2019年高考浙江卷數學真題(含答案)2019年普通高等學校招生全國統一考試（浙江卷）數學本試題卷分選擇題和非選擇題兩部分，全卷共4頁，選擇題部分在1至2頁，非選擇題部分在3至4頁，滿分150分，考試用時120分鐘。考生注意：1.答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用黑色字跡的簽字筆或鋼筆分別填在試題卷和答題紙規定的位置上。2.答題時，請按照答題紙上“注意事項”的要求，在答題紙相應的位置上規范作答，在本試題卷上的作答一律無效。參考公式：若事件A，B互斥，則P(A+B)=P(A)+P(B)若事件A，B相互獨立，則P(AB)=P(A)P(B)若事件A在一次試驗中發生的概率是p，則n次獨立重復試驗中事件A恰好發生k次的概率為C(n,k)p^k(1-p)^(n-k)柱體的體積公式V=Sh，其中S表示柱體的底面積，h表示柱體的高錐體的體積公式V=Sh/3，其中S表示錐體的底面積，h表示錐體的高球的表面積公式S=4πR^2臺體的體積公式V=(S1+S2+√(S1S2))h/3，其中S1,S2分別表示臺體的上、下底面積，h表示臺體的高球的體積公式V=4πR^3/3，其中R表示球的半徑選擇題部分（共40分）一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知全集U={-1,0,1,2,3}，集合A={0,1,2}，B={-1,0,1}，則(A∪B)的補集是A.{1,2,3}B.{-1,2,3}C.{-1}D.{0,2,3}2.漸近線方程為x±y=0的雙曲線的離心率是A.2B.1C.2/√2D.√23.若實數x，y滿足約束條件3x-y-4≤0，x+y≥1，則z=3x+2y的最大值是A.-1B.1C.10D.124.祖暅是我國南北朝時代的偉大科學家，他提出的“冪勢既同，則積不容異”稱為祖暅原理，利用該原理可以得到柱體的體積公式V=Sh，其中S是柱體的底面積，h是柱體的高．若某柱體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該柱體的體積（單位：cm^3）是A.158B.162C.182D.3245.若a>0，b>0，則“a+b≤4”是“ab≤4”的A.充分不必要條件B.充分必要條件C.必要不充分條件D.不必要不充分條件（刪除明顯有問題的段落）3值是未給出的，需要補充。17.已知正方形ABCD的邊長為1，當每個λi(i=1,2,3,4,5,6)取遍±1時，最大值是√2+2，|λ1AB+λ2BC+λ3CD+λ4DA+λ5AC+λ6BD|的最小值是2-√2。18.(1)因為f(x+θ)是偶函數，所以有f(-x-θ)=f(x+θ)，即alnx+aln(x+θ)=aln(-x-θ)+aln(-x-θ-θ)，化簡得θ=π/2。(2)注意到f(x+π/2)=-f(x)，所以[f(x+π/2)]+[f(x+π)]^2=[-f(x)]+[f(x)]^2=1-f(x)，所以函數y的值域為[0,1]。19.(1)因為EF是AC和A1B1的中線，所以EF∥B1C1。又因為平面ACC1垂直于平面ABC，所以EF垂直于平面ABC，即EF垂直于BC。(2)因為EF垂直于BC，所以EF與平面ABC的法線同向，所以角的余弦值為EF在平面ABC上的投影長度與EF長度的比值。設H為EF在平面ABC上的投影，則EH=EFsin∠AEF，而EF=AC/2，AE=√3/2，因此EH=AC/2*sin∠AEF=√3/4*sin∠AEF。又因為BC=1，所以AC=√3/2，因此sin∠AEF=EH/AC=1/2，所以∠AEF=π/6，從而cos∠BEC=sin∠AEF=1/2。20.(1)由等比數列的通項公式可得b1=S1-S2，b2=S2-S3，以此類推，bn=Sn-Sn+1。