三角函數的圖像及性質練習4一、填空題1.已知函數八%)=ASinS(m>0)的最大值為2,最小正周期為8,則八1)+八2)+…+Λ2010)的值等于.π π一2.已知函數f(X)=sin(ωx+φ)(其中ω>0,φ1<2)的圖象與X軸的兩個相鄰交點之間的距離為2,且f(0)=32，則ω=,φ=3．函數y=2cosX—±3sinX的圖象的對稱軸為．4．5．(2010?連云港模擬)若f(X)=aSinX+3cosX是偶函數，則實數a=.已知函數f(X尸-Rinωx+coSωx(ω>0),y=f(X)的圖象與直線y=2的兩個相鄰交點的距離等于π,則f(X)的單調遞增區間是.6．給出下列命題：2π 3…π ... 5π一一①函數y=coS(3X+2)是奇函數；②存在實數α,使得Sinα+coSα=4;③X=8是函數y=Sin(2X+W)的一條π π一..-一對稱軸方程；④函數y=sin(2X+3)的圖象關于點(五，0)成中心對稱圖形.其中正確的序號為．7．2sin"+4cos%的最大值為．8.已知f(X)=sin(ωx+$(ω>0),f(π)=f(3)，且f(X)在區間哈，多有最小值，無最大值，則ω=9.對于函數f(X)=-SinX,SinX≤cosX，給出下列四個命題:CoS%，SinX>cosX①該函數是以∏為最小正周期的周期函數;②當且僅當X=π+kπ(k∈Z)時，該函數取得最小值是一1；5π③該函數的圖象關于X=+2kπ(k∈Z)對稱;4④當且僅當2kπ<X<∏+2kπ(k∈Z)時，0<f(X)≤三2.其中正確命題的序號是(請將所有正確命題的序號都填上).二、解答題(2010?湖北高考)已知函數f(X)=cos(3+%)cos(3-%),g(X)=2sin2X—4.J J 乙 I⑴求函數f(X)的最小正周期；(2)求函數h(X)=f(X)—g(X)的最大值，并求使h(X)取得最大值的X的集合.(2010?天津高考)已知函數f(x)=2?∣'3sinxCoSX+2cos2x—1(x∈R).π⑴求函數f(x)的最小正周期及在區間[0,2]上的最大值和最小值；(2)若f(x0)=6,xχ0∈[π,.，求cos2x0的值.ππ(文)已知函數f(x)=sin(x+%)+sin(x—%)+cosX+a(a為常數)的最大值為1.⑴求常數a的值；(2)求使f(x)≥0成立的x的取值集合；(3)若X∈[0,π],求函數f(x)的值域.答案：.解析：由題意可知，A=2,ω=2∏=∏,84π所以f(x)=2sιnχX,所以f(1)+f(2)+...+f(8)=0,故f(1)+f(2)H——Hf(2010)=f⑴+f(2)=√2+2.答案:2+√2.解析:V函數f(x)與X軸的兩個相鄰交點之間的距離等于其最小正周期的一半且最小正周期T=2∏,12ππ?× =??2×ω2，Λω=2.又二,0)=孚，「.sinφ=宰ππ√lφl<2,「.φ=3.ππ答案：2,§.解析：原式=COS(X+1),令x+π=kπ(k∈Z),貝IJx=kπ-π,k∈Z.Hπ~..π,一答案：X=kπ-3,k∈Z.解析：因為y=sinx是奇函數,而y=cosX是偶函數，所以a=0.答案：0π.解析：f(x)=?13sinωx+cosωx=2sin(ωx+%)(ω>0).?fx)圖象與直線y=2的兩個相鄰交點的距離等于π,2π恰好是f(X)的一個周期，??.^ω^=π,ω=2.f(x)=2sin(2X+π).故其單調增區間應滿足2kπ-π≤2x+π≤2kπ+π(k∈Z).kπ-π≤X≤kπ+∏(k∈Z).ππ答案：[E—3,kπ+%],kRZ.解析：①y=cos(2x+π)?y=-sin3X是奇函數；π 3②由sinα+cosα=?,2sin(α+4)的最大值為,所以存在實數ɑ,使得sinα+cosα=4；③把x=卻代入y=sin(2x+5π)=sin3π=-1,O 4T 乙一π一… 5π… ..一一所以X=π是函數y=sin(2x+5π)的一條對稱軸；④把X=專代入y=sin(2X+或=sinππ=1,JL乙 J 乙所以點啥,0)不是函數y=sin(2x+∏)的對稱中心.JL乙 J綜上所述，只有①②③正確.答案：①②③.解析：2sin2x＋4cosx=2-2cos2X+4cos%=-2(cos2x-2cos%+1-1)+2=-2(cosX-1)2+4.當CoSX=1時，原式有最大值4.答案：4.解析：由f∏)=f∏),知f(X)的圖象關于X=4對稱.且在X=∏處有最小值，πππ.?.4ω+3=2kπ-2,有ω=8k-10(k∈Z).1ππ

