第11章壓桿穩定11壓桿穩定的概念2臨界力和臨界應力3壓桿的穩定計算4提高壓桿穩定性的措施§11-1壓桿穩定的概念工程中的穩定問題軸向受壓桿的承載能力是依據強度條件確定的。但在實際工程中發現，許多細長的受壓桿件的破壞是在滿足了強度條件情況下發生的。做一個簡單的實驗；取兩根矩形截面的松木條，A=30×5mm，一桿長為20mm，另一桿長為1000mm。若松木的強度極限σb=40MPa，按強度考慮，兩桿的極限承載能力均應為P=40×30×5=6000N。但是，我們給兩桿緩緩施加壓力時會發現，長桿在加到約30N時，桿發生了彎曲，當力再增加時，彎曲迅速增大，桿隨即折斷。而短桿可受力到接近6000N,且在破壞前一直保持著直線形狀。顯然，長桿的破壞不是由于強度不足而引起的。在工程史上，曾發生過不少類似長桿的突然彎曲破壞導致整個結構毀壞的事故。其中最有名的是1907年北美魁北克圣勞倫斯河上的大鐵橋，因桁架中一根受壓弦桿突然彎曲，引起大橋的坍塌。這種細長受壓桿突然破壞，就其性質而言，與強度問題完全不同，經研究后知，它是由于桿件喪失了保持直線形狀的穩定性而造成的。這類破壞稱喪失穩定。桿件招致喪失穩定破壞的壓力比發生強度不足破壞的壓力要小得多。因此，對細長壓桿必須進行穩定性的計算。2.其它的穩定問題狹長矩形截面梁的側向整體失穩薄板的失穩薄壁圓柱筒的失穩拱的失穩3.壓桿的穩定平衡和不穩定平衡穩定平衡與不穩定平衡的概念當P小于某一臨界值Pcr，撤去橫向力后，桿的軸線將恢復其原來的直線平衡形態，壓桿在直線形態下的平衡是穩定平衡。PP(a)Q(b)當P增大到一定的臨界值Pcr，撤去橫向力后，桿的軸線將保持彎曲的平衡形態，而不再恢復其原來的直線平衡形態（圖c），壓桿在原來直線形態下的平衡是不穩定平衡。(c)臨界力（Pcr）的概念中心受壓直桿由穩定平衡轉化為不穩定平衡時所受軸向壓力的臨界值。

壓桿的穩定性：壓桿保持初始直線平衡狀態的能力。壓桿的失穩：壓桿喪失直線形狀的平衡狀態。

§12–2臨界力和臨界應力兩端絞支壓桿的臨界力假定壓力已達到臨界值P=Pcr，桿已經處于微彎狀態如圖。從撓曲線入手，求臨界力。vcrPδx2ll一.歐拉公式mmByx其中I為橫截面的最小形心主慣性矩。令則有二階常系數線性微分方程其通解為A，B，k三個待定常數由該撓曲線的三個邊界條件確定。mmByx

因為臨界力Pcr

是微彎下的最小壓力，故只能取n=1；且桿將繞慣性矩I最小的軸Imin彎曲。令2.不同桿端約束下細長壓桿的臨界應力、壓桿的長度系數推論：在其它約束情況下，臨界力為：為壓桿的長度系數;l

為相當長度。幾種理想的桿端約束情況下壓桿長度系數見表11-1或下圖課堂練習：

圖示各桿材料和截面均相同，問哪根壓桿能忍受的壓力最大，哪根最小？答：圖(d）最大，圖（a)最小提示例11-1：已知一中心受壓柱受力如圖，l=2m，材料的截面為矩形:①bh=20×45mm2,②a=30mm。試求：兩者的臨界力。解：一端固定，一端自由的μ＝2Ply比較（）bhIyPcr

/2045300003.702.2522.540379694.681.782536468755.781.442832.143588007.251.153030675008.331.00直徑D＝33.85644587.951.05作業1P176習題1習題2

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二、歐拉公式的應用范圍壓桿的臨界應力公式（臨界應力歐拉公式）壓桿受臨界力Pcr作用而仍在直線平衡形態下維持穩定的平衡時，橫截面上的壓應力可按=P/A計算。為壓桿橫截面對中性軸的慣性半徑矩形截面的慣性半徑i:圓形截面的慣性半徑i:稱為壓桿的柔度（長細比）。集中地反映了壓桿的長度，桿端約束，截面尺寸和形狀對臨界應力的影響。越大，相應的cr越小，壓桿越容易失穩。若壓桿在不同平面內失穩時的支承約束條件不同，應分別計算在各平面內失穩時的柔度，并按較大者計算壓桿的臨界應力cr。歐拉公式的另外一種表達形式2.歐拉公式的應用范圍只有在cr

P

的范圍內，才可以用歐拉公式計算壓桿的臨界力Pcr（臨界應力cr）。或P

的大小取決于壓桿的力學性能。例如，對于Q235鋼，可取E=206MPa，P=200MPa，得右圖稱為歐拉臨界應力曲線。實線部分是歐拉公式適用范圍的曲線，虛線部分無意義。O三.中長桿的臨界應力、臨界應力總圖1.經驗公式.直線型經驗公式也有適用范圍大柔度桿的分界：2.臨界應力總圖bass-=sl

PPEspl2

=例11-2：一兩端鉸支的圓截面受壓柱d=40mm，①l=1.2m,②l=0.8m,③l=0.5m;試求：三者的臨界力。解：兩端鉸支的μ＝1查表2得：查表2得：a=304,b=1.12例11-2：一兩端鉸支的圓截面受壓柱d=40mm，①l=1.2m,②l=0.8m,③l=0.5m;試求：三者的臨界力。解：兩端鉸支的μ＝1作業2P176習題2

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§12-3壓桿的穩定計算－穩定條件安全系數法確定容許應力:取穩定安全系數為nst,以表示穩定許用應力，則：為了防止壓桿失穩，則必須使壓桿的工作應力小于或等于許用應力，即：

壓桿的強度條件

(強度許用應力)

:穩定系數,主要與柔度λ有關，見表11-3穩定計算穩定校核：確定許可荷載：截面設計：（試算法）假定一折減系數值(0與1之間)，由穩定條件計算所需要的截面面積A，然后計算出壓桿的長細比λ，根據壓桿的長細比查表得到折減系數，再驗算是否滿足穩定條件。如果不滿足，則應重新假定折減系數．重復上述過程，直到滿足穩定條件為止。例11-3如圖所示，構架由兩根直徑相同的圓桿構成，桿的材料為Q235鋼，直徑d=20mm，材料的許用應力[σ]=170MPa，已知h=0.4m。試校核二桿的穩定性。解：（1）求二桿的軸力：滿足穩定條件(4)穩定校核(插值法)【課堂練習】

一圓木柱高l=6m,直徑D=20cm，兩端鉸支，承受軸向荷載P=50kN,試校核其穩定性，許用應力解:滿足穩定條件例11-4

截面為I40a的壓桿，材料為16Mn鋼，桿長l＝5.6m，在xz平面內失穩