第八章二次型與二次曲面二次型討論的對象是多元二次齊次函數，這種函數在物理、統計、規劃、極值等問題中有廣泛的應用．例如在三維空間的幾何問題中，一般二次曲面在直角坐標系下表示為三元二次函數，通過對二次型的討論，可以研究二次曲面的分類.本章主要討論：1．

二次型的理論；2．

空間曲面與曲線；3.二次曲面的分類．

第八章二次型與二次曲面二次型討論的對象是多元二次18.1實二次型8.1.1二次型的定義及矩陣表示1．定義8.1個變量的二次齊次函數

稱為元二次型，簡稱二次型.當為實數時，稱為實二次型，為復數時為復二次型，本書只討論實二次型．8.1實二次型1．定義8.1個變量22．矩陣形式：

則二次型的矩陣形式為

為二次型的矩陣,為二次型的秩．

3．二次型對稱陣注：討論二次型問題，首要的問題是給定二次型能準確地寫出二次型的矩陣，反之，給定一個對稱陣，會寫出以它為矩陣的二次型.這里的關鍵概念是二次型的矩陣是一個對稱矩陣.2．矩陣形式：則二次型的矩陣形式為3．二次型3

例1設二次型試寫出二次型的矩陣.（為三元二次型）

解：將交叉項的系數即平均分配給及的二次型的系數矩陣為.例1設二次型4

例２將二次型寫成矩陣形式.

解：是一個四元二次型，先寫出二次型的矩陣

例２將二次型5

例３設，試寫出以為矩陣的二次型.

分析：是一個3階對稱陣，對應的三元二次型，把與合并后寫出二次型.

解：設

例３設68.1.2合同矩陣1．定義8.2（合同）二個階方陣和，可逆陣，使，則稱與合同（Congruent）記成.矩陣合同的定義與矩陣相似的定義很相似，也是階方陣之間的一種等價關系.即2．合同等價，合同等秩，反之都不成立．但不等秩，則一定不合同.3．合同關系具有以下性質：（1）自反性：.（2）對稱性：則.（3）傳遞性：，則.（4）與合同，則.可逆，.8.1.2合同矩陣3．合同關系具有以下性質：74．（二次型的變換）合同二次型設二次型，經可逆線性變換（可逆）

其中，即與合同，仍是對稱陣.所以經可逆線性變換后，二次型的對應矩陣是合同的.也可以說：合同的矩陣是同一二次型關于不同變量的矩陣[我們教材是將變量看成個基下的坐標，是一個基到另一個基的過渡矩陣，合同陣是不同基下的矩陣].5．實對稱陣（不但和對角陣相似，也與對角陣合同）.由于實對稱可正交相似對角化.所以存在正交陣，使所以實對稱陣都與對角陣合同.換句話說，就是任意實二次型都可通過一個適當的可逆線性變換化成只有平方項而沒有混合項.這就引出了二次型的標準形的概念.4．（二次型的變換）合同二次型5．實對稱陣8

例4.與矩陣既相似又合同的矩陣是（）

（A）.（B）.（C）.（D）.

分析：是實對稱矩陣，所以正交陣，使它和一個對角陣既相似又合同，對角陣的對角元恰是的特征值.例4.與矩陣9

解：的特征值是，與既相似又合同的矩陣是，所以應選（D）.解：108.2化實二次型為標準1．標準二次型：只含有平方項的二次型稱為元二次型的一個標準型.不惟一.線性變換為

設（1）

令（1）可變為.但不惟一.（2）當是可逆陣時.（1）式是可逆線性變換.

8.2化實二次型為標準11注1o的秩的標準形中系數不為0的平方項的個數.2o任一個實二次型都可通過可逆線性變換化為標準形.元二次型的標準形不惟一，有三種方法化標準形.8.2.1用正交變換化實二次型為標準形對于實二次型，最實用的方法是正交變換法，即所作的可逆線性變換中可逆矩陣不只是可逆，還是正交矩陣.這個正交陣的存在是由實對稱矩陣的性質決定的，值得注意的是這種方法僅限于實二次型.

定理8.1對元實二次型，正交線性變換：（不惟一），使二次型化為標準形.是的個特征值.注1o12

例5

用正交線性變換化實二次型為標準形.化成標準形.

