第第頁2022-2023學年天津市東麗區九年級（上）期末數學試卷(含解析）2022-2023學年天津市東麗區九年級（上）期末數學試卷

一、選擇題（本大題共12小題，共36.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.如圖圖形中既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是()

A.B.C.D.

2.下列方程是一元二次方程的是()

A.B.

C.D.

3.將拋物線向左平移個單位，所得拋物線的解析式是()

A.B.C.D.

4.下列事件是隨機事件的是()

A.標準大氣壓下，通常加熱到，水會沸騰

B.明天太陽從東方升起

C.隨意翻到一本書的某頁，這頁的頁碼是偶數

D.從裝有黑球、白球的袋里摸出綠球

5.若的半徑為，點到圓心的距離為，那么點與的位置關系是()

A.點在圓外B.點在圓上C.點在圓內D.不能確定

6.如圖，交于點，切于點，點在上，若，則為()

A.

B.

C.

D.

7.如圖，在中，，，，將繞點順時針旋轉得到，連接，則的長為()

A.

B.

C.

D.

8.二次函數的圖象與軸有兩個交點，若其中一個交點的坐標為，則另一個交點坐標為()

A.B.C.D.

9.從一副撲克牌中隨機抽取一張是的概率是()

A.B.C.D.

10.正方形邊長為，則其外接圓半徑為()

A.B.C.D.

11.用一條長為的繩子圍成一個矩形，下列圍成的圖形面積一定不可能的是()

A.B.C.D.

12.二次函數的圖象與軸交于，，其中，下列三個結論：；；正確的個數是()

A.B.C.D.

二、填空題（本大題共6小題，共18.0分）

13.一元二次方程的兩根之和為______．

14.擲一個骰子，觀察向上一面的點數，則點數大于且小于的概率為______．

15.點與點關于原點對稱，則的值為______．

16.如圖，的半徑為，，，在上，若，則的長為______．

17.如圖，在中，，，，以點為圓心，長為半徑畫弧，交于點，則圖中陰影部分的面積為______．

18.當，函數的最小值為，則的值為______．

三、解答題（本大題共7小題，共66.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

19.本小題分

計算：

；

；

20.本小題分

一個不透明的口袋中有四張完全相同的卡片，把它們分別標上數字，，，，隨機抽取張卡片，然后放回，再隨機抽取一張卡片．

用畫樹狀圖或列表的方法表示出可能出現的所有結果；

求兩次抽出數字之積為偶數的概率．

21.本小題分

如圖，已知三個頂點的坐標分別為，，．

線段的長為______；

畫出繞點順時針旋轉的圖形，并寫出、、的坐標；

直接寫出點繞點順時針旋轉所走過的路徑長為______．

22.本小題分

如圖，在中，弦，且于，連接，，若，求的半徑．

23.本小題分

運動員將一個小球沿與地面成角的方向擊出時，小球的飛行路線將是一條拋物線，如果不考慮空氣阻力，小球的飛行高度單位：與飛行時間單位：之間滿足二次函數關系，與的幾組對應值如下表所示：

單位：

單位：

求與之間的函數表達式不要求寫出的取值范圍；

小球從飛出到落地要用多長時間？

24.本小題分

特殊情景：如圖，在四邊形中，，以點為頂點作一個角，角的兩邊分別交，于點，，且，連接，若，探究：線段，，之間的數量關系，并說明理由．

類比猜想：類比特殊情景，在上述條件下，把“”改成一般情況“，”如圖，小明猜想：線段，，之間的數量關系是否仍然成立？若成立，請你寫出結論；若不成立，請寫出理由．

解決問題：如圖，在中，，，點，均在邊上，且，若，

計算的長度．

25.本小題分

如圖，已知拋物線經過，兩點，與軸的另一個交點為．

求拋物線的解析式；

若直線經過，兩點，則______；______；

在拋物線對稱軸上找一點，使得的值最小，直接寫出點的坐標；

設點為軸上的一個動點，是否存在使為等腰三角形的點，若存在，直接寫出點的坐標；若不存在，說明理由．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：、既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形，符合題意；

