故（石+電）（“3一%4）=-1°七---e（O,99].

\^37

1234

-9X

A工

f

HY

C

二4

4

一

1

二1

1

一1

1

二1

1

二1

二1

1

二2

2

二2

2

二2

二2

2

【點睛】

本題考查了函數零點問題，意在考查學生的計算能力和應用能力，畫出圖像是解題的關鍵.

3.B

【解析】

試題分析：設A,B在直線/上的投影分別是4,%則AF|=|A4,5曰=|班|,又M是AB中點,所以

..1....11Ml+仍4|AFBF

|MV|=5（IM|+|明I），則曷=3箕^=』||+|^|，在.產中

|AB|2=|71F|2+15F|2-21AF||SF|cos—=|AF|2+1BFf+1AF||BF\=(|AF|+1BF\)2-1AF||BF|>(|AF|+1BF|)2

-因普Y-陽六網號哆即中考，所以耕冬』

考點：拋物線的性質.

【名師點晴】

在直線與拋物線的位置關系問題中，涉及到拋物線上的點到焦點的距離，焦點弦長，拋物線上的點到準線(或與準線

平行的直線)的距離時，常常考慮用拋物線的定義進行問題的轉化.象本題弦46的中點用到準線的距離首先等于

A,8兩點到準線距離之和的一半，然后轉化為A8兩點到焦點尸的距離，從而與弦長|A回之間可通過余弦定理建立

關系.

4.B

【解析】

首先根據三角函數的平移規則表示出g(x),再根據對稱性求出①、(P,即可求出的解析式，從而驗證可得;

【詳解】

解:由題意可得g(x)=sin=sin(ty+^>

71.7C

一@+0=勺乃+一

又???和的圖象都關于=工對稱，,2

/(x)g(x)x:兀7r(如&eZ),

4nTC.TC

-co--co+(p=k、兀+一

43-2

?\解得三口=也一自)乃(勺,&eZ),即0=3(仆_&)(4,&eZ),又,.,0<0<6,二0=3,(p=

/(x)=sin(3x-?J,:縣,/二=。,

112

二①③④正確，②錯誤.

故選：B

【點睛】

本題考查三角函數的性質的應用，三角函數的變換規則，屬于基礎題.

5.B

【解析】

利用復數的運算法則、虛部的定義即可得出

【詳解】

55(3-4/)34.

z_________________———1

3+4/(3+4z)(3-4z)55

4

則復數z的虛部為

故選：B.

【點睛】

本題考查了復數的運算法則、虛部的定義，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題.

6.A

【解析】

求出集合8,然后進行并集的運算即可.

【詳解】

VA={x|x>-1},fi={x|-2<x<0),

/.AUB={x|x>—2}.

故選：A.

【點睛】

本小題主要考查一元二次不等式的解法，考查集合并集的概念和運算，屬于基礎題.

7.D

【解析】

根據函數為非偶函數可排除兩個選項，再根據特殊值/(2)可區分剩余兩個選項.

【詳解】

因為八一%)=上三布比)知人幻的圖象不關于y軸對稱，排除選項B,C.

e~x

1-43

又42)=一一=--^<0.排除A,故選D.

e'e'

【點睛】

本題主要考查了函數圖象的對稱性及特值法區分函數圖象，屬于中檔題.

8.D

【解析】

l>a=log73>0,"=l°gJ<0,c=3°7>l得解.

3

【詳解】

l>?=log3>0,，=log[7<0,C=3°7>1,所以b<a<c,故選D

73

【點睛】

比較不同數的大小，找中間量作比較是一種常見的方法.

9.B

【解析】

首先將五天進行分組，再對名著進行分配，根據分步乘法計數原理求得結果.

【詳解】

至9=10種分組方法;

將周一至周五分為4組，每組至少1天，共有:

將四大名著安排到4組中，每組I種名著，共有：=24種分配方法;

由分步乘法計數原理可得不同的閱讀計劃共有：10x24=240種

本題正確選項：B

【點睛】

本題考查排列組合中的分組分配問題，涉及到分步乘法計數原理的應用，易錯點是忽略分組中涉及到的平均分組問題.

10.B

【解析】

13353

函數y=sinx(3sinx+4cosx)=3sin'x+4sinxcosx=2sin2x--cos2x+—=—sin(2x-0)+—(。為輔助角)

2222

.?.函數的最大值為M=4,最小正周期為T=F=

故選B

11.C

【解析】

「Ji

由三視圖知幾何體是一個從圓錐中截出來的錐體,圓錐底面半徑為.圓錐的高/?=J（36）2—3?，截去

的底面劣弧的圓心角為?，底面剩余部分的面積為S=乃產+:尸sinM，利用錐體的體積公式即可求得?

32323

【詳解】

由已知中的三視圖知圓錐底面半徑為-=&+（空尸=6,圓錐的高/?=J（36）2—3?=6,圓錐母線

/=762+62=672>截去的底面弧的圓心角為120。，底面剩余部分的面積為

G[GG1O

S=-7vr2+—r2sin—=—x62+—x62xsin—=24,T+9>/3,故幾何體的體積為：

323323

V=1S/2=1X(24^+95/3)X6-48^+18^.

