第六章

理想不可壓縮流體的平面勢流和旋渦運動§1流體微團(tuán)運動法分析§2速度環(huán)量和漩渦強(qiáng)度§3速度勢和流函數(shù)§5基本的平面勢流§6有勢流動疊加§7理想流體的漩渦運動理想流體的流動分有旋運動無旋運動位勢流動：無旋運動由于存在速度勢和流函數(shù)，故又稱位勢流。§6－1流體微團(tuán)運動分析流體微團(tuán)的運動：平移轉(zhuǎn)動變形轉(zhuǎn)動平移變形角變形線變形一.平移如圖：在流場中取一四邊形流體a、b、c、d，經(jīng)過dt時間后該四邊形移到a’、b’、c’d’，形狀、大小沒有變化，僅是平移了一段距離。各點的速度大小和方向沒有變化，即沒有變形和轉(zhuǎn)動。xabcddxdxdydyb’a’c’d’y二.線變形在t時刻a、b、c、d各點的速度如圖，由于各點的速度不同，經(jīng)過Δt時刻后由b點的和d點的作用下，會產(chǎn)生線變形。xabcdyuvb’a’c’d’

定義：單位長度、單位時間內(nèi)線變形稱為線變形率，用ε表示。由定義有：三個方向的線變形討論b點的和d點的作用，經(jīng)時間dt后，由于這兩個速度增量，使原圖形發(fā)生角變形。三.角變形b’a’c’d’ΔαΔβabcdyuv

定義：單位時間內(nèi)ab、cd轉(zhuǎn)過的平均角度稱角變形速度，用θ表示。由定義有：為三個平面內(nèi)的角變形

四.轉(zhuǎn)動：假設(shè)d點和c點的速度增量在x方向是負(fù)的，則經(jīng)過dt時間后，a、b、c、d繞a點轉(zhuǎn)過一個角度d’b’a’c’ΔβΔαabcduv

圖中定義：單位時間內(nèi)轉(zhuǎn)過的平均角度為旋轉(zhuǎn)角速度，以ω表示。代入和

有或當(dāng)稱無旋流或勢流。稱有旋流或渦流。

流體運動是否有旋不能只看其運動軌跡，而要看它是否繞自身軸轉(zhuǎn)動。例：流動是否存在？是否有旋？例：流動是否存在？是否有旋？例：如圖所示，流體各個微團(tuán)以速度解：平行于x軸作直線流動，試確定流動是否有旋。有旋運動。§2速度環(huán)量和旋渦強(qiáng)度一.渦線、渦管1.渦線：與流線概念相似，渦線也是一條曲線，在給定瞬時t，這條曲線每一點的切線與該點流體微團(tuán)的角速度的方向重合。由渦線定義得渦線方程：2.渦管

在給定瞬時，在渦量場中取一不是渦線得封閉曲線，通過曲線上每點做渦線，這些渦線形成一個管狀表面，稱為渦管，渦管中充滿著做旋轉(zhuǎn)運動的流體。沿渦管長度方向旋轉(zhuǎn)角速度是變化的。二.漩渦強(qiáng)度：在渦量場中任取一微元面積，上流體質(zhì)點的旋轉(zhuǎn)角速度向量為，為的法線方向，微元面積上的漩渦強(qiáng)度用表示定義：A對整個表面積A積分,總的漩渦強(qiáng)度為：當(dāng)在A上均布,則有：——稱為渦通量漩渦強(qiáng)度等于2倍的渦通量。三、速度環(huán)量定義：假定某一瞬時，流場中每一點的速度是已知的，AB曲線上任一點的速度為，在該曲線上取一微元段為沿微元線段上的環(huán)量。與之間的夾角為α，則稱αAB曲線AB上的環(huán)量為：

若曲線AB是封閉曲線，則環(huán)量為：Lα將矢量、分別表示：故對封閉周線L的環(huán)量為：環(huán)量是一個標(biāo)量，它的正負(fù)取決于速度方與線積分的方向。當(dāng)速度方向與線積分方向同向時取正，反向時取負(fù)。若是封閉周線，逆時針為正，順時針為負(fù)。

例：不可壓縮流體平面流動的速度分布為，求繞圓的速度環(huán)量。解：積分路徑在圓上，有四、斯托克斯定理

斯托克斯定理：任意面積A上的旋渦強(qiáng)度，等于該面積的邊界L上的速度環(huán)量Γ。Stokeslaw將對渦量的研究轉(zhuǎn)化為對速度環(huán)量的研究。因為線積分比面積分要簡單，且速度場比渦量場容易測得。

