2022年湖南省湘潭市縣梅林中學高三數學文上學期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設為虛數單位，表示復數的共軛復數，若，則（

）A．2i B．－2i C．2 D．－2參考答案：B2.某三棱錐的三視圖如圖所示，該三棱錐的表面積是（

）

A.

B.

C.

D.

參考答案：A3.如圖，在△ABC中，點O是BC的中點，過點O的直線分別交直線AB，AC于不同的兩點M、N，若，，則（

）A.1 B. C.2 D.3參考答案：C【分析】連接AO，因為O為BC中點，可由平行四邊形法則得，再將其用，表示.由M、O、N三點共線可知，其表達式中的系數和，即可求出的值.【詳解】連接AO，由O為BC中點可得，，、、三點共線，，.故選：C.【點睛】本題考查了向量的線性運算，由三點共線求參數的問題，熟記向量的共線定理是關鍵.屬于基礎題.4.若的展開式中，各項系數的和與各項二項式系數的和之比為64，則n=(

)A.4

B.5

C.6

D.7參考答案：C【知識點】二項式定理的應用．J3令中x為1,可得各項系數和為,又展開式的各項二項式系數和為,∵各項系數的和與各項二項式系數的和之比為64,∴,解得n=6,故選：C．【思路點撥】本題對于二項式系數的和可以通過賦值令x=1來求解，而各項二項式系數之和由二項式系數公式可知為，最后通過比值關系為64即可求出n的值．5.

將函數y=sin(2x+)的圖象向左平移個單位，再向上平移2個單位，則所得圖象的函數解析式是(

)

A．y=2cos2(x+)

B．y=2sin2(x+)C．y=2-sin(2x-)

D．y=cos2x參考答案：C6.角α的終邊過點（﹣2，4），則cosα=（）A． B． C． D．參考答案：B【考點】任意角的三角函數的定義．【分析】先求出角α的終邊上的點（﹣2，4）到原點的距離為r，再利用任意角的三角函數的定義求出結果．【解答】解：角α的終邊過點（﹣2，4），，所以，故選：B．【點評】本題考查任意角的三角函數的定義，兩點間的距離公式的應用．7.已知等于

（

）

A．B．C．D．

參考答案：D8.

函數的最小正周期是（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：答案：D9.已知x、y滿足約束條件則目標函數的最大值為 0

3

4

6參考答案：10.已知函數的圖象的一條對稱軸是，則函數的最大值是（

）A．

B．

C．

D．

參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.定義在R上的偶函數f(x)滿足f(x＋1)＝f(1－x)．若當0≤x＜1時，f(x)＝2x，則f(log26)＝_______．參考答案：略12.若，滿足約束條件，目標函數最大值記為，最小值記為，則的值為

.參考答案：13.（理）關于x的實系數一元二次方程x2﹣2px+4=0的兩個虛根z1、z2，若z1、z2在復平面上對應的點是經過原點的橢圓的兩個焦點，則該橢圓的長軸長為

．參考答案：4考點：橢圓的簡單性質．專題：圓錐曲線的定義、性質與方程；數系的擴充和復數．分析：由題意兩個虛數根z1，z2是共軛復數，可得橢圓的短軸長：2b=|z1+z2|=2|p|，焦距為2c=|z1﹣z2|，然后求出長軸長．解答： 解：因為p為實數，p≠0，z1，z2為虛數，所以（﹣2p）2﹣4×4＜0，即p2＜4，解得﹣2＜p＜2．由z1，z2為共軛復數，知Z1，Z2關于x軸對稱，所以橢圓短軸在x軸上，又由橢圓經過原點，可知原點為橢圓短軸的一端點，根據橢圓的性質，復數加，減法幾何意義及一元二次方程根與系數的關系，可得橢圓的短軸長=2b=|z1+z2|=2|p|，焦距2c=|z1﹣z2|==2，長軸長2a=2=2=4，故答案為：4．點評：本題考查復數的基本概念，橢圓的基本性質，是小型綜合題，考查學生分析問題解決問題的能力．14.已知三棱柱的側棱垂直于底面，各項點都在同一球面上，若該棱柱的體積為，，，，則此球的表面積等于

