第一章復數與復變函數§1.1復數§1.2復數的三角表示§1.3平面點集的一般概念§1.4無窮大與復球面§1.5復變函數的極限與連續第一章復數與復變函數§1.1復數§1.2復數的三角表示復變函數與積分變換及應用背景

（莫里斯克萊恩

）(1908-1992)(《古今數學思想》(MathematicalThoughtfromAncienttoModernTimes)的作者,美國數學史家)指出:從技術觀點來看,十九世紀最獨特的創造是單復變函數的理論.這個新的數學分支統治了十九世紀,幾乎象微積分的直接擴展統治了十八世紀那樣.這一豐饒的數學分支,一直被稱為這個世紀的數學享受.它也被歡呼為抽象科學中最和諧的理論之一.復變函數與積分變換及應用背景（莫里斯克萊的概念,從而建立了復變函數理論.為了建立代數方程的普遍理論，人們引入復數復變函數理論可以應用于計算某些復雜的實函數的積分.(1)代數方程

在實數范圍內無解.

（阿達馬）說:實域中兩個真理之間的最短路程是通過復域.(3)復變函數理論可以應用于流體的平面平行流動等問題的研究.函數理論證明了應用復變的概念,從而建立了復變函數理論.為(4)應用于計算繞流問題中的壓力和力矩等.(5)應用于計算滲流問題.例如：大壩、鉆井的浸潤曲線.(6)應用于平面熱傳導問題、電(磁)場強度.例如：熱爐中溫度的計算.最著名的例子是飛機機翼剖面壓力的計算,從而研究機翼的造型問題.(4)應用于計算繞流問題中的壓力和力矩等.(5)應用于計變換應用于頻譜分析和信號處理等.(8)復變函數理論也是積分變換的重要基礎.積分變換在許多領域被廣泛地應用，如電力工程、通信和控制領域以及信號分析、圖象處理和其他許多數學、物理和工程技術領域．頻譜分析是對各次諧波的頻率、振幅、相位之間的關系進行分析.隨著計算機的發展，語音、圖象等作為信號，在頻域中的處理要方便得多.(9)變換應用于頻譜分析和信號處理等.(8)復變函數理論也是變換應用于控制問題.在控制問題中，傳遞函數是輸入量的Laplace變換與輸出量的Laplace變換之比.(11)Z變換應用于離散控制系統.(12)小波分析的應用領域十分廣泛,如信號分析和圖象處理、語音識別與合成、醫學成像與診斷、地質勘探與地震預報等等.(13)復變函數與積分變換的計算可以使用為科學和工程計算設計的軟件(10)變換應用于控制問題.在控制問題中，傳遞函數是主要內容

本章首先引入復數的概念及表示式、復數的運算、平面點集的概念.然后討論復變函數的極限連續性.主要內容本章首先引入復數的概念及表示式、復數的§1.1-1.2復數及其表示式1復數的概念2復數的四則運算3復數的表示方法4乘冪與方根§1.1-1.2復數及其表示式1復數的概念2復數的四則1.1.1復數的概念由于解代數方程的需要,人們引進了復數.例如，簡單的代數方程在實數范圍內無解.為了建立代數方程的普遍理論，引入等式由該等式所定義的數稱為1.1.1復數的概念由于解代數方程的需要,當復數的虛部為零、實部不為零(即y=0,)時，復數x+iy等于x+i0為實數x,而虛部不為零(即)的復數稱為虛數.在虛數中,實部為零(即x=0,)的稱為純虛數.例如,3+0i=3是實數,4+5i,-3i都是虛數,而-3i是純虛數.數x+iy(或x+yi)的,并記做稱形如x+iy或x+yi的表達式為復數，其中

x和y是任意兩個實數.把這里的x和y分別稱為復當復數的虛部為零、實部不為零(即y=0,顯然,z=x+iy是x-yi的共軛復數,即共軛復數復數x-iy稱為復數x+yi的(其中x,y均為實數),并記做.顯然,z=x+iy是x-yi的共軛復數,即共軛1.1.2復數的四則運算注意