又因為S3=a1+a2+a3=4+2a1，所以a1=(S3-4)/2。因此an=a1+(n-1)d=(S3-4)/2+(n-1)d，bn=2S3-(2n+1)(S3-4)/2-(n-2)n/2d。令Sn+bn=ksn，則得到d=(S2-S1)/2，a1=0，an=n(S2-S1)/2，bn=S2-Sn，其中S1=0，S2=a1+a2=4，S3=a1+a2+a3=4+2a1=2(S2-2)，所以S4=2S3-4=4(S2-2)-4，以此類推。(2)由題意得S2-S1+b1=S3-S2+b2=S4-S3+b3=...=r，所以S2-S1=b1+r，S3-S2=b2+r，以此類推，Sn-Sn-1=bn+r。因此S1+S2+2b1=2S2-S1，S2+S3+2b2=2S3-S2，以此類推，Sn-1+Sn+2bn=2Sn。將等式兩邊相加得2b1+2b2+...+2bn=S1+Sn，所以b1+b2+...+bn=(S1+Sn)/2。又因為c1+c2+...+cn=a1+a2+...+an=n(S2-S1)/2，所以c1+c2+...+cn=(S2-S1)/2，從而c1+c2+...+cn+b1+b2+...+bn=(S1+Sn)/2+(S2-S1)/2=(Sn+S2)/2。因此c1+c2+...+cn+b1+b2+...+bn+2S1=S2+Sn，即2S1+2S2-4+2an+2bn=S2+Sn。因為S2=4，所以2an+2bn=S2-Sn+4=4-Sn+4=8-Sn。因此2an+2bn+2cn<2n，即2(an+bn+cn)<2n，所以an+bn+cn<n，即c1+c2+...+cn+b1+b2+...+bn<2n。因此c1+c2+...+cn+b1+b2+...+bn+c1+c2+...+cn<2n，即2(c1+c2+...+cn+b1+b2+...+bn)<2n，所以c1+c2+...+cn+b1+b2+...+bn<2n。22.(1)當a>0時，f(x)單調遞增；當a<0時，f(x)單調遞減。因為f(x)>0，所以a>0。當a=1時，f(x)=lnx+x-1，f'(x)=1/x+1，f''(x)=-1/x^2<0，所以f(x)在(0,∞)上單峰。又因為f(1)=0，所以f(x)在(0,1)上單調遞減，在(1,∞)上單調遞增。因此當a=1時，f(x)的單調區間為(0,1]和[1,∞)。當a≠1時，f'(x)=a/x+1，f''(x)=-a/x^2<0，所以f(x)在(0,∞)上單峰。又因為f(1)=0，所以f(x)在(0,1/a)上單調遞減，在(1/a,∞)上單調遞增。因此當a≠1時，f(x)的單調區間為(0,1/a]和[1/a,∞)。當a=-3/4時，f(x)在(0,∞)上單峰，單調區間為(0,4/3]和[4/3,∞)。當a<-3/4或a>0時，f(x)在(0,∞)上單調遞增，單調區間為(0,∞)。當-3/4<a<0時，f(x)在(0,∞)上單調遞減，單調區間為(0,1/a]。(2)對任意x∈(0,∞)，有f(x)>0，所以alnx>-x。因為e^x>1+x，所以x/e^x<1，即aln(x/e^x)<0。因此f(x)=alnx+aln(x/e^x+e^x-1)>alnx-x/e^x，所以a>e^x/(x+e^x)。因此a>1/e，即a∈(1/e,∞)。一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，滿分40分。1.A2.C3.C4.B5.A6.D7.D8.B9.C10.A二、填空題：本題共6小題，多空題每題6分，單空題每題4分，共36分。11.2212.-2,513.1614.12272/51015.15/1616.4/317.0.25三、解答題：本大題共5小題，共74分。18.本題考查三角函數及其恒等變換等基礎知識，同時考查運算求解能力。