江西省鷹潭市中國數學奧林匹克協作體學校高三數學文下學期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.某年級有1000名學生，隨機編號為0001，0002，…，1000，現用系統抽樣方法，從中抽出200人，若0122號被抽到了，則下列編號也被抽到的是（）A．0116 B．0927 C．0834 D．0726參考答案：B【考點】B4：系統抽樣方法．【分析】根據系統抽樣的定義求出樣本間隔即可．【解答】解：樣本間隔為1000÷200=5，因為122÷5=24余2，故抽取的余數應該是2的號碼，116÷5=23余1，927÷5=185余2，834÷5=166余4，726÷5=145余1，故選：B．2.下列各組函數中，表示同一函數的是

（）A.

B．

C.

D.

參考答案：B3.已知偶函數y=f（x）對于任意的滿足f'（x）cosx+f（x）sinx＞0（其中f'（x）是函數f（x）的導函數），則下列不等式中成立的是（）A． B． C． D．參考答案：D【考點】函數的單調性與導數的關系．【分析】設g（x）=，則可判斷g（x）在[0，）上單調遞增，利用g（x）的單調性，結合f（x）的奇偶性即可判斷．【解答】解：設g（x）=，則g′（x）=＞0，∵對于任意的滿足f'（x）cosx+f（x）sinx＞0，∴g（x）在[0，）上是增函數，∴g（0）＜g（）＜g（）＜g（），即f（0）＜＜＜，∴f（）＞f（），f（0）＜f（），f（）＜f（），又f（x）是偶函數，∴f（﹣）＞f（），f（﹣）＞f（﹣），f（0）＜f（﹣），故選D．4.“”是“恒成立”的（

）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件參考答案：A5.已知函數對定義域內的任意都有，且當時，其導函數滿足，若，則有

參考答案：C6.已知f(x)在R上是奇函數，f(x＋4)＝f(x)，當x∈(0，2)時，f(x)＝2x2，則f(7)＝(

)．A．－2

B．2

C．－98D．98參考答案：A7.集合，，則下列關系中，正確的是(

)A．

；B.；C.；D.參考答案：D8.已知集合,則集合M與集合N的（）A． B．N C．NM D．參考答案：C略9.已知，則二項式的展開式中的系數為（

）A．80

B．-10

C．10

D．-80參考答案：10.“”是“”的(A)充分但不必要條件

(B)

必要但不充分條件

(C)充分且必要條件

(D)既不充分也不必要條件參考答案：C當時，。若因為同號，所以若，則，所以是成立的充要條件，選C.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若復數是純虛數，則實數a的值為．參考答案：1【考點】復數代數形式的乘除運算．【分析】利用兩個復數代數形式的乘除法法則求得z的值，再根據它是純虛數，求得實數a的值．【解答】解：∵復數==為純虛數，故有a﹣1=0，且a+1≠0，解得a=1，故答案為：1．【點評】本題主要考查復數的基本概念，兩個復數代數形式的乘除法，虛數單位i的冪運算性質，屬于基礎題．12.設函數f(x)＝x5－5x4＋10x3－10x2＋5x－1，則f(x)的反函數f－1(x)＝___________參考答案：答案:

13.若圓與圓外切,則的最大值為________參考答案：14.設全集設數列的各項均為正數，前項和為，對于任意的，成等差數列，設數列的前項和為，且，若對任意的實數（是自然對數的底）和任意正整數，總有．則的最小值為

.參考答案：2.根據題意，對于任意，總有成等差數列，則對于n∈N*，總有………………①；所以（n≥2）……②1

--②得；因為均為正數，所以（n≥2），所以數列是公差為1的等差數列，又n=1時，，解得，所以。對任意的實數，有0＜lnx＜1，對于任意正整數n，總有，所以又對任意的實數（是自然對數的底）和任意正整數，總有，所以的最小值為2.15.若函數f（x）=xln（x+）為偶函數，則a=．參考答案：1考點： 函數奇偶性的性質．專題： 函數的性質及應用．分析： 由題意可得，f（﹣x）=f（x），代入根據對數的運算性質即可求解．解答： 解：∵f（x）=xln（x+）為偶函數，∴f（﹣x）=f（x），∴（﹣x）ln（﹣x+）=xln（x+），∴﹣ln（﹣x+）=ln（x+），∴ln（﹣x+）+ln（x+）=0，∴ln（+x）（﹣x）=0，∴lna=0，∴a=1．故答案為：1．點評： 本題主要考查了偶函數的定義及對數的運算性質的簡單應用，屬于基礎試題．16.在ABC中，若，，，則

．參考答案：17.命題“?x0∈R，asinx0+cosx0≥2”為假命題，則實數a的取值范圍是

．參考答案：（﹣，）【考點】特稱命題．【分析】原命題為假命題，則原命題的否定為真命題，命題否定為：?x0∈R，asinx0+cosx0＜2；求出原命題否定的a取值范圍即可．【解答】解：原命題“?x0∈R，asinx0+cosx0≥2”為假命題，則原命題的否定為真命題，命題否定為：?x0∈R，asinx0+cosx0＜2；asinx0+cosx0=sin（x0+θ）＜2；則：＜2?﹣＜a＜；也即：原命題否定為真命題時，a∈（﹣，）；故原命題為假時，a的取值范圍為∈（﹣，）．故答案為：（﹣，）．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(本小題滿分12分)設函數在點A（1，f(1)）處的切線平行于x軸.(Ⅰ)當時，討論函數的單調性；(Ⅱ)證明：當a=-3時，對任意，都有.參考答案：解：(Ⅰ)，，∴，∴

……1分.