B、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意；

C、是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，不符合題意；

D、是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，不符合題意；

故選：．

根據軸對稱圖形和中心對稱圖形的概念對各選項分析判斷即可得解．

此題考查了軸對稱圖形和中心對稱圖形，掌握軸對稱圖形和中心對稱圖形的概念是解題關鍵．

2.【答案】

【解析】解：分母含未知數，不是一元二次方程，故本選項不符合題意；

B.含個未知數，不是一元二次方程，故本選項不符合題意；

C.是一元二次方程，故本選項符合題意；

D.含個未知數，不是一元二次方程，故本選項不符合題意．

故選：．

根據一元二次方程的定義，逐項判斷即可求解．

本題主要考查了一元二次方程的定義，熟練掌握含有一個未知數，且未知數的最高次數為的整式方程是一元二次方程是解題的關鍵．

3.【答案】

【解析】解：將拋物線向左平移個單位，得；

故所得拋物線的解析式為．

故選：．

按照“左加右減”的規律即可求得．

考查了拋物線的平移以及拋物線解析式的變化規律：左加右減，上加下減．

4.【答案】

【解析】解：標準大氣壓下，通常加熱到，水會沸騰，是必然事件，故A錯誤；

B.明天太陽從東方升起，是必然事件，故B錯誤；

C.隨意翻到一本書的某頁，這頁的頁碼是偶數，是隨機事件，故C正確；

D.從裝有黑球、白球的袋里摸出綠球，是不可能事件，故D錯誤；

故選：．

根據必然事件、不可能事件、隨機事件的概念可區別各類事件．

本題考查了隨機事件，解決本題需要正確理解必然事件、不可能事件、隨機事件的概念，必然事件指在一定條件下一定發生的事件；不可能事件是指在一定條件下，一定不發生的事件；不確定事件即隨機事件是指在一定條件下，可能發生也可能不發生的事件．

5.【答案】

【解析】

【分析】

此題主要考查了對點與圓的位置關系的判斷．關鍵要記住若半徑為，點到圓心的距離為，則有：當時，點在圓外；當時，點在圓上，當時，點在圓內．

【解答】

解：的半徑為，點到圓心的距離為，

，

點與的位置關系是：點在圓內，

故選：．

6.【答案】

【解析】解：，

，

切于點，

，

，

故選：．

先由圓周角定理得到，由切線的性質得到，即可利用三角形內角和定理求出的度數．

本題主要考查了切線的性質，圓周角定理，三角形內角和定理，利用圓周角定理求出是解題的關鍵．

7.【答案】

【解析】解：，，，

在中，，

由旋轉的性質得，，

在中，．

故選：．

在中，由勾股定理解得的長，再根據旋轉的性質得到，，，在中再利用勾股定理解得的長即可．

本題考查旋轉變換、勾股定理等知識，是重要考點，掌握相關知識是解題關鍵．

8.【答案】

【解析】解：由二次函數得到對稱軸是直線，則拋物線與軸的兩個交點坐標關于直線對稱，

其中一個交點的坐標為，

另一個交點的坐標為，

故選：．

根據二次函數解析式求得對稱軸是直線，由拋物線的對稱性得到答案．

本題考查了拋物線與軸交點的知識，解答本題的關鍵是求出拋物線圖象的對稱軸．

9.【答案】

【解析】解：從一副撲克牌中隨機抽取一張是的概率是．

故選：．

直接根據概率公式計算，即可求解．

本題考查了概率公式：熟練掌握隨機事件的概率事件可能出現的結果數除以所有可能出現的結果數；必然事件；不可能事件是解題的關鍵．

10.【答案】

【解析】解：作于，連接，則，．

在中，．

故選：．

作于，連接，在中，根據垂徑定理和勾股定理即可求解．

此題主要考查了正多邊形和圓，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造直角三角形解決問題．

11.【答案】

【解析】解：設圍成面積為，矩形形的長為，則寬為，

依題意得，

整理得，

由于此方程有解，則，

解得，

的值不可能為，

故選：．

設圍成面積為，矩形形的長為，則寬為，然后根據矩形的面積公式表示出，此時可以將方程看成是一個關于的一元二次方程，根據方程的根的判別式即可得到的取值范圍，即可得解．

本題考查矩形的相關知識以及一元二次方程的應用，解題關鍵根據一元二次方程根的判別式得解．

12.【答案】

【解析】解：已知，

圖象與軸交于，，其中，

拋物線對稱軸在軸的右側，

，

拋物線與軸的交點在軸上方，

，

，所以正確；

圖象與軸交于兩點，，其中，

，

，

當時，，

當時，，

，

，

，故錯誤；

，

，

，

即，

，

，，

，

，

即，所以正確．

綜上，正確的是，共個，

故選：．

根據拋物線的開口方向、對稱軸的位置、與軸的交點可依次確定、、的符號，進而可判斷；根據對稱軸的位置可得、的關系，再根據當時，，把得出的、的關系式代入整理即可判斷；易判斷，展開整理再結合即可判斷．