解：（1）二次型的矩陣為（2）由，得的特征值為.（3）對時，解.即例5用正交線性變換化實二次型為標準形.（2）由13所以得同解方程組為

得基礎解系為.正交化：

∥所以得同解方程組為∥14單位化：

當時，由方程組單位化：當時，由方程組15即

得基礎解系為，單位化為.即16得正交陣.則

注：正交變換不惟一，但正交變換得到的標準形是惟一的.（不考慮對角元的次序時）得正交陣178.2.2用配方法化二次型為標準形如果不考慮正交變換，可以用可逆線性變換把二次型化為標準形，得到標準形不是惟一的.

例6

用配方法將二次型化為標準形

分析：這是只有交叉項沒有平方項的二次型，先對用平方差公式.

解：令（1）則

8.2.2用配方法化二次型為標準形例6用配方法18

再令（2）

則

所作可逆線性變換為（2）代入（1）得再令19

可逆.為可逆線性變換.8.2.3用初等變換法化二次型為標準形矩陣的初等變換法是對二次型矩陣，構造一個的矩陣，對交替作初等行變換和相應的初等列變換，對作列變換時，同時對作相同的列變換，當化作標準形時，就化作了.這就是作可逆線性變換那個可逆矩陣.

對角陣.

20

例7用初等變換法將下列二次型化為標準形，并求可逆線性變換

分析：由于左上角的元素為0，而主對角線上第二個元素不為0，將第一列和第二列變換，同時將第一行和第二行交換，使得左上角元素不為0.解：例7用初等變換法將下列二次型化為標準形，并求可逆21由此得標準形所用的可逆線性變換為所以8.3正定實二次型8.3.1實二次型的慣性定律我們知道元二次型都可以通過一個可逆線性變換化為標準形，標準形不唯一，因為用不同的可逆線性變換把同一個實二次型化為標準形時，這些標準形中的系數一般說是不同的.但在實可逆線性變換下，同一個實二次型的標準形中的正系數、負系數及零系數的個數是不變的，（實可逆線性變換可以不同），這就是實二次型的慣性定律.由此得標準形8.3正定實二次型22

定理8.2設元實二次型經實可逆線性變換分別化成標準形

及則中正數的個數，負數的個數及0的個數都與中正數的個數，負數的個數及0的個數相同，正數的個數稱為的正慣性指數，記為負數的個數稱為的負慣性指數，記為.8.3.2正定二次型對于實二次型有一個特別重要的性質——正定性.1．定義8.3設有元實二次型，如果對且，都有，則稱為正定（負定、半正定、半負定）二次型.的矩陣稱為正定（負定、半正定、半負定）矩陣.定理8.2設元實二次型232．正定陣實對稱陣，但反之不一定.3．二次型正定的充要條件：

定理8.3實二次型正定正慣性指數（標準形中個系數全為正）.

證：設，經實可逆性變換化為.反證：若某個取，而而2．正定陣實對稱陣，但反之不一定.定理824與正定矛盾，正慣性指數.維實向量，由可逆知

故為正定二次型.與正定矛盾，正慣性指數.25

推論8.1實二次型正定的矩陣的特征值全大于.

證

是實二次型，由定理8.1知正交變換，使

由定理8.3知，正定

其中.

推論8.2實二次型正定實可逆陣使，.

證維實向量可逆，.

所以是正定二次型.

已知是正定二次型，由推論8.1知，正交陣，使

，

推論8.1實二次型正定的矩陣26

令，則所以由可逆及可逆，知可逆.令27定理8.4實對稱陣為正定的的各階順序主子式都大于零.即總結：二次型正定的充要條件實二次型正定的正慣性指數.的特征值全大于實可逆陣，使.的各階順序主子式全

與合同

注：當正定時，可證，正定.負定正定.的奇數階主子式，偶數階主子式.定理8.4實對稱陣為正定的的各階順序28重點與難點：在實二次型（或實對稱陣）中，合同是一種分類的辦法，正定性是另一種分類的方法，重點是正定二次型（或正定矩陣）.注：說或是正定的，已經包涵了實對稱，，可逆，及.利用的正定性，來證明其他的問題，則是一個難點，要具體問題具體分析.1．正定陣（正定二次型的判斷）

例8判別二次型的正定性.

解

二次型的對應矩陣為重點與難點：在實二次型（或實對稱陣）中，合同是一種分29，和具有相同的正定性，故判定的正定性即可（將分數運算化成參數運算）

30

的全部順序主子式都大于0.正定，正定.的全部順序主子式都大于31

例9判斷階矩陣是否正定陣..