滿分14分。(1)由于f(x+θ)=sin(x+θ)是偶函數，所以對任意實數x都有sin(x+θ)=sin(-x+θ)，即sinx*cosθ+cosx*sinθ=-sinx*cosθ+cosx*sinθ，故2sinx*cosθ=0，所以cosθ=0。又θ∈[0,2π)，因此θ=π/2或3π/2。(2)y=f((π/2)x+f(πx/12))=sin((π/2)x+sin(πx/12))=sin((π/2)x+sin(πx/6)/2)。因為-1≤sin(πx/6)≤1，所以-1/2≤sin(πx/6)/2≤1/2，所以-π/4≤sin(πx/6)/2≤π/4，所以π/4≤(π/2)x+sin(πx/6)/2≤5π/4。因此，函數的值域是[π/4,5π/4]。19.本題考查空間點、線、面位置關系，直線與平面所成的角等基礎知識，同時考查空間想象能力和運算求解能力。滿分15分。方法一：(1)連接A1E，因為A1A=A1C，E是AC的中點，所以A1E⊥AC。又平面A1ACC1⊥平面ABC，A1E∈平面A1ACC1，平面A1ACC1∩平面ABC=AC，所以A1E⊥平面ABC，則A1E⊥BC。又因為A1F∥AB，∠ABC=90°，故BC⊥A1F。所以BC⊥平面A1EF。因此EF⊥BC。(2)取BC中點G，連接EG，GF，則EGFA1是平行四邊形。由于A1E⊥平面ABC，故A1E⊥EG，所以平行四邊形EGFA1為矩形。由(1)得BC⊥平面EGFA1，則平面A1BC⊥平面EGFA1，所以EF在平面A1BC上的射影在直線A1G上。方法二：(1)連接A1E，因為A1A=A1C，E是AC的中點，所以A1E⊥AC。又平面A1ACC1⊥平面ABC，所以A1E⊥平面ABC，則A1E⊥BC。又因為A1F∥AB，故A1F⊥BC。因此A1EF是一個垂直于BC的平面。(2)取BC中點G，連接EG，GF，則EGFA1是平行四邊形。由于A1E⊥BC，所以A1EGF是一個垂直于BC的平面。因此EF在平面A1EGF上，且在直線A1G上的射影為EF在平面A1BC上的射影。如果G在EF上，則∠EOG是直線EF與平面ABC所成的角或其補角。我們設AC=4，在直角三角形AEG中，角AEG=23度，EG=3。因為O是AG的中點，所以EO=OG=AG/2=15/2。利用勾股定理，我們可以求得EO和OG的長度，然后應用余弦定理求出∠EOG的余弦值為2/5。因此，直線EF與平面ABC所成角的余弦值為3/5。我們可以通過另一種方法來求直線EF與平面ABC所成角的余弦值。首先，連接AE1，因為AE1⊥AC且E是AC的中點，所以AE1⊥BC。又因為平面ACC1⊥平面ABC，所以AE1∈平面ACC1，而平面ACC1∩平面ABC=AC，所以AE1⊥平面ABC。我們可以建立以點E為原點，以射線EC和EA1為y軸和z軸正半軸的直角坐標系。然后，我們可以得到A1(0,0,23)，B(3,1,0)，B1(3,3,23)，F(3,3,23)，C(0,2,0)。因此，EF=(0,1,23)和BC=(-3,1,0)。由于EF·BC=0，所以EF垂直于BC。假設直線EF與平面ABC的夾角為θ，則sinθ=|EF×n|/|EF||n|=3/5，其中n為平面ABC的法向量。因此，直線EF與平面ABC所成角的余弦值為3/5。這道題目主要考察了等差數列、等比數列、數列求和、數學歸納法等基本知識，同時也考察了運算求解能力和綜合應用能力。設數列{an}的公差為d，則由題意可得a1+2d=4，a1+3d=3a1+3d，解得a1=0，d=2。因此，an=2n-2，n∈N。因此，Sn=n(a1+an)/2=n(2a1+(n-1)d)/2=n^2。接下來，我們可以利用等比數列的性質，得到Sn+bn，Sn+1+bn，Sn+2+bn成等比數列，其中bn=2^(n-1)。通過計算，我們可以得到bn=n+n，n∈N。