反射率R與入射光頻率ω之間的關系叫做反射光譜，相應地，透過率T與入射光頻率ω之間的關系叫做透射光譜。2.1光在固體表、界面上的反射2.1.1單一界面，垂直入射下的反射與透射如圖2.1所示，設一束光從折射率為n1，沿著z方向以φ1角度入射到折射率為n2、無限大且均勻的介質上，介質n1和n2之間的界面假設為理想的無厚度界面，并且無界面電荷和電流。入射、反射、透射光的電矢量分別用、和,磁場矢量分別用、和表示。反射系數r和反射率R，透射系數t和透射率T分別定義如下：第二章

反射光譜與光學常數的測量反射率R與入射光頻率ω之間的關系叫做反射光譜，相圖2.1光在界面上反射與透射示意圖II‘I

‘矢量k和k’實矢量,k”為復矢量圖2.1光在界面上反射與透射示意圖II‘I‘矢量k(2.1a)

(2.1b)(2.1c)(2.1d）

一種常見的情況是光由空氣垂直入射到具有復折射率

n=n+iκ的介質上。(2.1a)(2.1b)(2.1c

垂直入射下的入射波、反射波和透射波的電場、

和與磁場強度、和可以分別表示為(2.2)否則,Z應用矢量r表示垂直入射下的入射波、反射波和透射波的電場利用電場和磁場在界面切線方向連續的邊界條件，并且在邊界上（z=0），式(2.2)中代表時間和空間的分量都可以約去，因此得到關于振幅的邊界條件方程利用電場與磁場振幅之間的關系可以將上述方程改寫為，（2.3）(2.4)利用電場和磁場在界面切線方向連續的邊界條件，并且在（2.3）根據反射系數和透射系數的定義，由式(2.4)得(2.5)

當n1=1,n2=n+iκ

時，得（2.6）根據反射系數和透射系數的定義，由式(2.4)得(2.5

由(2.7)式可以看出：

1.以R為參數，可以得到（n，к）關系為二次曲線，即(2.8)它表示一些以為圓心，以2R1/2/（1-R）為半徑的一系列半圓，如圖2.2所示。(2.7)由(2.7)式可以看出：(2.8)它表示一些以圖2.2不同反射率R下的（n,）圖2.

對于反常色散區，к>>n，R趨近于1，呈現金屬反射性。圖2.2不同反射率R下的（n,）圖2.

對于

一些金屬的反射光譜如圖2.3所示。圖2.3某些金屬的反射譜

一些金屬的反射光譜如圖2.3所示。圖2

設一束光從空氣以φ角入射到折射率為n=n+i的各向同性介質上，并且假設無界面電荷和電流，求斜入射下的反射率與透射率。為此將入射光的電矢量分解為垂直于入射面分量和平行于入射面的分量，反射系數與反射率，透射系數與透過率也相應地分成平行（p）分量和垂直(n)分量。此時的反射系數r和透射系數t一般都是復數量，它們的定義如下：2.1.2單一界面，斜入射的反射與透射圖2.1光在界面上反射與透射示意圖設一束光從空氣以φ角入射到折射率為n=n+i(2.9)利用電場和磁場在界面切向連續以及電位移和磁感應強度在法向連續的邊界條件，可以得到反射系數和透射系數，以及反射率和透射率，其表達式為(2.9)利用電場和磁場在界面切向

(2.10)tg1=nn11+2=900Rp=0,Tp=1,此時,1為布儒斯特角1=450,則Rp=(Rn)21=0或900,則Rp=Rn(2.10)tg1=nn11+2=90固體光譜學-第二章-反射光譜與光學常數的測量ppt課件

設一束光由空氣入射到厚度為d的薄膜上，透過第一個界面，穿過薄膜，再透過第二個界面，在另一方向透射出來。光在薄膜中：

振幅發生衰減；位相發生變化；在上下表面都發生反射；形成干涉（2nd0

）。圖2.5表示硅氫合金薄膜的透射光譜。透射率光譜T（ω）在2000cm-1和600cm-1附近出現若干谷，對應于吸收光譜α（ω）中的吸收峰。在不考慮表面反射的情況下，吸收光譜可以簡單地從透射光譜得到。2.2薄膜的反射與透射

