第八節直線與圓錐曲線的位置關系第九章內容索引0102強基礎增分策略增素能精準突破課標解讀衍生考點核心素養1.能夠根據不同的情境,建立平面直線和圓錐曲線的方程.2.能夠運用代數的方法研究直線和圓錐曲線之間的基本關系.3.能夠運用平面解析幾何的思想解決一些簡單的實際問題,進一步體會數形結合的思想.1.直線與圓錐曲線的位置關系2.相交弦的中點問題3.條件可轉化為坐標倍數的問題4.求由直線與圓錐曲線的交點表達的量1.直觀想象2.邏輯推理3.數學抽象4.數學運算5.數學建模強基礎增分策略1.直線與圓錐曲線的位置關系(1)從幾何角度看,可分為三類:無公共點,僅有一個公共點及有兩個相異的公共點.(2)從代數角度看,可通過將表示直線的方程代入二次曲線的方程消元后所得一元二次方程解的情況來判斷.設直線l的方程為Ax+By+C=0,圓錐曲線方程為f(x,y)=0.①若a=0,當圓錐曲線是雙曲線時,直線l與雙曲線的漸近線平行;當圓錐曲線是拋物線時,直線l與拋物線的對稱軸平行(或重合).②若a≠0,設Δ=b2-4ac.當Δ>0時,直線和圓錐曲線相交于不同兩點;當Δ=0時,直線和圓錐曲線相切于一點;當Δ<0時,直線和圓錐曲線沒有公共點.2.直線與圓錐曲線相交時的弦長問題(1)斜率為k(k≠0)的直線與圓錐曲線交于兩點P1(x1,y1),P2(x2,y2),則所得弦長(2)當斜率k不存在時,可求出交點坐標,直接計算(利用兩點間距離公式).3.圓錐曲線的中點弦問題4.求解圓錐曲線標準方程的方法是“先定型,后計算”(1)定型,就是指定類型,也就是確定圓錐曲線的焦點位置,從而設出標準方程.(2)計算,就是利用待定系數法求出方程中的a2,b2或p.另外,當焦點位置無法確定時,橢圓常設為mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),雙曲線常設為mx2-ny2=1(mn>0),拋物線常設為y2=2ax或x2=2ay(a≠0).(3)橢圓與雙曲線的方程形式上可統一為Ax2+By2=1,其中A,B是不相等的常數,當A>B>0時,表示焦點在y軸上的橢圓;當B>A>0時,表示焦點在x軸上的橢圓;當AB<0時,表示雙曲線.5.通徑:過橢圓、雙曲線、拋物線的焦點垂直于焦點所在坐標軸的弦稱為通徑,橢圓與雙曲線的通徑長為

,過橢圓焦點的弦中通徑最短;拋物線通徑長是2p,過拋物線焦點的弦中通徑最短.橢圓上點到焦點的最長距離為a+c,最短距離為a-c.6.定值、定點問題必然是在變化中所表現出來的不變的量,那么就可以用變化的量表示問題中的直線方程、數量積、比例關系等,這些直線方程、數量積、比例關系不受變化的量所影響的一個點,就是要求的定點.解決這類問題的關鍵就是引進參數表示直線方程、數量積、比例關系等,根據等式的恒成立、數式變換等尋找不受參數影響的量.7.點在圓錐曲線內部或外部的充要條件

增素能精準突破考點一直線與圓錐曲線的位置關系典例突破例1.(1)過雙曲線x2-

=1的右焦點作直線交雙曲線于A,B兩點,若|AB|=4,則這樣的直線有(

)A.1條

B.2條

C.3條

D.4條答案:(1)C

(2)C

∵點M(x0,y0)在圓x2+y2=5上,∴m2+(2m)2=5,∴m=±1.規律方法直線與圓錐曲線位置關系的解決方法:直線與圓錐曲線位置關系的問題有兩種類型,一是判斷位置關系,二是依據位置關系確定參數的范圍.這兩類問題在解決方法上是一致的,都是將直線與圓錐曲線方程聯立,利用判別式及根與系數的關系求解.此時注意觀察方程的二次項系數是否為0,若為0,則方程為一次方程;若不為0,則將方程解的個數轉化為判別式與0的大小關系求解.對點訓練1(1)過點(0,1)作直線,使它與拋物線y2=4x僅有一個公共點,這樣的直線有(

)A.1條

B.2條

C.3條

D.4條(2)若直線y=kx+1(k∈R)與雙曲線x2-y2=2有且僅有一個公共點,則k=

.解析:(1)當直線斜率不存在時,直線為y軸,顯然直線與拋物線只有一個交點.當直線斜率存在時,設直線方程為y=kx+1,與拋物線方程聯立得k2x2+(2k-4)x+1=0,當k=0時,y=1代入拋物線方程求得x=

,此時直線與拋物線有一個交點,當k≠0時,要使直線與拋物線只有一個交點,需Δ=(2k-4)2-4k2=0,求得k=1,綜合可知要使直線與拋物線僅有一個公共點,這樣的直線有3條.此時直線與雙曲線的漸近線平行,直線與雙曲線有且只有一個交點,滿足題意;②當1-k2≠0時,由直線與雙曲線有且只有一個公共點,考點二中點弦問題典例突破

突破方法處理中點弦問題常用的求解方法設出弦的兩端點坐標后,代入圓錐曲線方程,并將兩式相減,式中含有x1+x2,y1+y2,三個未知量,這樣就直接聯系了中點和直線的斜率,借用中點公式即可求得斜率.A.3x-2y-2=0 B.3x+2y-4=0C.3x+4y-5=0 D.3x-4y-1=0(2)(2021黑龍江哈九中三模)已知橢圓

,過點M(2,1)且被該點平分的弦所在的直線方程為

.

答案:(1)B

(2)9x+8y-26=0

考點三條件可轉化為坐標倍數的問題典例突破例3.(1)拋物線C:y2=4x的焦點為F,過點F的直線與拋物線C的兩個交點分別為A,B,且滿足

,E為AB的中點,則點E到拋物線準線的距離為(

)(2)直線l:y=k(x+1)(k>0)與拋物線C:y2=4x相交于A,B兩點,且A,B兩點在拋物線C準線上的射影分別是M,N,若|AM|=2|BN|,則k=

.

解析:(1)(方法1)設A(x1,y1),B(x2,y2),E(x0,y0),設過點F的直線方程為x=ty+1,t≠0,方法技巧1.此類問題的解法:條件可轉化為坐標倍數的問題的求解方法一般有兩種,一種是利用一元二次方程求根公式直接求根;另一種是利用韋達定理整體代換,即構造一個能用韋達定理的代數式.2.難點化解方法:在第(2)題中,解方程組

消去y,得k2x2+2(k2-2)x+k2=0,由|AM|=2|BN|,得x1+1=2(x2+1),沒法利用韋達定理消元,只能用求根公式求出x1,x2代入,從方程的結構看會有較大的運算量,而本例上述的解法就很好地避開了較大的運算量.答案:B

考點四求由直線與圓錐曲線的交點表達的量典例突破

(1)求橢圓的方程;(2)求△MAB的內心的橫坐標.將x1+x2=-2m,x1x2=2m2-4代入①,得k1+k2=0,所以直線MA,MB是關于直線x=2對稱的直線,即直線x=2為∠AMB的平分線,所以△MAB的內心的橫坐標為2.解題心得本例的