解法1

順序主子式：，

正定.例9判斷階矩陣32

解法2

求的特征值.

得的特征值為全.故正定.2．矩陣（二次型）正定性的證明解法2求的特征值.33例10

設是階正定陣，證明也正定.證因為正定,所以是實對稱，即，可逆，也是實對稱.證1用正定陣全部特征值.已知正定，的個特征值都.又的特征值為都,正定.

證2

正定實可逆陣使.求逆令為實可逆陣，所以正定.例10設是階正定陣，證明也正定.證34

例11設是階實對稱陣，其中正定,試證當實數充分大時，也正定.

證由正定，可逆陣，使，即，令.

仍是對稱陣，故正交陣，

使，其中是的特征值.例11設是階實對稱陣，其中35

正定（由Th8.3）.當時，全，.由Th8.3知正定，從而正定，（實對稱顯然）.正定（由Th8.3）.36

例12設為實，證明是正定的.證是實對稱陣.若正定，則.又.設，則齊次方程組只有0解.對，有，設.

由二次型定義知，正定.

例12設為實，證明378.4空間中的曲面與曲線

在3.3節已熟悉了平面和空間的直線與三元一次方程之間的關系，現在在前兩節研究二次型的基礎上，本節重點又從代數轉向幾何，主要是討論二次曲面.與平面、直線一樣，曲面和曲線也可以看成是滿足某種條件的點的集合.在坐標系下，這個條件表現為方程.8.4空間中的曲面與曲線38在空間直角坐標系下，若曲面和三元方程有下述關系：曲面上的任一點的坐標都滿足方程；坐標滿足方程的點都在曲面上，則稱方程為曲面的方程，也稱為方程的圖形.下面對幾何特征很明顯的幾種常見的曲面和曲線建立它們的方程.在空間直角坐標系下，若曲面和三元方程有下述關系：39已知球心在點，半徑為，求該球面的方程.

在球面上，有，

該球面方程為（*）

如果球心在坐標原點，球面方程為將（*）展開，得

這個方程的特點是：（1）是三元二次方程（2）二次項的系數相同（3）沒有交叉項.8.4.1球面已知球心在點，半徑為，40滿足這三個條件的方程一般說來圖形也是球面,可將其配方為

時，表示球心在,半徑為的球面；

時，球面收縮為一點（點球面）；

時，無圖形（虛球面）．例1.配方得表示球心為的球面.滿足這三個條件的方程一般說來圖形也是球面,可將其配方為

41平行于定直線并沿定曲線移動的直線形成的軌跡叫做柱面，定曲線叫做柱面的準線，動直線叫做柱面的母線.設柱面的母線軸，準線是平面上的曲線，則此柱面方程為.一般地，含有兩個變量的方程在平面上表示一條曲線，在空間里表示一個柱面,母線平行于不出現的那個變量對應的坐標軸，同理表示母線平行于軸的柱面，表示母線平行于軸的柱面.8.4.2柱面平行于定直線并沿定曲線移動的直線42

例2表示母線平行于軸的雙曲柱面.

例3表示母線平行軸的平面.平面曲線繞平面一直線旋轉一周，所成的曲面叫做旋轉曲面.曲線稱為母線，稱為旋轉軸.設在面上，給定曲線：將其繞軸旋轉一周，求此旋轉曲面方程.8.4.3旋轉曲面

例2表示母線平行于軸的43設為曲面上任一點，位于曲線上點的轉動軌道（圓周）上，顯然，且.

又由到軸的距離相等，有

，

所以旋轉曲面方程為.

同理曲線繞軸轉一周得旋轉曲面方程為：總之，在坐標面上的曲線繞其上一個軸轉動得到的旋轉曲面方程可以這樣寫處：將曲線方程中與轉軸相同的變量不動，而把另一個變量換為它自己的平方與方程未出現的變量的平方和的平方根即可.設為曲面上任一點，位于曲線44例4直線繞軸轉動得到的曲面為

即，或.

圖稱為圓錐面，其半頂角的正為.例5橢圓繞軸旋轉得到旋轉橢球面：例4直線繞軸轉動得到45例6雙曲線繞軸旋轉得旋轉單葉雙曲面例7拋物線繞軸旋轉得旋轉拋物面

一般地說：在一個方程中，若有兩個變量以平方和的形式出現，它就是旋轉曲面的方程.例6雙曲線繞軸旋轉得46一、空間曲線的一般方程

空間曲線可以看作兩曲面，的交線

稱為空間曲線的一般方程.