設一束光由空氣入射到厚度為d的薄膜上，透過Si-H拉伸振動Si-H彎曲振動Si-H搖擺振動2nd0Si-H拉伸振動Si-H彎曲振動Si-H搖擺振動2nd固體光譜學-第二章-反射光譜與光學常數的測量ppt課件

利用這種干涉效應，可以獲得薄膜的折射率n或厚度d。見圖2.6，設一束光由空氣垂直地入射到厚度為d且各向同性的固體薄膜上，在薄膜的兩個界面上發生多次反射和透射，其強度取決于材料的光學性質。結果在薄膜的入射方向會有多次反射的光，而在薄膜背面會有多次透射的光，薄膜的折射率n=n+ik，由空氣到界面（12）以及由固體到空氣界面（23）的反射系數分別為r12和

r23，并且

r=r12=-r21,r21=r23。相應的透射系數t12=(1-r12)，t23=(1-r23)。一般地說r=r0еiθ為復數，光的第一次反射率R′=r*r=(r0)2。已知，設入射光的電場

E在

z=0處為1，則光波第一次通過薄膜時其振幅和位相變化為利用這種干涉效應，可以獲得薄膜的折射率n或

是位相因子，即現在分以下幾種情況來討論。設光垂直入射到厚度為d的厚膜，表面第一次反射率為R′，對于相當厚的薄板，若滿足條件2nd>>λ0，總反射率R和總透射率T

可以簡單地從反射光和透射光強度疊加得到(2.11)(2.12)2.2.1厚膜，考慮多次反射，忽略相位因子

當d很大時，有(2.13)

利用(1.1)式，可以得到吸收率在弱吸收和弱反射的情況下，吸收率為

(2.14)(2.15)*當d很大時，有(2.13)利用(1.1)

由(2.12)式，若R′和d已知，吸收光譜可直接由透射光譜得到；若R′未知，可以測量兩塊厚度不同樣品的透射光譜來確定吸收系數α（ω）。此時

如圖2.6所示，考慮反射波和透射波的位相變化,并且光程差2nd≈λ0，計算多次反射光和透射光的反射率和透射率。

首先計算反射系數和透射系數疊加后的總反射系數r和總透射系數t，然后求出總反射率R和總透過率T。(2.16)2.2.

2.薄膜，考慮干涉效應時的反射和透射光譜由(2.12)式，若R′和d已知，吸

對于空氣中無襯底的自支撐膜，有兩個界面，在各個界面上的反射系數和透射系數為

r=r12

r23=r21=-r12=-r

光每通過樣品一次，其振幅變化，其中位相因子將各次反射與透射系數疊加，得總r和

t為(2.17)對于空氣中無襯底的自支撐膜，有兩個界面，在各(2.18)

在低吸收限下，滿足κ<<n，因此各個Fresnel系數可以近似地用其實部來代替，在這種情況下，由（2.18）式得(2.19)(2.18)在低吸收限下，滿足κ<<n，因當2=2m，或2nd=mλ0(m=1,2,3,…)時，

T取一系列極大值，R

取極小；反之,當2=（2m+1），或2nd=(2m+1)λ0/2，透過光譜出現一系列極小值，而反射光譜出現極大，即(2.20a)其中2nd=mλ0(m=1,2,3,…)當2=2m，或2nd=mλ0(m=1,2,3,(2.20b)其中，m=1,2,3,…干涉條紋中兩個相鄰極大值的條件為(2.21)如上圖，兩極大之間相差為200cm-1,單晶硅的折射率n=3.4,該非晶硅薄膜的厚度為0.7mm。(2.20b)其中薄膜和多層膜的制備技術包括化學氣相淀積（CVD）、物理氣相淀積（PVD）、分子束外延（MBE）、金屬有機化學氣相沉積（MOCVD）等。