1.微元面積的stokeslaw證明：BCDdxdyAxy取一微元矩形的封閉周線，各點速度大小如圖：沿A、B、C、D的速度環(huán)量為由于各點速度不等，取各邊始端點的速度的平均值計算環(huán)量：將各點速度代入整理，有：∴stokes定理得證。（水平面）2.有限單連域的stokeslaw:將微元面積的結(jié)果推廣到有限大面積中。把有限大面積劃分成無數(shù)個微元面積，求出每條邊，然后再求和，內(nèi)周線上的環(huán)量相互抵消，只剩下沿外周界線L的環(huán)量。L

此式即為有限大單連域stokes定理。即：此定理也可用于復(fù)連域：

L1L2AStokeslaw說明，速度環(huán)量Γ不僅可以決定漩渦的存在，還可衡量封閉周線所圍區(qū)域中全部漩渦的總渦強(qiáng)。環(huán)量為零，即總渦強(qiáng)為零；環(huán)量不為零必然存在漩渦。反之，無旋，環(huán)量為零。

問題：沿封閉周線L的環(huán)量Γ為零，是否在所圍面積內(nèi)流體各處都處于無旋狀態(tài)？答：否只有在區(qū)域內(nèi)任一條封閉曲線上的速度環(huán)量皆為零，則區(qū)域內(nèi)的旋渦強(qiáng)度必為零，流動為無旋運動。

例1：證明平行流的環(huán)量為零。流體以定常速度水平運動，在流場中任取一封閉周線1234，求若封閉周線取為圓Γ＝？1234例2：求有間斷面的平行流的速度環(huán)量Γ＝？1234Lbu1u2例3：龍卷風(fēng)的速度分布為

試根據(jù)stokeslaw來判斷是否為有旋流動。時時如圖，當(dāng)，流體以ω象剛體一樣轉(zhuǎn)動，稱風(fēng)眼或強(qiáng)迫渦（渦核）。在區(qū)域，流體繞渦核轉(zhuǎn)動，流體質(zhì)點的運動軌跡是圓但本身并沒有旋轉(zhuǎn)稱之為自由渦或勢渦。自由渦rr0ω強(qiáng)制渦復(fù)合渦分別討論自由渦和強(qiáng)制渦。在區(qū)域內(nèi)任取一點p，過p點做任一封閉曲線ABCD，沿ABCD做環(huán)量:ABCDr1r2r0θpω強(qiáng)制渦：式中為扇形ABCD的面積即有旋由于p是任取的，故這一結(jié)果可推廣到強(qiáng)制渦中任一點，由此可見，強(qiáng)制渦是有旋流。討論自由渦：在區(qū)域內(nèi)任取一點p，過p點做任一封閉曲線ABCD，沿ABCD做環(huán)量ABCDr1r2r0θpω由于ABCD是任取的，故此結(jié)論可推廣到自由渦中任一區(qū)域。結(jié)論：龍卷風(fēng)的風(fēng)眼是有旋的，風(fēng)眼外是無旋的。例：設(shè)二元流的速度為：問：1）流動是否存在？2）流動是否有旋？3）求沿的Γ和該周線所圍面積內(nèi)的漩渦強(qiáng)度。例：已知速度場求以所圍正方形的Γ。1－1－11例：設(shè)在（1，0）點置有Γ＝Γ0的渦，在（－1，0）點置有Γ＝－Γ0的旋渦，求沿下例路線的Γ。＋Γ0－Γ01）2）3）4）§3速度勢和流函數(shù)一、平面流動二、速度勢函數(shù)1.勢函數(shù)φ存在的條件：垂直與z軸的每個平面流動都相同，稱平面流動。對無旋流此條件可寫成：此條件稱柯西—黎曼條件由高數(shù)知識可知，柯西—黎曼條件是使成為某一個函數(shù)全微分的充要條件，即而當(dāng)t為參變量，的全微分為比較兩式有：柱坐標(biāo)

無論流體是否可壓縮，是否定常流只要滿足無旋條件，總有勢函數(shù)存在。故理想流體無旋流也稱勢流。

把稱為速度勢函數(shù)簡稱勢函數(shù)用勢函數(shù)表示速度矢量：2、勢函數(shù)的性質(zhì)

1）流線與等勢面垂直證：令為等勢面，在其上任取一微元線段，上的速度為,求兩者點積

在等勢面上，故即速度與等勢面垂直，由于速度矢量與流線相切，故流線與等勢面垂直。2）勢函數(shù)對任意方向L的偏導(dǎo)數(shù)，等于速度矢量在該方向的的分量。3）φ與Γ之間的關(guān)系