在第二個問題中，我們可以得到cn=an^2-an。題目一：我們用數學歸納法證明不等式：c1+c2+...+cn<2n(n+1)/n(n+1)（i）當n=1時，c1=0<2，不等式成立；（ii）假設n=k(k∈N*)時不等式成立，即c1+c2+...+ck<2k那么，當n=k+1時，c1+c2+...+ck+ck+1<2k+2(k+1)/(k+1)<2k+2=2(k+1)即當n=k+1時不等式也成立。根據（i）和（ii），不等式c1+c2+...+cn<2n對任意n∈N*成立。我們采用數學歸納法證明不等式：c1+c2+...+cn<2n(n+1)/n(n+1)。（i）當n=1時，c1=0<2，因此不等式成立。（ii）假設當n=k(k∈N*)時不等式成立，即c1+c2+...+ck<2k，則當n=k+1時，c1+c2+...+ck+ck+1<2k+2(k+1)/(k+1)<2k+2=2(k+1)因此，當n=k+1時不等式也成立。綜上，不等式c1+c2+...+cn<2n對任意n∈N*成立。題目二：本題考查拋物線的幾何性質、直線與拋物線的位置關系等基礎知識，同時也考查運算求解能力和綜合應用能力。滿分15分。（1）由題意得p=1/2，因此拋物線的準線方程為x=-1/2。（2）設A(xA,yA)，B(xB,yB)，C(xc,yc)，重心G(xG,yG)。令yA=2t(t≠0)，則xA=t(t2-1)/(yA+1)，代入yA=4x，得yA=8t2/(t2-1)。由于直線AB過焦點F，故直線AB方程為x=2t(yB+2)，即yB=-4/t。又由于xG=(xA+xB+xC)/3=4t2/(t2+1)，所以B(2t,-4/t)，C(-t,2)。由于重心G在x軸上，故yG=0，得到yA+yB+yC=6t=0，因此t=0或t=±2。當t=0時，A為拋物線的頂點，此時AB垂直于準線，不符合題意，故舍去。當t=2時，B(4,-1)，C(-2,2)，由于Q在焦點F的右側，故t>2。因此，2|FG|=(t2-1)/|2t|，|QG|=(t2-1)/|2t-2|，令m=t-2，則m>0，S=1+2/(m+4m+3S)，當m=3時，S取得最小值1，此時G(2,1)。本題主要考查拋物線的幾何性質、直線與拋物線的位置關系等基礎知識，同時也考查運算求解能力和綜合應用能力，滿分15分。（1）根據題意，得到p=1/2，因此拋物線的準線方程為x=-1/2。（2）設A(xA,yA)，B(xB,yB)，C(xc,yc)，重心G(xG,yG)。令yA=2t(t≠0)，則xA=t(t2-1)/(yA+1)，代入yA=4x，得到yA=8t2/(t2-1)。由于直線AB過焦點F，故直線AB方程為x=2t(yB+2)，即yB=-4/t。又由于xG=(xA+xB+xC)/3=4t2/(t2+1)，所以B(2t,-4/t)，C(-t,2)。由于重心G在x軸上，故yG=0，得到yA+yB+yC=6t=0，因此t=0或t=±2。當t=0時，A為拋物線的頂點，此時AB垂直于準線，不符合題意，因此舍去。當t=2時，B(4,-1)，C(-2,2)，由于Q在焦點F的右側，故t>2。因此，2|FG|=(t2-1)/|2t|，|QG|=(t2-1)/|2t-2|，令m=t-2，則m>0，S=1+2/(m+4m+3S)，當m=3時，S取得最小值1，此時G(2,1)。題考查了函數的單調性和導數的運算及應用，以及邏輯思維和綜合應用能力。首先，當$a=-\frac{3}{4}$時，$f(x)=-\lnx+1+\frac{x}{4},x>0$。求導后得到$f'(x)=\frac{-3x^2+4x+1}{4x(1+x)^2}$，因此$f(x)$在$(0,3)$上單調遞減，在$(3,+\infty)$上單調遞增。其次，由$f(1)\leq\frac{2}{1+a}$可