故選C.

【點睛】

本題考查了三視圖還原幾何體及體積求解問題，考查了學生空間想象,數學運算能力，難度一般.

12.C

【解析】

根據題意，得()<，〃<1,/(D=o,則〃x)為減函數，從而得出函數I/(x)|的單調性，可比較。和〃，而

C=1/(0)1=1-〃?，比較y(0)J(2),即可比較a,b,c.

【詳解】

因為/(%)=加'一機(〃7>0,且機￥1)的圖象經過第一、二、四象限，

所以0<1,7(1)=0,

所以函數/(X)為減函數，函數I7(X)1在(YO』)上單調遞減，在―)上單調遞增，

又因為1<拒=2鼻<4'=2’<2，

所以。<〃，

又c=l/(())l=l一〃？，"⑵|=4一團，

則1"(2)|—"(0)|=/一1<0，

即"(2)|<"(0)],

所以4<〃<C.

故選：C.

【點睛】

本題考查利用函數的單調性比較大小，還考查化簡能力和轉化思想.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.252萬

【解析】

設AA5E的中心為。i，矩形3cOE的中心為。一過。?作垂直于平面ABE的直線《，過。?作垂直于平面38E的

直線心得到直線4與b的交點0為幾何體ABCR：外接球的球心，結合三角形的性質，求得球的半徑，利用表面積公

式，即可求解.

【詳解】

設AABE的中心為,矩形BCDE的中心為。？，

過。作垂直于平面A8E的直線過。2作垂直于平面BCDE的直線4,

則由球的性質可知，直線（與/,的交點0為幾何體ABCDE外接球的球心，

取跖的中點/，連接。尸,02F,

由條件得。產=。2/=3,ZO,F（92=120°,連接OF,

因為△。尸。|M^OFO2,從而（JO、=3白，

連接OA,則OA為所得幾何體外接球的半徑，

在直角初。。|中，由QA=6,OO、=3&,可得O42=OO；+aA2=27+36=63,

即外接球的半徑為R=OA=屈,

故所得幾何體外接球的表面積為S=4兀R?=252乃.

故答案為：252乃.

【點睛】

本題主要考查了空間幾何體的結構特征，以及多面體的外接球的表面積的計算，其中解答中熟記空間幾何體的結構特

征，求得外接球的半徑是解答的關鍵，著重考查了空間想象能力與運算求解能力，屬于中檔試題.

14.-3

【解析】

根據A8CZ）是平行四邊形可得出前.麗=亞2一福2,然后代入A5=2,40=1即可求出而.麗的值.

【詳解】

?：AB=2,AD=1,

ACBD=（XB+AI5）（BA+BC）

=（AB+AD）-（AD-AB）

■,2?2

=AD-AB

=1-4

=-1.

故答案為：-1.

【點睛】

本題考查了向量加法的平行四邊形法則，相等向量和相反向量的定義，向量數量積的運算，考查了計算能力，屬于基

礎題.

15.1

【解析】

由二項式定理及展開式通項公式得：22C>60,解得〃=6,令x=l得：展開式中各項系數和，得解.

【詳解】

解:由（l+2x）"的展開式的通項心=禺（2?，

令〃=2,

得含有f的項的系數是2:C；=60,

解得〃=6,

令x=l得：展開式中各項系數和為（1+2）6=729,

故答案為：1.

【點睛】

本題考查了二項式定理及展開式通項公式，屬于中檔題.

16.2

【解析】

運用拋物線的定義將拋物線上的點到焦點距離等于到準線距離，然后求解結果.

【詳解】

拋物線y=2f的標準方程為：x2=^-y,則拋物線的準線方程為丁=—g，設"（見，加），N（XN，丫G，則

2o

++|+^+|=^,所以>“+丫.=4,則線段MN中點的縱坐標為為三江=2.

8842

故答案為：2

【點睛】

本題考查了拋物線的定義，由拋物線定義將點到焦點距離轉化為點到準線距離，需要熟練掌握定義，并能靈活運用,

本題較為基礎.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

產0=1⑵紀且

17.（1）—+y2=1,

4-

【解析】

分析：（1）根據題的條件，得到對應的橢圓的上頂點，即可以求得橢圓中相應的參數，結合橢圓的離心率的大小，求得

相應的參數，從而求得橢圓的方程；

⑵設出一條直線的方程，與橢圓的方程聯立，消元，利用求根公式求得對應點的坐標，進一步求得向量的坐標，將S

表示為關于k的函數關系，從眼角函數的角度去求最值，從而求得結果.