注：由于過曲線的曲面有無窮多，所以的方程不唯一.例如，以原點為球心，1為半徑的球面與面的交線，是平面上的以原點為圓心的單位圓，其方程為

8.5空間曲線及其方程一、空間曲線的一般方程

空間曲線可以看作兩曲面47例8方程組表示怎樣的曲線.

解為平行于軸的圓柱面,為平行于軸的平面，方程組表示平面與圓柱面的交線.例9方程組表示怎樣的曲線.

解第一個方程表示以原點為球心，a為半徑的球的上半球面.第二個方程表示準線為的面上的圓且母線平行于軸的圓柱面.方程組為上半球面與圓柱面的交線.也稱為維維亞尼曲線.例8方程組表示怎樣的曲線.48例10曲面與坐標面的交線是什么？

解

①與面的交線：即曲線是

橢圓；

②與面的交線：是雙曲線；

③與面的交線：是雙曲線.例10曲面49二、空間曲線的參數方程與平面曲線一樣，空間曲線也可由參數方程表示，上的動點為參數的函數，給定得上的一點隨的變動便得到的全部點.

即為曲線的參數方程.二、空間曲線的參數方程與平面曲線一樣，空間曲線50例11在圓柱面上有一動點以角速度右旋繞軸轉動同時又以勻速沿母線上升，求點的運動軌跡方程.

解取時間t為參數，當時，點位于處，經過時間，動點由運動到，在面上的投影為.

角速度是，則參數方程變為

螺旋線在實踐中常用到，例平頭螺釘的緣曲線就是螺旋線，螺旋線上升的高度與速度成正比，當轉過一周時，上升的高度在工程技術上稱為螺距.例11在圓柱面上有一動點51三、空間曲線在坐標面上的投影以空間曲線為準線，作母線平行于軸（或軸、或軸）的柱面，這個柱面與坐標面（或、）的交線稱為曲線在坐標面（或、）上的投影（曲線）.三、空間曲線在坐標面上的投影以空間曲線52求空間曲線的投影是很重要的，若已知曲線的方程為

從這個方程組中，消去所得到的方程，就是以為準線，母線平行于軸的柱面方程，故在面上的投影為

同樣從的方程中消去或，可得到在和面上的投影.求空間曲線的投影是很重要的，若已知曲線53例12已知兩球面的方程為①和

②求它們的交線在面上的投影方程

解先求母線平行軸過曲線的柱面方程，從①②中消去，①-②化簡得再以代入①或②得柱面方程為

兩球面交線在面上的投影是例12已知兩球面的方程為548.6二次曲面在第五節我們講了空間曲面的概念，建立了球面方程和各種柱面方程等.這節我們要專門討論二次曲面，在平面幾何中我們研究了二次曲線、圓、橢圓、拋物線、雙曲線等，在空間解析幾何中我們將三元二次方程所表示的曲面稱為二次曲面，平面稱為一次曲面.8.4節講過球面、圓柱面、拋物面和雙曲面，這些都是二次曲面在那節里我們只是粗略地描繪它們的圖形.平面解析幾何中有時用描點法研究它的圖形，對于三元方程所表示的曲面的形狀，顯然難以用描點法得到，這節我們用截痕法來研究常用的二次曲面，即用坐標和平行于坐標面的平面與曲面相截，考察其交線（即截痕的形狀，然后加以綜合，從而了解曲面的全貌）.8.6二次曲面在第五節我們講了空間曲面的概念，建55一、橢球面

由方程（1）

所確定的曲面叫做橢球面,稱為橢球面的半軸，由（1）知

，

即

橢球面（1）完全包含在以原點為中心的長方體內.

為了知道這一曲面的形狀，我們先求出它與三個坐標面的交線

一、橢球面

由方程56這些交線都是橢圓，再看這曲面與平行于面的平面的交線

這是平面內的橢圓，它的兩個半軸分別為,當由小變大時，橢圓的截面由大到小，最后縮成一點，且這一系列橢圓的中心都在軸上，同樣用平行于面和平行于面的平面截橢球面，分別可得類似的結論.根據這些截痕，就可以知道橢球面的形狀.特殊地：當時，方程（1）變為球面，當時，（1）變為，是由