如GaN藍色發光二極管是將GaN外延在Al2O3

襯底上,人造金剛石薄膜是利用CVD技術將其生長在Si或金屬襯底上。對于帶襯底的薄膜或多層膜光學性質的研究，至少要涉及三個界面，如圖2.7所示。

2.2.3多層膜的反射薄膜和多層膜的制備技術包括化學氣相淀積（CVD）、物理氣相淀

要解決多層膜的反射與吸收問題，可根據光學疊加原理，先把兩層化為單層，把界面數逐步減少。然后與剩下的一個界面疊加，即可得到總r和t，結果如下(2.22)要解決多層膜的反射與吸收問題，可根據光學疊加原式中n1，d1和n2，d2分別為樣品和襯底的折射率與厚度。

總反射率R

和總透射率T

可分別由薄膜的RF，TF和襯底的RS，TS得到。（2.23）式中

橢偏度與兩個分量的大小和位相有關，也就是與材料的n(ω)和κ(ω)有關。圖2.8給出了橢圓光度法示意圖。2.3橢偏光度法n1n2n3dE/2.3橢偏光度法n1n2n3dE/據此發展起一種測量n(ω)和κ(ω)的方法—橢偏光度法。這種方法特別適合于薄膜n(ω)、κ(ω)和厚度d的測量。設一束光由空氣入射到帶襯底的薄膜上，分別用n1、n2和n3表示空氣、薄膜和襯底的折射率，d

為薄膜厚度。反射系數平行分量和垂直分量

為復數，和，θp和θn分別表示和的模和幅角，空氣—薄膜，薄膜一襯底間的反射系數分別用r1=r12，r2=r23表示。根據式（2.18）得據此發展起一種測量n(ω)和κ(ω)的方法—橢偏光(2.24)作為橢偏光，其振幅

，和位相在不斷變化，為描述這種特性，引進橢偏參數ψ和Δ，(2.25)(2.24)作為橢偏光，其振幅，和位

其中表示反射波中的p波與n波的振幅比的相對變化，所以Ψ也叫做振幅比畸變角。位相差可以得到(2.26)其中表示反射波中的p波與圖2.9表示橢圓偏光度法的實驗裝置框圖。轉動檢偏器的方位角，使其達到消光狀態，此時的方位角J就是

當時,=900P軸（平行分量）zoze450450圖2.9表示橢圓偏光度法的實驗裝置框圖。轉動檢偏器的方位角

非尋常光與尋常光的位相差，當時,尋常光與非尋常光之間的位相差為90°。轉動檢偏器的方位角，使其達到消光狀態，這時檢偏振器的方位角

J就是Ψ。設起偏器的方位角為Q，可以得到

Ψ=J(2.27)

這里Ψ的讀數范圍：0-90°，Δ的范圍：0-360°。圖2.10表示生長在硅襯底上的類金剛石膜（DLC膜，a-C:H）的折射率與厚度的橢偏光度法測量結果。非尋常光與尋常光的位相差n-C0d-C0n-C0d-C0

凡是由因果關系決定的光學響應函數，其實部和虛部之間并不完全獨立，由此得出一系列關系式描述光學常數之間的內在聯系，這些關系被稱為克喇末-克朗尼格（Kramas-Kronig）關系，簡稱KK關系。2.4.1光學響應函數及其性質

KK關系的物理基礎是因果性原理，其內函是物理結果只能發生在作用之后，而不是在其前。在常用光強范圍內，可以假定極化響應是線性的，即

(2.28)2.4克喇末(Kramas-Kronig)-克朗尼格（KK）變換(2.28)2.4克喇末(Kramas-Kroni

，的傅里葉(Fourier)成分，，具有相同的光學響應規律。令表示在主軸方向的極化分量,它是時間的函數，表示與相同方向上的分量，上述因果關系可以表示為

(2.29)上式的意思是與

t時刻之前所有的有關。一般地說，一個廣義作用力引起的廣義位移，由以下運動方程決定我們來討論線性響應函數T(ω)的性質。

(2.30)

，的傅里葉(Fourier)成分

廣義作用力和廣義位移可以表示為

(2.31)