本題考查了二次函數的圖象與系數關系，熟練掌握二次函數圖象的性質是解題的關鍵．

13.【答案】

【解析】解：由根與系數的關系得：一元二次方程的兩根之和為，

故答案為：．

根據根與系數的關系求解即可．

本題考查了根與系數的關系：若一元二次方程、、為常數，的兩根為，，則，．

14.【答案】

【解析】解：擲一個骰子，共有種等可能的結果，點數大于且小于的有種情況，

點數大于且小于的概率為：．

故答案為：．

由擲一個骰子，共有種等可能的結果，點數大于且小于的有種情況，直接利用概率公式求解即可求得答案．

此題考查了概率公式的應用．注意概率所求情況數與總情況數之比．

15.【答案】

【解析】解：點與點關于原點對稱，

，，

，

故答案為：．

根據關于原點對稱點的點橫坐標和縱坐標都互為相反數，求出和的值，即可求解．

本題主要考查了關于原點對稱的點的坐標特征，解題的關鍵是掌握關于原點對稱點的點橫坐標和縱坐標都互為相反數．

16.【答案】

【解析】解：連結、，如圖：

，

，

為等腰直角三角形，

的半徑是，即，

．

故答案為：．

連結、，根據圓周角定理求出的度數，然后利用勾股定理進行求解即可．

本題考查了圓周角定理，勾股定理，熟練掌握相關內容是解題的關鍵．

17.【答案】

【解析】解：如圖，過點作于點，

．

．

先求出三角形的高，再用三角形面積減去扇形面積即可求出陰影部分面積．

本題考查三角形面積公式和扇形面積公式，細心觀察，發現陰影部分面積是三角形面積與扇形面積的差是解題的關鍵．

18.【答案】或

【解析】解：在上，當時，有，

解得：，．

當時，函數有最小值，

結合函數圖象可知，或，

或，

利用二次函數圖象上點的坐標特征找出當時的值，結合當時函數有最小值，即可得出關于的一元一次方程，解之即可得出結論．

本題考查了二次函數圖象上點的坐標特征以及二次函數的最值，利用二次函數圖象上點的坐標特征找出當時的值是解題的關鍵．

19.【答案】解：移項，得：，

兩邊同時加上，得：，

配方，得：，

兩邊開方，得：，

移項，得：，

，

分解因式得：，

可得或，

解得：．

【解析】方程利用配方法求出解即可；

方程利用因式分解法求出解即可．

此題考查了解一元二次方程因式分解法，配方法，熟練掌握各種解法是解本題的關鍵．

20.【答案】解：列表如下：

解：所有可能的情況有種，

其中兩次抽出的數字之積為偶數的結果有種記為事件．

．

【解析】根據題意列表即可；

根據所有可能的情況有種，其中兩次抽出的數字之積為偶數的結果有種，可得兩次抽出數字之積為偶數的概率．

此題考查了列表法和概率計算公式，讀懂題意列舉出所有可能情況是解題關鍵．

21.【答案】

【解析】解：，，

，

故答案為：；

如圖所示，即為所求；

、、；

由題意得，點繞點順時針旋轉所走過的路徑長為．

故答案為：．

利用勾股定理求解即可；

根據旋轉的性質作圖即可，由圖可得答案；

點所走的路徑長即為的長，利用弧長公式求解即可．

本題主要考查了勾股定理，求弧長，坐標與圖形變化旋轉，靈活運用所學知識是解題的關鍵．

22.【答案】證明：連接，，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

又，，

．

【解析】連接，，由弦，可得，繼而可得，然后由圓周角定理，證得，由，可求得，繼而可得是直角三角形，則可求得，最后由勾股定理可解決問題．

本題考查了圓周角定理、弧與弦的關系、等腰直角三角形的判定和性質，解決本題的關鍵是正確的作出輔助線和運用數形結合思想．

23.【答案】解：設與之間的函數表達式為

根據題意把，，代入得：，

解得，

與之間的函數表達式為

當時，，解得，，

小球從飛出到落地需要．

【解析】用待定系數法求解函數表達式即可；

求出當時的值即可．

本題主要考查了二次函數的實際應用，解題的關鍵是熟練掌握用待定系數法求解函數表達式的方法和步驟．

24.【答案】解：，理由如下：

如圖，將繞點順時針旋轉，得到，

四邊形中，，，，

，，

，即點，，共線．

由旋轉可得，，．

，

，

，

在和中，

≌，

．

又，

；

成立．；

證明：設，則，

如圖，將繞點順時針旋轉得到，

，，，．