詳解：（I）依題意得對G：h=i,6=立=>02=2=之￡,得G：—+/=1

24a24-

，%2

同理c”>'+T=1

4

（II）設直線M4,M3的斜率分別為勺，k2,則MA：y=ktx+l,與橢圓方程聯立得:

2

土+y2=i7）8kl-4A，+i

4,nx+4（人彳+1）--4=0,得（4Z「+1）+8Z]X=0,得4=一？皿，”=二73~T，所以

伙+14攵]+1

y=4%+l

A（-禹,甯）

甌—昕

同理可得^春‘曰'1.所以罰=（一

'2%+1'%+1

從而可以求得S」1一上.冬一二.，1163（身）

2=因為，

24婷+14+&4+右做+12（4V+1）（4+V）

3

8俏+4)盧k+JkJ'(止-444-9婷+1

所以s=，不妨設人>°，/?)=

(%(4竊+1)(%+1)4

/'(4)=(),.?.-4ZJ-9K2+1=0,,所以當S最大時，k：=屈-9,此時兩直線MA,MB斜率的比

88

值j;=吐叵.

1

k28

點睛：該題考查的是有關橢圓與直線的綜合題，在解題的過程中，注意橢圓的對稱性，以及其特殊性，與y軸的交點

即為橢圓的上頂點，結合橢圓焦點所在軸，得到相應的參數的值，再者就是應用離心率的大小找參數之間的關系，在

研究直線與橢圓相交的問題時，首先設出直線的方程，與橢圓的方程聯立，求得結果，注意從函數的角度研究問題.

18.(1)極大值-2e-l,極小值-/;(2)詳見解析.

【解析】

首先確定函數的定義域和/'(X)；

(1)當a=—2e時，根據:(x)的正負可確定/(x)單調性，進而確定極值點，代人可求得極值；

2但一1]

(2)通過分析法可將問題轉化為證明ln%>—^~1,設，=三>1,令=-生二"，利用導數可證得

WJi毛㈠1

x2

A(/)>0,進而得到結論.

【詳解】

由題意得：/(X)定義域為(0,+8),=(1)([+“),

(1)當。=一勿時，:(x)=2(xT)(x-e),

X

.,.當xw(0,l)和(e,w)時，/,(x)>0；當xw(l,e)時，/,(x)<0,

.??/(X)在(0,1),(e,3)上單調遞增，在(l,e)上單調遞減，

九)極大值為/⑴=_2e+l_2=_2e_l,極小值為/(e)=_24eT)+/_〃=_e2.

(2)要證：/(%)一/'X</(七)一

即證：

/(X1)-/(X2)＜/T^^\XI-X2),

\J

/%、

即證：Q(X］—lnxj+x：—2%］一。(馬一InjcJ一尺+2x,v玉+.q+々一2------——(王一看)，

\X+%J

化簡可得：oln%＞網土3.

x2X+x2

???。＞0,.?.ln±〉2(：一七),即證：［n2＞X^_

*2X+Wx,A+i

X2

設/=土＞1,令/z(r)=lnf—及二11則介'(/)=與二＞0,

2%一1、

二〃⑺在(1,+8)上單調遞增，.?.〃(/)＞〃(1)=0,則由勾五〉-^_2,

wA+1

X2

從而有：/(%)—/‘(氣土)玉＜/(七)一/'(當上)..

【點睛】

本題考查導數在研究函數中的應用，涉及到函數極值的求解、利用導數證明不等式的問題；本題不等式證明的關鍵是

能夠將多個變量的問題轉化為一個變量的問題，通過構造函數的方式將問題轉化為函數最值的求解問題.

22

Xv|N耳|1

19.(1)一+之-=1(2)廿*為定值；.

43|“用2

【解析】

(1)根據題意，得出。力,c,從而得出橢圓C的標準方程.

(2)根據題意設直線方程/：y=，〃,因為直線與橢圓相切，這有一個交點，聯立直線與橢圓方程得

(4d+3)x2+8kmx+4(/n2-3)=0，則A=0,解得4k2+3-m2=0?

把x=T和x=_］代入y=Ax+〃?,得+和N(-l,-〃+〃?)，

Ill.\NF.\1

|N制,|M用的表達式，比即可得出謁=-為定值.

【詳解】

解：(1)依題意,2。=4=2,「.。=1,/7=5/§\

22

所以橢圓C的標準方程為上+二=1.

43

\NF.\1

(2)島為定值彳.

\MF]2

①因為直線/分別與直線X=T和直線K=-1相交，

所以，直線/一定存在斜率.

②設直線/：y=kx+m,

由'7⑵得9爐+3/+8叱+4(疝-3)=0,

由A=(8而7一4x(4/+3)x4(/n2-3)=0,

得45+3—W=().①

把x=T代入y=&+,”,得M(-4,-44+〃?)，

把x=-l代入y=kx+m*得N(-1,-攵+m)，

又因為6(—1,0),6(1,0)

所以加間=卜4+同，

\MF\=J(-4+l)2+(—4Z+m)2=j9+(-4k+/〃y，②

由①式，得3=>-4/，③

把③式代入②式，得|例用={4(k-m)2=2\-k+〃小

.MU"訓」MR|1

??同一赤詞一5抑麗為定值或

【點睛】

本題考查橢圓的定義、方程、和性質，主要考查橢圓方程的運用,考查橢圓的定值問題，考查計算能力和轉化思想，是中檔

題.

20.(1)點M的極坐標為