叫做響應函數。對于一個線性無源系統，根據Lorentz理論，T(ω)可以表示為一組阻尼諧振子響應的疊加(2.33)由式(2.30)得過且過(2.32)廣義作用力和廣義位移響應函數有如下性質；①解析性，引進ω的復平面ω=ωr+iωi，則上響應函數在上半復平面是解析的，極點在下半復平面，即(2.34)②收斂性，當時，/ω一致地趨近于0，因此，/ω沿著ω的上半復平面的一個無限半圓上的積分為零。響應函數有如下性質；(2.34)②收斂性，當時，③奇偶性，由于在時間和空間上的均勻性，不顯含t和r(或波矢κ)，它僅僅是頻率的函數。可以證明

T*(-ω)=T(ω)(2.35)

對于實的ω，的實部Tr(ω)是偶函數，其虛部Ti(ω)是奇函數。為了說明上述因果關系，引入δ函數形式的作用場，一個δ函數形式的作用場引起的極化可以表示為

(2.36)③奇偶性，由于在時間和空間上的均勻性，不

是δ函數形式作用場，也就是單位作用場引起的極化，對于任意形式的作用場，例如簡諧形式的作用場，引起的極化可以表示為(2.37)(2.37)由得(2.38)是δ函數形式作用場，也就是單位作(2.39a)(2.39b)式(2.38)的傅里葉反變換為(2.40)討論：1.若t<0，則(2.40)式積分域在ω上半復平面，結果等于零。2.若t>0，函數ε（ω）-1在ω的下半復平面有奇異點，積分不等于零。(2.39a)(2.39b)式(2.38)的傅里葉反變換為(定義復變函數根據復變函數理論可得采取如圖2.11所示的積分線路，容易得到(2.41)（2.42）(2.44)2.4.2極化率和介電系數的KK變換(2.41)（2.42）(2.44)2.4.2極化率和固體光譜學-第二章-反射光譜與光學常數的測量ppt課件其中科西積分的主值定義為(2.44)將，有

(2.45)其中科西積分的主值定義為(2.44)將利用的奇偶性以及積分換域公式，最后得到極化率和電介函數KK關系(2.46)(2.47)利用光電導譜σr(ω)代替εi(ω)譜更為方便，由εi(ω)=σr(ω)ε0ω得(2.48)利用的奇偶性以及積分換域公式，(2圖2.12（a）Te（碲）晶體的光電導譜,(b)虛線為計算的εr(ω)譜，實線為測得的εr(ω)譜εr(ω)

εr(ω)

εr(ω)

εr(ω)

εr(ω)

εr(ω)

εr(ω)

εr(ω)

εr(ω)圖2.12（a）Te（碲）晶體的光電導譜,(b)虛線為Te（碲）晶體的光電導譜如圖2.12(a)所示，由(2.48)式表示的KK關系，計算出εr(ω)譜以虛線示于圖2.12(b)，同時給出實驗曲線。用波長代替頻率，式(2.8)變為對于多個吸收峰的情況，設每個吸收峰的平均波長為λj，它們對光學響應的貢獻可以看成σr(λj)積分強度的加權求和，于是上述積分化為(2.49)(2.49)(2.50)(2.50)式也叫做四參量公式。對于長波區，可進一步簡化為(2.51)對NaCl晶體，在可見光區有4個吸收峰，每個吸收峰的波長λj與吸收強度Aj分別為λj0.03470.10850.158461.67(μm)Aj0.0521.0050.2713.535(2.50)(2.50)式也叫做四參量利用公式(2.51)可以得到靜態介電常數ε(0)=5.86，用其它實驗方法測量得ε(0)=5.90。對于金屬中自由電子，固有頻率ω0=0,公式(2.47)需要加以修正。因為當ω0=0時，響應函數在ω=0時，響應函數在ω=0處有奇點。要解決此問題，可定義一個新函數

(2.52)利用公式(2.51)可以得到靜態介電常數ε(0)=5.86，其中函數ωT（ω）在上半復平面包括實軸是解析的，而且當時收斂，因此可以對其直接使用KK公式，得(2.53a)其中函數ωT（ω）在上半復平面包括實軸是解析的，而且當(2.進一步可以得到(2.53b)另一種處理辦法是將εi(ω)的零點留數σ0/ε0ω從中扣除，可以得到(2.53b)式。其中σ0=Ne2/mγ為靜態光電導。n同ε一樣，在ω的上半復平面無極點。當時，，因而，是收斂的；其次n的奇偶關系也與ε相同。因此可以直接寫出n和κ之間的KK關系2.4.3折射率和消光系數的KK變換進一步可以得到(2.53b)另一種處理辦法是將εi(ω)的