由此可知：在勢流中，沿任意曲線AB的環(huán)量等于曲線兩端點勢函數(shù)的差，與曲線的形狀無關(guān)。

若φ函數(shù)是單值的，則沿任一封閉周線k的速度環(huán)量等于零。4）在不可壓流體中，勢函數(shù)是調(diào)和函數(shù)由連續(xù)性方程：有：滿足拉普拉斯方程的函數(shù)是調(diào)和函數(shù)。

三、流函數(shù)ψ1、流函數(shù)的定義：在不可壓流體的平面流中，應(yīng)滿足即由高數(shù)知識可知，此式是使成為某一個函數(shù)全微分的充要條件，即

而的全微分又可表示為：比較兩式有極坐標(biāo)稱為流函數(shù)。只要流動存在，無論而

是否有旋，是否為理想流體，都必定存在流函數(shù)。2、流函數(shù)的特性：1）流函數(shù)與流線的關(guān)系：的等值線是平面上一條流線。證明：由流線方程：

而即故時c是流線方程的解,它是平面上一條流線。注意：有流動就有流線存在，而流函數(shù)僅存在于平面流動中。2）流函數(shù)與流量Q的關(guān)系：

流過任意曲線的流量等于曲線兩端點流函數(shù)的函數(shù)值之差。

流線ABV由此結(jié)果可知：

兩流線之間流量保持不變，與曲線AB的起始點無關(guān)，若AB本身就是一條流線，則通過AB的流量為零。若AB是一條封閉周線，通過AB的流量也為零。

3）流函數(shù)ψ與勢函數(shù)φ的關(guān)系：對不可壓平面勢流，流函數(shù)和勢函數(shù)同時存在，它們之間關(guān)系是a:b:

等φ線與等ψ線垂直前已證明，流線與等勢面垂直，而的線是流線故等φ線與等ψ線垂直。流網(wǎng)

代入

4）在不可壓平面無旋流中，流函數(shù)也是調(diào)和函數(shù)。對平面無旋流將有：滿足拉普拉斯方程，故是調(diào)和函數(shù)。例1：不可壓縮平面流動的速度勢為，求在點（2，1.5）處速度的大小。解由速度勢的定義求出例2：設(shè)二元流動的速度場為

求1)流動是否存在？是否有旋？

2）φ＝？3）ψ＝？

4）求沿的Γ和該周線所圍面積內(nèi)的漩渦強(qiáng)度。例3：已知流場的流函數(shù)

試問1)是否存在φ？

2）求出通過A(2,3)和B(4,7)任意曲線的流量和沿曲線的環(huán)量Γ。例4：已知試問1)流動是否存在？

2）流動是否有勢？3）ψ＝？φ＝？4）求沿的Γ及通過此曲線的流量Q?！?-4不可壓縮流體平面無旋流動的復(fù)變函數(shù)表示一、復(fù)位勢與流函數(shù)、勢函數(shù)間的對應(yīng)關(guān)系流函數(shù)與勢函數(shù)的關(guān)系這正是柯西-黎曼條件。復(fù)變函數(shù)的理論，和可以組成以復(fù)變量為自變量的一個復(fù)變函數(shù)。它的導(dǎo)數(shù)為被稱為流動的復(fù)位勢，實部為勢函數(shù)，虛部為流函數(shù)。被稱為復(fù)速度，實部為速度在x方向的分量，虛部為速度在y方向的分量的相反數(shù)。二、復(fù)位勢的性質(zhì)1.兩點的復(fù)位勢之差是復(fù)勢，其實部是兩點連線上的速度環(huán)量，虛部是通過兩點連線的流量。2.復(fù)位勢允許加任一復(fù)常數(shù)而不改變所代表的流動。3.兩個不可壓縮流體的平面無旋流動的疊加，仍然為平面無旋流，其復(fù)勢為原兩個復(fù)勢之和。三、勢流疊加原理勢函數(shù)速度§5基本的平面有勢流動勢流疊加原理:由于φ函數(shù)和ψ函數(shù)都是調(diào)和函數(shù)，由調(diào)和函數(shù)的性質(zhì)可知，調(diào)和函數(shù)的線性組合仍是調(diào)和函數(shù)，故可用來描述一個新的有勢流動即φ函數(shù)和ψ函數(shù)可疊加，疊加后仍是無旋流。一、均勻直線流動