.參考答案：15.已知函數，則不等式的解集為

參考答案：若，由得，解得。若，由得，解得，綜上不等式的解為，即不等式的解集為。16.．在中，，則

.參考答案：3

略17.在平面直角坐標系中，若不等式組（a為常數）所表示的平面區域的面積等于2，則a的值為

。參考答案：3做出平面區域如圖，則的面積為2，所以，即，即，代入得。三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知多面體ABCDEF如圖所示，其中ABCD為矩形，△DAE為等腰等腰三角形，DA⊥AE，四邊形AEFB為梯形，且AE∥BF，∠ABF=90°，AB=BF=2AE=2．（1）若G為線段DF的中點，求證：EG∥平面ABCD；（2）線段DF上是否存在一點N，使得直線BN與平面FCD所成角的余弦值等于？若存在，請指出點N的位置；若不存在，請說明理由．參考答案：【考點】直線與平面所成的角；直線與平面平行的判定．【分析】（1）以B為原點，BA，BF，BC分別為x軸，y軸，z軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，求出平面ABCD的一個法向量，通過，推出，即可證明EG∥平面ABCD．（2）當點N與點D重合時，直線BN與平面FCD所成角的余弦值等于．理由如下：直線BN與平面FCD所成角的余弦值為，即直線BN與平面FCD所成角的正弦值為，求出平面FCD的法向量，設線段FD上存在一點N，使得直線BN與平面FCD所成角的正弦值等于，設，通過向量的數量積，轉化求解λ，推出當N點與D點重合時，直線BN與平面FCD所成角的余弦值為．【解答】解：（1）證明：因為DA⊥AE，DA⊥AB，AB∩AE=A，故DA⊥平面ABFE，故CB⊥平面ABFE，以B為原點，BA，BF，BC分別為x軸，y軸，z軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，則F（0，2，0），D（2，0，1），，E（2，1，0），C（0，0，1），所以，易知平面ABCD的一個法向量，所以，所以，又EG?平面ABCD，所以EG∥平面ABCD．（2）當點N與點D重合時，直線BN與平面FCD所成角的余弦值等于．理由如下：直線BN與平面FCD所成角的余弦值為，即直線BN與平面FCD所成角的正弦值為，因為，設平面FCD的法向量為，由，得，取y1=1得平面FCD的一個法向量假設線段FD上存在一點N，使得直線BN與平面FCD所成角的正弦值等于，設，則，，所以，所以9λ2﹣8λ﹣1=0，解得λ=1或（舍去）因此，線段DF上存在一點N，當N點與D點重合時，直線BN與平面FCD所成角的余弦值為．19.（13分）如圖，正四棱錐S﹣ABCD的底面是邊長為a的正方形，側棱長是底面邊長為倍，O為底面對角線的交點，P為側棱SD上的點．（1）求證：AC⊥SD；（2）F為SD的中點，若SD⊥平面PAC，求證：BF∥平面PAC．參考答案：考點： 直線與平面垂直的性質；直線與平面平行的判定．專題： 證明題；空間位置關系與距離．分析： （Ⅰ）連接SO，可證SO⊥AC，又SO∩BD=O，可證明AC⊥平面SBD，又SD?平面SBD，即可證明AC⊥SD．（Ⅱ）連接OP，可證OP⊥SD，又△SBD中，BD==SB，且F為SD中點，可證BF⊥SD，由OP，BF?平面BDF，可證OP∥BF，又OP?平面ACP，BD?平面ACP，BF?平面PAC，即可證明BF∥平面PAC．解答： 證明：（Ⅰ）連接SO，∵四邊形ABCD為正方形，∴AC⊥BD且O為AC中點，又∵SA=SC

∴SO⊥AC又∵SO∩BD=O，∴AC⊥平面SBD，（5分）又∵SD?平面SBD，∴AC⊥SD．（7分）（Ⅱ）連接OP，∵SD⊥平面ACP，OP?平面ACP，∴OP⊥SD，（9分）又△SBD中，BD==SB，且F為SD中點，∴BF⊥SD，因為OP，BF?平面BDF，所以OP∥BF，（11分）又∵OP?平面ACP，BD?平面ACP，BF?平面PAC，∴BF∥平面PAC．（13分）點評： 本題主要考查了直線與平面平行的判定，以及直線與平面垂直的性質，涉及到的知識點比較多，知識性技巧性都很強，屬于中檔題．20.

已知函數.

(

I)當a=2時，求不等式f(x)≥4的解集；(Ⅱ)若對任意的x∈R，都有，求a的取值范圍．

參考答案：解：（Ⅰ）當時，，……………（2分）當時，，得；當時，，無解；當時，，解得；綜上可知，的解集為.……（5分）（Ⅱ）當時，，故在區間上單調遞減，在區間上單調遞增；故，與題意不符；………………（7分）當時，，故在區間上單調遞減，在區間單調遞增；故，綜上可知，的取值范圍為………（10分）略21.在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且sinCcosB+sinBcosC=3sinAcosB；（1）求cosB的值；（2）若?=2，且b=2，求a+c的值．參考答案：【考點】三角函數中的恒等變換應用；平面向量數量積的運算．【分析】（1）由條件得sin（B+C）=3sinAcosB，再由sin（B+C）=sinA≠0，可得cosB=．（2）由兩個向量的數量積的定義得到ac=6，再由余弦定理可得a2+c2=12，解方程組可求得a和c的值．【解答】解：（1）由sinCcosB+sinBcosC=3sinAcosB，得sin