復數不能比較大小.設z1=x1+iy1,z2=x2+iy2是兩個復數,如果x1=x2,y1=y2,則稱z1和z2相等,記為z1=z2.復數z1=x1+iy1和z2=x2+iy2的加、減、乘、除運算定義如下：(1)復數的和與差1.1.2復數的四則運算注意復數不能比較大小.(2)復數的積(3)復數的商復數運算的性質1.交換律(2)復數的積(3)復數的商復數運算的性質1.交換律2.結合律3.分配律2.結合律3.分配律解例1.1設

求與解例1.1設求與例1.2……例1.2……例1.3設z1,z2是兩個復數,證明證明因為所以由運算規律7，有本例也可以用乘法和共軛復數的定義證明.例1.3設z1,z2是兩個復數,證明證明因為所以給定一復數z=x+yi,在坐標平面XOY上存在惟一的點P(x,y)與z=x+yi對應.反之,對XOY平面上的點P(x,y),存在惟一的復數z=x+yi與它對應.根據復數的代數運算及向量的代數運算的定義知這種對應構成了同構映射.因此可以用XOY平面上的點表示復數z.這時把XOY平面平面稱為復平面.有時簡稱為z平面.1.1.3復平面與復數的表示法給定一復數z=x+yi,在坐標平面XOY顯然,實數與x軸上的點一一對應,而x軸以外的點都對應一個虛數,純虛數與y軸上的點(除原點)對應.因此,稱x軸為實軸,y軸為虛軸.今后把復平面上的點和復數z不加區別,即“點z”和“復數z”是同一個意思.有時用C表示全體復數或復平面.復數z也可以用以原點為起點而以點P為終點的向量表示(如圖).顯然,實數與x軸上的點一一對應,而x軸以這時復數加、減法滿足向量加、減法中的平行四邊形法則.用表示復數z時,這個向量在x軸和y軸上的投影分別為x和y.把向量的長度r稱為復數z的或稱為z的絕對值,并記做|z|.顯然這時復數加、減法滿足向量加、減法中的平如果點P不是原點(即),那么把x軸的正向與向量的夾角q稱為復數z的輻角,記做Argz.

對每個,都有無窮多個輻角,因為用q0表示復數z的一個輻角時,就是z的輻角的一般表達式.如果點P不是原點(即),有時,在進行說明后,把主輻角定義為滿足的方向角；但當z=0時,|z|=0.滿足的復數z的稱為主輻角(或稱輻角的主值),記做argz,則的輻角,這時上式仍然成立.當z=0時,Argz沒有意義,即零向量沒有確定有時,在進行說明后,把主輻角定義為滿足的方向角；但當z當時,有說明：當z在第二象限時，當時,有說明：當z利用直角坐標與極坐標之間的關系數z的三角表示式.再利用Euler公式

復數z=x+yi可表示為稱為復復數z=x+yi又可表示為稱為復數的指數表示式,其中r=|z|,q=Argz.利用直角坐標與極坐標之間的關系數z的三角表示式.再利用E例1.4將下列復數化為三角表示式與指數表示式.[解]1)z在第三象限,因此因此例1.4將下列復數化為三角表示式與指數表示式.[解]1)2)顯然,r=|z|=1,又因此2)顯然,r=|z|=1,又因此例1.5寫出的輻角和它的指數形式。解：例1.5寫出當時,當時,共軛復數的幾何性質一對共軛復數z和在復平面的位置是關于實軸對稱的.當時,當時,共軛復數的幾何性質一對共軛復數z和復數和與差的模的性質從幾何上看,復數z2-z1所表示的向量,與以z1為起點、z2為終點的向量相等(方向相同,模相等).復數的加、減運算對應于復平面上相應向量的加、減運算.復數和與差的模的性質從幾何上看,復數z2-1.1.4