平行流有幾種情況：如圖xyyxvuαxyΦ＝cΨ=c討論一般情況：1、速度場可分解成2、φ與ψ由積分有:3、求流線同理:令有解得:流線是斜線斜率是點z相同，有即全流場壓力為常數(shù)如α＝0，流線平行與x軸,如α＝90°流線平行與y軸，4、壓力分布平行流中各點速度相等，任取兩點寫伯努利方程，都有在水平面上，各二、平面點源和點匯點源：單位時間內(nèi)通過一半徑為的圓周流出流量當(dāng)時保持Q不變，則這種流動稱為點源流（若流入，稱點匯），Q稱為點源（匯）強(qiáng)度。1.點源的速度場由與r成反比。為源，為匯。只有徑向流動2.點源勢函數(shù)φ和流函數(shù)ψ由0積分當(dāng)φ＝const，即r=const，等勢線為一族同心圓。當(dāng)，故源點是奇點，不討論。流函數(shù)ψ由0積分ψ＝const為流線，即θ=const，流線是半射線。等φ線與等ψ線正交。3.點源的壓力分布在源上任取一點與無窮遠(yuǎn)處寫能量方程將，代入

有P與r成拋物線正比。rp;rpr0rp三、點渦點渦：無限長的直線渦束所形成的平面流動。除渦線本身有旋外渦線外的流體繞渦線做等速圓周運動且無旋。這種流動也稱純環(huán)流。若設(shè)點渦的強(qiáng)度為則在半徑r處由點渦所誘導(dǎo)的速度為而1.速度分布：因為由環(huán)量定義2.勢函數(shù)φ流函數(shù)ψ：積分令φ＝const，即θ＝const，等勢線是半射線。0同理可求ψ：積分令ψ＝const為流線，即r＝const，流線是圓周線。如圖示。3.壓力分布0此種流動是復(fù)合渦的情況，單獨討論。四：二元渦所謂二元渦就是前面討論的強(qiáng)迫渦加自由渦，也即復(fù)合渦的問題。rr0ω強(qiáng)制渦復(fù)合渦自由渦1.速度分布前面已討論過渦核內(nèi)外的速度分布：

與半徑成正比如圖。由于這部分流體有旋。與半徑r成反比。渦內(nèi)：渦外：在時當(dāng)不變處的為常數(shù)2、壓力分布：自由渦：由于是無旋流動，在自由渦中任取一點與無窮遠(yuǎn)處寫伯努利方程：忽略位能若則將代入在自由渦中p與r成平方關(guān)系,(拋物線）越靠近渦核，壓力越小，當(dāng)時渦核邊緣處與無窮遠(yuǎn)處的壓力差為渦核內(nèi)的壓力分布渦核內(nèi)是有旋的，能量方程只對流線成立，故只能從原始的運動方程入手導(dǎo)出壓力分布，其結(jié)論為：將代入即在渦核內(nèi)壓力分布也是拋物線此時是常數(shù)，若設(shè)渦核中心點為c，當(dāng)漩渦中心點的壓力渦核邊緣與渦核中心的壓降為與自由渦壓降相等由以上推導(dǎo)可知：渦核中心的壓力低于無窮遠(yuǎn)處的壓力，差值為在漩渦區(qū)內(nèi)，壓力急劇下降，在漩渦中心產(chǎn)生一個很大的吸力，對渦外的物體具有抽吸作用?！?有勢流動疊加一、點源流和直線流的疊加1、勢函數(shù)流函數(shù)：為新的有勢流3、駐點：2、速度場令解得駐點在x負(fù)軸上4、流線：令ψ＝c得流線解得流線方程為：當(dāng)給出一個θ角，對應(yīng)一個距離r，如圖駐點過駐點的流線上幾個特殊點的確定：由數(shù)學(xué)知識故過駐點此時最大開口當(dāng)當(dāng)當(dāng)上下對稱由于流線不能相交，此條流線可以模擬有頭無尾的半物體的固體邊界線。二、點渦＋點匯（螺旋流）勢函數(shù)：流函數(shù)：流線方程：