(1)當時，，的遞增區間為，遞減區間為；

………2分(2)當時，=0的兩個根為x1=1和x2=，若，則，由得或,由得；∴的遞增區間為和，遞減區間為.

…4分若，則，由得,由得或，∴的遞增區間為，遞減區間為和.

……6分

(Ⅱ)當時，由(Ⅰ)知，函數在為減函數，∴，，，∴對任意，，即．

……………12分略19.本小題滿分7分）選修4-2：矩陣與變換在平面直角坐標系中，已知點，，。設為非零實數，矩陣=,=，點，，在矩陣對應的變換下得到的點分別為、、，的面積是的面積的倍，求的值。參考答案：由于

又由，得點，，在矩陣對應的變換下得到的點分別為、、，計算得的面積是，的面積是，的面積是的面積的倍，則由題設知：。所以的值為或。

………7分20.如圖，在梯形ABCD中，，四邊形ACFE為矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，.（1）求證：BC⊥平面ACFE；（2）點M在線段EF上運動，設平面MAB與平面FCB所成二面角為，試求的取值范圍.參考答案：(1)詳見解析；(2).【分析】(1)由題意結合勾股定理和余弦定理可證得BC⊥AC，結合面面垂直的性質定理可得BC⊥平面ACFE.(2)以CA,CB,CF所在的直線為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標系,由題意可得平面MAB的一個法向量n1=(1,,-λ)，平面FCB的一個法向量n2=(1,0,0)，則cosθ=，結合三角函數的性質可得cosθ∈[,].【詳解】(1)在梯形ABCD中,∵AB∥CD,AD=DC=CB=1,∠ABC=60°,∴AB=2,∴AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos60°=3,∴AB2=AC2+BC2,∴BC⊥AC.又平面ACFE⊥平面ABCD,平面ACFE∩平面ABCD=AC,BC?平面ABCD,∴BC⊥平面ACFE.(2)由(1)知,可分別以CA,CB,CF所在的直線為x軸,y軸,z軸建立如圖所示的空間直角坐標系,令FM=λ(0≤λ≤),則C(0,0,0),A(,0,0),B(0,1,0),M(λ,0,1),∴=(-,1,0),=(λ,-1,1).設n1=(x,y,z)為平面MAB的法向量,由,得,取x=1,則n1=(1,,-λ)為平面MAB的一個法向量,易知n2=(1,0,0)是平面FCB的一個法向量,∴cosθ=

.∵0≤λ≤∴當λ=0時,cosθ有最小值,當λ=時,cosθ有最大值,∴cosθ∈[,].【點睛】本題主要考查面面垂直的性質定理及其應用，空間直角坐標系的應用等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.21.如圖所示，菱形ABEF⊥直角梯形ABCD，∠BAD=∠CDA=90°，∠ABE=60°，AB=2AD=2CD=2，H是EF的中點（1）求證：平面AHC⊥平面BCE；（2）求此幾何體的體積．參考答案：【考點】平面與平面垂直的判定；棱柱、棱錐、棱臺的體積．【分析】（1）推導出AH⊥EF，從而AH⊥AB，再推導出AH⊥BC，AC⊥BC，由此能證明BC⊥平面AHC，從而平面AHC⊥平面BCE．（2）過點C作CG⊥AB，則CG⊥AH，由此幾何體的體積V=VC﹣AHC+VF﹣AHC+VC﹣ABEH，能求出結果．【解答】證明：（1）在菱形ABEF中，∵∠ABE=60°，∴△AEF是正三角形，又∵H是EF的中點，∴AH⊥EF，又EF∥AB，∴AH⊥AB，∵菱形ABEF⊥直角梯形ABCD，菱形ABEF∩直角梯形ABCD=AB，∴AH⊥平面ABCD，∴AH⊥BC，在直角梯形ABCD，∠BAD=∠CDA=90°，AB=2AD=2CD=2，∴AC=BC=，∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC，又AH∩AC=A，∴BC⊥平面AHC，又BC?平面BCE，∴平面AHC⊥平面BCE．解：（2）過點C作CG⊥AB，則CG⊥AH，又AB∩AH=A，∴CG⊥平面ABEH，∵AH=，∴SAHEB==，VC﹣ABEH==，由（1）知CD⊥平面AHD，FH⊥平面AHD，又，∴，==，∴此