乘冪與方根設復數z1和z2的三角表示式為根據乘法定義和運算法則及兩角和公式,1.1.4乘冪與方根設復數z1和z2的三角表示式為根據于是應該注意的是中的加法是集合的加法運算：即將兩個集合中所有的兩個復數乘積的模等于它們的模的乘積;兩個復數乘積的輻角等于它們的輻角的和.元素相加構成的集合于是應該注意的是兩個復數相乘的幾何意義設兩個復數對應的向量分別為先將z1按逆時針方向旋轉角度,再將模變到原來的r2倍,于是所得的向量z就表示乘積兩個復數相乘的幾何意義設兩個復數對應的向量分別為先將z1按逆利用數學歸納法可以證明：如果特別地,如果那么那么利用數學歸納法可以證明：如果特別地,如果那么那么如果寫成指數形式，即如果那么特別地，當|z|=r=1時,變為如果寫成指數形式，即如果那么特別地，當|z|=r=1時,稱為DeMovie公式（棣摩弗公式）.那么DeMovie公式仍然成立.設如果定義負整數冪為當(即)時,稱為DeMovie公式（棣摩弗公式）.那么DeMovi則如果將z1和z2寫成指數形式于是

兩個復數商的模等于它們模的商；兩個復數商的輻角等于被除數與除數的輻角之差.則如果將z1和z2寫成指數形式于是兩個復數方根,記做或如果于是,當時,對給定的復數z,方程wn=z的解w稱為z的n次方根,記做或如果于是,滿足以上三式的充分必要條件是其中表示算術根.于是當取k=0,1,2,···,n-1時,對一個取定的q,可得

n個相異根如下滿足以上三式的充分必要條件是其中表示算術根.于由三角函數的周期性由三角函數的周期性可見,除w0,w1,···,wn-1外,均是重復出現的,故當z=0時,w=0就是它的n次方根.常取主輻角.若用指數表示式,則當z=reiq時,這n個復數就是所要求的n個根.在上面的推導過程中,可取q為一個定值,通可見,除w0,w1,···,wn-1外,例1.6求方程w4+16=0的四個根.因為-16=24e(2k+1)pi,所以w4=24e(2k+1)pi.于是例1.6求方程w4+16=0的四個根.w1,w2,w3,w4恰好是以原點為圓心、半徑為2的圓一般情況下,n個根就是以原點為中心、半徑為的圓的內接正多邊形的n個頂點所表示的復數.|z|=2的內接正方形的四個頂點(如圖).w1,w2,w3,w4恰好是以原點為圓心、半徑為2的圓例1.7求[解]因為所以例1.7求[解]因為所以即注：四個根是內接于中心在原點半徑為21/8的圓的正方形的四個頂點.1+iw0w1w2w3Oxy即注：四個根是內接于中心在原點半徑為21/8的圓的正方形的四例1.8設求解：若取則若取則例1.8設求解：若取則若取則§1.3平面點集的一般概念1區域2Jordan曲線、連通性§1.3平面點集的一般概念1區域2Jordan曲線、1.3.1區域1.鄰域z0是復平面內的定點,滿足不等式|z-z0|<d的一切點所組成的集合{z||z-z0|<d}稱為z0的d鄰域,簡稱為z0的鄰域,其中d>0.z0的鄰域實際上是以z0為中心,d為半徑的圓的內部所有點組成的點集,簡記為B(z0,d).由滿足不等式0<|z-z0|<d的一切點所組成的集合稱為z0的去心鄰域.1.3.1區域1.鄰域z0是復平滿足不等式|z|>R(R>0)的一切點(包括無窮遠點)的集合稱為無窮遠點的鄰域.用R<|z|<+表示無窮遠點的去心鄰域.2.內點設E是復平面上的點集,z0是一個定點,若存在z0的一個鄰域,使得該鄰域內的一切點均屬于E,則稱z0是E的內點.即存在r>0,滿足滿足不等式|z|>R(R>0)的一切點(3.外點4.邊界點

設E是復平面上的點集,z0是一個定點,若存在z0的一個鄰域,使得在此鄰域內的一切點均不屬于E,則稱z0是E的外點.即存在r>0,滿足設E是復平面上的點集,z0是一個定點,若z0的任何鄰域內都含有屬于E的點和不屬于E的點,則稱z0是E的邊界點.3.外點4.邊界點設E是復平面上的點即對任意的r>0,存在z1,z2B(z0,r),滿足顯然,E的內點屬于E,而外點不屬于E,但邊界點既可能屬于E,也可能不屬于E.