（2.54）由吸收系數α=4πκ/λ，可以將上述關系式化為更簡潔的形式：(2.55)假設一個以t和x為變數的平面電磁波，一般可以表示為（2.54）由吸收系數α=4πκ/λ，可以將上述關系式化為(2.56)由因果關系，若t<0,=0;另一方面，當t<0,由(2.56)式得(2.57)如果0<t<xn/c，則(2.58)因為假設nx/c–t>0，在這種情況下，式(2.56)積分仍在ω的上半復平面進行，則=0。(2.56)由因果關系，若t<0,反射法包括兩類：一是通過兩個參數的獨立測量，來確定n和這兩未知數；二是通過一個參數在一個盡可能寬領域內的測量，然后通過積分得到另一個參數以及其它所有光學常數。討論：在正入射下的振幅反射系數為(2.59)其中r是ω的解析函數，除非n=nr+iκ=-1，但這不可能，因為根據定義n≥0,κ≥0。2.4.4反射系數的KK變換(2.59)其中r是ω的解析函數，除非n=nr+i因為，所以r→0。,沒有,則沒有,因此

r

是一個線性響應函數，滿足KK變換的條件。反射光譜R（）易測，r0(ω)=[R(ω)]1/2

。如果能通過r0變換得到，測R（）,即可求

t

和n,

等。分析lnr=lnr+i的解析性。因r（）解析，lnr（）無極點。當，積分不為0，KK關系不能直接套用。因為定義新函數(2.60)利用留數積分公式，采用如圖2.11所示的積分環路C，ω′=i,ω′=ωr，可以得到(2.61)由，可知lnr(i)為實數；由定義新函數(2.60)利用留數積分公式，采用如圖2.11所示得lnrr(ω)和lnr0(ω)是偶函數，而θ(ω)為奇函數，因此得(2.62a)得lnrr(ω)和lnr0(ω)是偶函數，而θ(ω)(2.62b)n(ω)，κ(ω)與r0(ω)，θ(ω)之間的關系為(2.63)圖2.13（a）給出垂直入射下InP半導體的反射光譜，利用KK關系得到的n(ω)，κ(ω)的色散關系示于圖2.13(b)。(2.62b)n(ω)，κ(ω)與r0(ω)，θ(ω固體光譜學-第二章-反射光譜與光學常數的測量ppt課件利用分步積分的公式以及(2.64)(2.65)2.5微分形式的KK變換(2.64)(2.65)2.5微分形式的KK變換將積分形式的KK化為微分形式(2.66)(2.67)(2.68)將積分形式的KK化為微分形式(2.66)(2.67)(2微分因子說明，光學響應函數某一分量的色散曲線中對頻率微商極大處，對應光學響應函數另一分量色散曲線上的峰；反之，光學響應函數某一分量的色散曲線中對頻率商極小處，對應光學響應函數某一分量的色散曲線中對頻率微商極小處，對應光學響應函數另一分量色散曲線上的谷。對于直接光學躍遷的半導體，由此得出εr(ω)應在帶隙Eg處出現峰；從式(2.67)表示的n(ω)，a(ω)微分KK變換，可以預計，在材料的吸收邊a(ω)的斜率極大處，折射率n應該出現峰；同理，n(ω)的峰和谷應出現在κ(ω)上升沿和下降沿的斜率極大處微分因子說明，光學響應函數某一分量的色散曲線中對頻率

對于離子晶體，反譜R（）具有類似于方波的簡單結構，從和R的微分KK慶系可以得出，對的貢獻主要由于dRd

0

的部分。光學響應函數求和法則指的是光學響應函數在全頻域的積分等于某個定數。

2.61

高頻下光學響應函數的求和法則當所涉及的頻率ω>>ω0,ω>>γ時，可以將ε(ω)進行泰勒級數展開，其形式為2.6光學響應函數的求和法則對于離子晶體，反譜R（）具有類似于