等勢線族和流線族是兩組互相正交的對數(shù)螺旋線族，故稱為螺旋流。三、偶極子流

將強(qiáng)度為－Q的點匯放在坐標(biāo)原點的右邊，強(qiáng)度為Q的點源放在坐標(biāo)原點的左邊，

當(dāng)兩點無限靠近所形成的流動稱偶極流。

1、φ函數(shù)、ψ函數(shù)式中M稱為偶極矩，為常數(shù).分別令φ＝c和ψ=c可得流線和等勢線。如令ψ=c有:解得：這是圓心在y軸上，與原點相切，半徑為的圓，圓心在Φ=cΨ＝cxy這種流動就好像流體在一個圓柱里面流動，故用偶極流來模擬圓柱表面。四、均勻流繞圓柱體無環(huán)量流動將均勻直線流和偶極子疊加,可模擬平行流繞圓柱體的流動.零流線1.流函數(shù)和勢函數(shù)勢函數(shù)流函數(shù)令稱為零流線，有解得：零流線是由x軸和以原點為圓心，半徑為的圓組成，由于流線不能相交，故可把零流線模擬圓柱的固體表面。由有代入φ、ψ表達(dá)式：2、速度場在圓柱面上徑向速度為零，說明流體沒有脫離圓柱表面，緊貼在柱面上。切向速度滿足正弦函數(shù)關(guān)系，與半徑無關(guān)。當(dāng)和時，即

是駐點當(dāng)時，柱面上的速度以x軸y和軸對稱。3、環(huán)量在流場中圍繞圓柱體任取一封閉周線做環(huán)量：故稱平行流繞圓柱的流動為無環(huán)流。4、壓力分布在圓柱面上任取一點與無窮遠(yuǎn)點寫能量方程：式中故用壓力系數(shù)來表示壓力分布與r無關(guān)在柱面上，當(dāng)和時，當(dāng)時，壓力按正弦函數(shù)分布，上下對稱（x軸）左右對稱（y軸），在圓柱面上的合力為零。如圖：箭頭朝外為負(fù)，箭頭朝里為正。在圓柱面上取一微元面積，其上作用的力為，可分解為將代入上兩式積分即在圓柱體上既無垂直來流的升力，也無與來流平行的阻力。這一理論推導(dǎo)的結(jié)果與實際情況矛盾，稱為“達(dá)朗貝爾疑題”。沒有阻力的原因是沒有考慮流體的粘性所引起的摩擦力;沒有升力是由于物體的對稱性，使得流場相對于x軸對稱。五、均勻流繞圓柱體有環(huán)量流動由平行流＋偶極子＋環(huán)流組成,可模擬平行流繞旋轉(zhuǎn)圓柱的流動.1.求φ、ψ勢函數(shù)：流函數(shù)：2.速度場在柱面上徑向速度為零，說明流體沒有脫離柱面，物體表面仍是一條流線。求駐點：令有有如圖三種情況：a.柱面上有兩個駐點

b.柱面上有一個駐點c.柱面上沒有駐點，駐點在流場中。3.壓力分布：在圓柱面上任取一點與無窮遠(yuǎn)點寫能量方程：式中故作用在圓柱上的合力：如圖：即這就是著名的儒可夫斯基升力定理。由此可知繞圓柱的有環(huán)流無阻力但有升力無阻力的原因仍是沒有考慮粘性。有升力的L-圓柱體長度原因是流場相對于x軸不對稱，在圓柱體的上表面，平行流與環(huán)流的速度同向，和速度增加，壓力下降；在圓柱體的下表面，平行流與環(huán)流的速度反向，和速度下降，壓力增加，故作用在圓柱體上有一個向上的力。升力方向的確定：將來流速度的方向逆的方向轉(zhuǎn)90°，即為升力的方向機(jī)翼壓強(qiáng)分布例：直徑為1.2m，長為50m的圓柱體以90r/min繞其軸順時轉(zhuǎn)動，空氣流以80km/h的速度沿與圓柱體軸相垂直的方向繞流柱體。試求速度環(huán)量、升力大小及方向。設(shè)流體是理想流體樹立質(zhì)量法制觀念、提高全員質(zhì)量意識。7月-237月-23Friday,July28,2023人生得意須盡歡，莫使金樽空對月。04:36:0504:36:0504:367/28/20234:36:05AM安全象只弓，不拉它就松，要想保安全，常把弓弦繃。7月-2304:36:0504:36Jul-2328-Jul-23加強(qiáng)交通建設(shè)管理，確保工程建設(shè)質(zhì)量。04:36:0504:36:0504:36Friday,July28,2023安全在于心細(xì)，事故出在麻痹。7月-237月-2304:36:0504:36:05July28,2023踏實肯干，努力奮斗。2023年7月28日4:36上午7月-237月-23追求至善憑技術(shù)開拓市場，憑管理增創(chuàng)效益，憑服務(wù)樹立形象。28七月20234:36:05上午04:36:057月-23嚴(yán)格把控質(zhì)量關(guān)，讓生產(chǎn)更加有保障。七月234:36上午7月-2304:36July28,2023作業(yè)標(biāo)準(zhǔn)記得牢，駕輕就熟除煩惱。