E的邊界點的全體所組成的集合稱為E的邊界,記做E.

5.開集設G是復平面上的點集,如果G內每一點都是它的內點,則稱G為開集.即對任意的r>0,存在z1,z2B(z0,r),例1.9設z0是定點,r>0是常數,則z0為中心,以r為半徑的圓的內部點,即滿足不等式|z-z0|<r

的一切點z所組成的點集(z0的r鄰域)是開集.當0r<R(r和R均是常數)時,滿足不等式r<|z-z0|<R的一切z所組成的點集也是開集.但滿足不等式r<|z-z0|R的一切點所組成的點集不是開集.因為在圓周|z-z0|=R上的點屬于集合r<|z-z0|R,但這些點不是它的內點,而是邊界點.例1.9設z0是定點,r>0是常數在圓周|z-z0|=r和圓周|z-z0|=R上的點都是點集r<|z-z0|<R和r<|z-z0|R的邊界點.兩個圓周上的點都不屬于點集r<|z-z0|<R,內圓周|z-z0|=r不屬于點集r<|z-z0|R,外圓周|z-z0|=R屬于點集r<|z-z0|R.6.區域設D是復平面上的點集，如果滿足以下兩個條件:(1)D是開集；在圓周|z-z0|=r和圓周|z-z0|=(2)D內的任何兩點z1和z2都可以用一條完全在D內的折線,把z1和z2連接起來(具有這個性質的點集叫做連通的).則稱D是復平面上的區域.簡單地說,連通開集稱為區域.

基本概念的圖示區域鄰域邊界點邊界(2)D內的任何兩點z1和z2都可以用一條為閉區域,記做

例如,滿足不等式|z-z0|r和r|z-z0|R的一切點所組成的點集都是有界的閉區域,滿足不等式|z|R的一切點所組成的點集是無界的閉區域.如果一個平面點集完全包含在原點的某一個鄰域內,那么稱它是有界的.不是有界集的點集叫做無界集.由區域D和它的邊界D所組成的點集，稱為閉區域,記做例如,滿足不等式|z(1)圓環域:例1.10判斷下列區域是否有界?(2)上半平面:(3)角形域:(4)帶形域:答案(1)有界;(2)(3)(4)無界.(1)圓環域:例1.10判斷下列區域是否有界?(2)1.3.2Jordan曲線、連通性(1)連續曲線、Jordan曲線參數方程x=x(t),y=y(t)(atb)在XOY平面上表示一條曲線C.

把XOY平面視為復平面時,曲線C的參數方程可表示為如果x=x(t),y=y(t)(atb)為連續函數時,則稱曲線C為連續曲線.1.3.2Jordan曲線、連通性(1)連續曲線、曲線C在復平面上的參數方程不僅確定了曲線的形狀,實際上還給出了曲線的方向,也就是說,曲線是沿著t增加的方向變化的.復平面上對應于z(a)=x(a)+iy(a)的點稱為曲線C的起點,對應于z(b)=x(b)+iy(b)的點稱為曲線C的終點.若曲線C的起點與終點重合,即z(a)=z(b),則稱C是閉曲線.例如,z=z(t)=r(cost+isint)(0t2p)是一條閉曲線,因為z(0)=z(2p)=r.曲線C在復平面上的參數方程不僅確定了對曲線C的參數方程做變量代換可得這兩個方程所確定的曲線形狀相同,起點和終點互易,從而方向相反.用Cˉ表示與C形狀相同、方向相反的曲線.如果t1t2,有z(t1)=z(t2),則稱z(t1)=z(t2)是曲線z=z(t)的重點.對曲線C的參數方程做變量代換可得這兩個方程所確定的曲線形狀如果曲線C:z=z(t)(atb)除起點與終點外無重點,即除t1=a,t2=b之外,如果t1t2,有z(t1)z(t2),則稱曲線C是簡單曲線.連續的簡單閉曲線稱為Jordan曲線.