又=2T=->^-ππω3-66，.?.ω<6,故k=1kF14

答案：?.解析：畫出函數f(X)的圖象，易知③④正確.答案：③④ππ、.解：(1)?'f(X)=cos(3+X)cos(3-X)-3 1 3言SinX)?(2cosX+^2-SinX)=4cos2%-4sin2%1+cos2X3-3cos2X

?-?=2cos2X-4,fX)的最小正周期為2∏二π.(2)由(1)知h(X)=f(X)-g(X)=2cos2X-2sin2X=辛cos(2X+π),_14,ω=3.1881∏ ∏當2%+彳=2kπ(左2)即％=kπ-石(k∈Z)時，4 8h(%)取得最大值W乙h(%)取得最大值時，對應的％的集合為{%I%=kπ-∏,k∈Z}.8.解：(1)由f(%)=2?l13sin%CoS%+2cos2X-1,得f(%)=?'3(2sin%cos%)+(2cos2X-1)=?ι'3sin2%+cos2%=2sin(2%+6).所以函數f(%)的最小正周期為π.π π因為fX)=2sin(2X+∏)在區間[0,∏]上為增函數，在區間[∏,∏]上為減函數，ππ又f(0)=1,f%)=2,f(2)=-1,所以函數f(%)在區間[0,∏]上的最大值為2,最小值為-1.(2)由(1)可知K%0)=2sin(2%0+∏).又因為f(%0)=5，所以sin(2%0+6)=5.,ππ π2π7π由%0∈[4,2],得2%0+6∈[T，^6].從而cos(2%0+π6)=-??1-sin2(2%0+n)=-4.所以cos2%0=cos[(2%0+π6)-π]ππ ππ3-4V3=cos(2%0+6)cos6+sin(2%0+[)sing=—而—.解：(1)由題知，f(%)=2sin(X+∏)+a.???函數f(%)的最大值為1,.?.2+a=1,即a=-1.π1(2)由(1)及f(X)≥0得，sin(%+6)≥2,ππ5.?2kπ+6≤%+6≤2kπ+6π(k∈Z),即2kπ≤%≤2kπ+3π(k∈Z),2 的取值集合為{%I2EW%W2E+3π,k∈Z}.π(3).f%)=2sm(X+6)-1,且％∈[0,π],ππ7π???6≤%+6≤d，1??,?Π>r?-2≤sιn(%+χ)≤1,?f(X)的值域為[-2,1].(理)已知^ABC中，AC=1,∠,ABC=2∏,∠BAC=x，記f(x)=AB?BC.⑴求函數f(X)的解析式及定義域;(2)設g(%)=6m?f(X)+1,%∈(0,$,是否存在正實數m，使函數g%)的值域為(1,三？若存在，請求出m的值；若不存在，請說明理由.解：(1)由正弦定理得：BC1AB?BC二一12∏sin%,AB二Smy,2π，sin^3^π4π12-.'l3 1?f(X)=AB?BC=AB?BC?cos3=3sinx?sin(3-X)?2=3(2CoSX-2sιn%)?sin%二π13sin(2%+6)-6(0<%<令.(2)g(%)=6m