任何Jordan曲線C將平面分為兩個區域,即內部區域(有界)與外部區域(無界),C是它們的公共邊界.內部外部邊界如果曲線C:z=z(t)(atb)下列曲線是否為簡單閉曲線?答案簡單閉簡單不閉不簡單閉不簡單不閉下列曲線是否為簡單閉曲線?答簡單簡單不簡單不簡單關于曲線方向的說明:

設C為平面上給定的一條連續曲線,如果選定

C的兩個可能方向中的一個作為正向,則稱C為有向曲線.如果從A到B作為曲線

C的正向,那么從B到A為曲線C的負向,就是Cˉ.除特殊聲明外,正向總是指從起點到終點的方向.CCˉ關于曲線方向的說明:設C為平面上給定的一條連Jordan曲線C有兩個方向,當點z沿著C的一個給定方向變化時,若C的內部出現在點z前進方向的左側,就規定這個方向是正的;否則就說是負的.如果沒有特別說明,約定Jordan曲線的正向為這條曲線的方向.Jordan曲線C有兩個方向,當點z沿著C對于圓周曲線可以簡單地說,逆時針方向為曲線的正向,順時針方向為曲線的負向.(2)光滑曲線如果曲線C參數方程中的x(t)和y(t)都在[a,b]上存在連續的導函數,且對任何t[a,b],都有稱C是一條光滑曲線.

對于圓周曲線可以簡單地說,逆時針方向(2由幾段依次相接的光滑曲線所組成的曲線稱為分段光滑曲線.能求出長度的曲線稱為可求長曲線.分段光滑曲線是可求長曲線.光滑曲線分段光滑曲線由幾段依次相接的光滑曲線所組成的曲線(3)單連通區域與多連通區域設D是復平面上的一個區域,如果位于D內的任何Jordan曲線的內部區域也都包含于D,則稱D為單連通區域.若區域D不是單連通區域,則稱它為多連通區域.單連通域多連通域(3)單連通區域與多連通區域設D是復平面上的一個例1.11指出下列不等式所確定的點集,是否有界?是否區域?如果是區域,單連通的還是多連通的?無界的單連通區域(如圖).解(1)當時,例1.11指出下列不等式所確定的點集,是角形域,無界的單連通域(如圖).周外部,無界多連通區域(如圖).是以原點為中心,半徑為的圓是角形域,無界的單連通域(如圖).周外部,無界多連通區表示到1,–1兩點的距離之表示該橢圓的內部,這是有界的單連通區域(如圖).和為定值4的點的軌跡,因為所以這是橢圓曲線.表示到1,–1兩點的距離之表示該橢圓的內部,這是有界內部.這是有界集,但不是區域.令是雙葉玫瑰線(也稱雙紐線).表示雙紐線的內部.這是有界集,但不是區域.令是雙葉玫瑰線(也稱雙紐例1.12滿足下列條件的點集是否區域?如果是區域,是單連通區域還是多連通區域?這是一條平行于實軸的直線,不是區域.它是單連通區域.這是以為右邊界的半平面,不包括直線例1.12滿足下列條件的點集是否區域?它是多連通區域.它不是區域.這是以為圓心,以2為半徑的去心圓盤.這是以i為端點,斜率為1的半射線,不包括端點i.它是多連通區域.它不是區域.這是以復數可以用平面上的點表示，這是復數的幾何表示法的一種，另外還可以用球面上的點表示復數.設S是與復平面C切于原點O的球面.過原點O做垂直于平面C的直線,與S的另一交點為N.原點O稱為S的南極(S極),點N稱為S的北極(如圖).1.4無窮大與復球面復數可以用平面上的點表示，這是復數的幾

球面上的點,除去北極N外,與復平面內的點之間存在著一一對應的關系.我們用球面上的點來表示復數.球面上的北極N不能對應復平面上的定點,當球面上的點離北極

N

越近,它所表示的復數的模越大.球面上的點,除去北極N外,與復平

規定:復數中有一個唯一的“無窮大”與復平面上的無窮遠點相對應,記作.球面上的北極N就是復數無窮大的幾何表示.不包括無窮遠點的復平面稱為有限復平面,或簡稱復平面.包括無窮遠點的復平面稱為擴充復平面.

球面上的點與擴充復平面的點構成了一一對應,這樣的球面稱為復球面.規定:復數中有一個唯球面上

對于復數的無窮遠點而言,它的實部、虛部,輻角等概念均無意義,規定它的模為正無窮大.(1)加法(2)減法(3)乘法(4)除法對于復數的無窮遠點而言,它的實部、虛部,(§1.5復變函數的極限與連續1復變函數的定義2復變函數的極限3函數的連續性§1.5復變函數的極限與連續1復變函數的定義2復變函1.5.1

復變函數的定義定義1.1設E是復平面上的點集,若對任何zE,都存在惟一確定的復數w和z對應,稱在E上確定了一個單值復變函數，用w=f(z)表示.

E稱為該函數的定義域.在上述對應中,當zE所對應的w不止一個時,稱在E上確定了一個多值復變函數.數,而例如,w=|z|是以復平面C為定義域的單值函1.5.1復變函數的定義定義1.1設E是定義在C\{0}上的多值函數.以后不特別申明時，所指的復變函數都是單值函數.因為z=x+iy和w都是復數,若把w記為u+iv時,

u與v也是z的函數,因此也是x和y的函數.于是,可以寫成其中u(x,y)和v(x,y)都是實變量的二元函數.是定義在C\{0}上的多值函數.以后不例如:w=z2是一個復變函數.令因為于是函數w=z2對應于兩個二元實函數令于是反之,如果例如:w=z2是一個復變函數.令因為反函數的定義設函數w=f(z)的定義域為復平面上的點集D,稱復平面上的點集為函數w=f(z)的值域.對于任意的wG,必有D中一個或幾個復數與之對應.于是,確定了G上一個單值或多值函數z=j(w),稱之為函數w=f(z)的反函數.反函數的定義設函數w=f(z)的定義域為復平定義1.2設復變函數w=f(z)在z0的某個去心鄰域內有定義,A是復常數.若對任意給定的e>0,存在d>0,使得對一切滿足0<|z-z0|<d的z,都有成立,則稱當z趨于z0時,f(z)以A為極限，并記做或注意:定義中zz0的方式是任意的.1.5.2復變函數的極限定義1.2設復變函數w=f(z)在z0的某例1.13當z0時,函數極限不存在.事實上,當z沿直線y=kx趨于零時,該極限值隨k值的變化而變化,所以極限不存在.例1.13當z0時,函數極限不存在.事實上,定義1.3設f(z)在z0的鄰域內有定義,且則稱f(z)在z0處連續.若f(z)在區域D內的每一點都連續，則稱f(z)在區域D上連續.關于函數f(z)在連續曲線C上的連續性和閉區域上的連續性,只要把上述定義中的z限制在C或上即可.1.5.3函數的連續性定義1.3設f(z)在z0的鄰域內有定定理1.1設則f(x)在處連續的充分必要條件是都在點連續.證明只須注意,由等式可得不等式定理1.1設則f(x)在處連續的充分必要條件是又有不等式這個定理說明復變函數的連續性等價兩個二元實函數的連續性.利用這些不等式及，結論易證.又有不等式這個定理說明復變函數的連續性等價兩個二元實函數的例1.14設復變函數f(z)在點z0連續，并且f(z0)0,則存在z0的某個鄰域，使f(z)在此鄰域內恒不為0.證明由于f(z)在點z0連續,在點連續,故在點連續.因所以由二元函數的連續性,必存在的某個鄰域,使得在此鄰域內,即在此鄰域內f(z)0.例1.14設復變函數f(z)在點z0定理1.2設都在點連續,則都在

點連續，而

當時，也在點連續.

定理1.3設在處連續，

而在點連續，則

復合函數在

點連續.

應用或仿證明實函數類似結論的方法可以證明上述兩個定理.定理1.2設都在點連續,則都在點連續，而當時，由前面的結論可知,多項式在復平面內處處連續.有理分式在復平面內除分母為零的點之外,處處連續.都是復常數.由前面的結論可知,多項式在復平面內處處連續.有理分式定理1.4設f(z)在有界閉區域(或有限長的連續曲線C)上連續，則f(z)在(或C)上有