北師大版八年級數學下冊教案書目第一章一元一次不等式與一元一次不等式組1不等關系2不等式的根本性質3不等式的解集4一元一次不等式5一元一次不等式與一次函數6一元一次不等式組第二章分解因式1分解因式2提公因式法3運用公式法第三章分式1分式2分式的乘除法3分式的加減法4分式方程第四章相像圖形1線段的比2黃金分割3形態一樣的圖形4相像多邊形5相像三角形6探究三角形相像的條件7測量旗桿的高度8相像多邊形的性質9圖形的放大與縮小第五章數據的搜集與處理1每周干家務活的時間2數據的搜集3頻數與頻率4數據的波動第六章證明（一）1你能確定嗎2定義與命題3為什么他們平行4假設兩條直線平行5三角形內角與定理的證明6關注三角形的外角第一章一元一次不等式與一元一次不等式組1.1不等關系一、教學目的：理解實數范圍內代數式的不等關系，并會進展表示。可以根據詳細的事例列出不等關系式。二、教學過程：如圖：用兩根長度均為Lcm的繩子，各位成正方形與圓。（1）假設要使正方形的面積不大于25㎝2，則繩長L應當滿意怎樣的關系式？（2）假設要使原的面積大于100㎝2，則繩長L應滿意怎樣的關系式？（3）當L=8時，正方形與圓的面積哪個大？L=12呢？（4）由（3）你能發覺什么？變更L的取值再試一試。在上面的問題中，所謂成的正方形的面積可以表示為（L/4）2，遠的面積可以表示為π（L/2π）2。（1）要是正方形的面積不大于25㎝2，就是（L/4）2≤25，即L2/16≤25。（2）要使原的面積大于100㎝2，就是π（L/2π）2＞100 即L2/4π＞100。（3）當L=8時，正方形的面積為82/16=6，圓的面積為82/4π≈5.1，4＜5.1此時圓的面積大。當L=12時，正方形的面積為122/16=9，圓的面積為122/4π≈11.5，9＜11.5，此時還是圓的面積大。老師得出結論（4）由（3）可以發覺，無論繩長L取何值，圓的面積總大于正方形的面積，即L2/4π＞L2/16。隨堂練習1、試舉幾個用不等式表示的例子。2、用適當的符號表示下列關系（1）a是非負數；（2）直角三角形斜邊c比她的兩直角邊a，b都長；（3）x于17的與比它的5倍小。1.2不等式的根本性質一、教學目的（1）探究并駕馭不等式的根本性質；（2）理解不等式與等式性質的聯絡與區分.二、教學內容我們學習了等式，并駕馭了等式的根本性質，大家還記得等式的根本性質嗎？等式的根本性質1：在等式的兩邊都加上（或減去）同一個數或整式，所得的結果仍是等式.根本性質2：在等式的兩邊都乘以或除以同一個數（除數不為0），所得的結果仍是等式.1.不等式根本性質的推導例∵3＜5∴3+2＜5+23－2＜5－23+a＜5+a3－a＜5－a所以，在不等式的兩邊都加上（或減去）同一個整式，不等號的方向不變.例：3＜43×3＜4×33×＜4×3×（－3）＞4×（－3）3×（－）＞4×（－）3×（－5）＞4×（－5）由此看來，在不等式的兩邊同乘以一個正數時，不等號的方向不變；在不等式的兩邊同乘以一個負數時，不等號的方向變更.三、課堂練習1.將下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式.（1）x－1＞2（2）－x＜解：（1）根據不等式的根本性質1，兩邊都加上1，得x＞3（2）根據不等式的根本性質3，兩邊都乘以－1，得x＞－2.已知x＞y,下列不等式確定成立嗎？（1）x－6＜y－6;（2）3x＜3y;（3）－2x＜－2y.解：（1）∵x＞y,∴x－6＞y－6.∴不等式不成立；（2）∵x＞y,∴3x＞3y∴不等式不成立；（3）∵x＞y,∴－2x＜－2y∴不等式確定成立.4.根據不等式的根本性質，把下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式：（1）x－2＜3;（2）6x＜5x－1;（3）x＞5;（4）－4x＞3.5.設a＞b.用“＜”或“＞”號填空.（1）a－3b－3;（2）;（3）－4a－4b;（4）5a5（5）當a＞0,b0時，ab＞0;（6）當a＞0,b0時，ab＜0;（7）當a＜0,b0時，ab＞0;（8）當a＜0,b0時，ab＜0.參考答案：4.（1）x＜5;（2）x＜－1;（3）x＞10;（4）x＜－.5（1）＞（2）＞（3）＜（4）＞（5）＞（6）＜（7）＜（8）＞.1.3不等式的解集一、教學目的1.可以根據詳細問題中的大小關系理解不等式的意義.2.理解不等式的解、不等式的解集、解不等式這些概念的含義.3.會在數軸上表示不等式的解集.二、教學過程1.現實生活中的不等式.燃放某種禮花彈時，為了確保平安，人在點燃導火線后要在燃放前轉移到10m以外的平安區域.已知導火線的燃燒速度為以0.02m/s，人分開的速度為4m/s，則導火線的長度應為多少厘米？分析：人轉移到平安區域須要的時間最少為秒，導火線燃燒的時間為秒，要使人轉移到平安地帶，必需有：＞.解：設導火線的長度應為xcm，根據題意，得∴x＞5.2.想一想（1）x=5,6,8能使不等式x＞5成立嗎？（2）你還能找出一些使不等式x＞5成立的x的值嗎？答：（1）x=5不能使x＞5成立，x=6,8能使不等式x＞5成立.（2）x=9,10,11…等比5大的數都能使不等式x＞5成立.3.例題講解根據不等式的根本性質求不等式的解集，并把解集在數軸上表示出來.（1）x－2≥－4;（2）2x≤8（3）－2x－2＞－10解：（1）根據不等式的根本性質1，兩邊都加上2，得x≥－2在數軸上表示為：（2）根據不等式的根本性質2，兩邊都除以2，得x≤4在數軸上表示為：（3）根據不等式的根本性質1，兩邊都加上2，得－2x＞－8根據不等式的根本性質3，兩邊都除以－2，得x＜4 在數軸上表示為：三、課堂練習1.推斷正誤：（1）不等式x－1＞0有多數個解；（2）不等式2x－3≤0的解集為x≥.2.將下列不等式的解集分別表示在數軸上：（1）x＞4;（2）x≤－1;（3）x≥－2;（4）x≤6.1.解：（1）∵x－1＞0,∴x＞1∴x－1＞0有多數個解.∴正確.（2）∵2x－3≤0,∴2x≤3,∴x≤,∴結論錯誤.2.解：1.4一元一次不等式一、教學目的1.知道什么是一元一次不等式？2.會解一元一次不等式.二、一元一次不等式的定義.下列不等式是一元一次不等式嗎？（1）2x－2.5≥15;（2）5+3x＞240;（3）x＜－4;（4）＞1.答（1）、（2）、（3）中的不等式是一元一次不等式，（4）不是.（4）為什么不是呢？因為x在分母中，不是整式.不等式的兩邊都是整式，只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是1，這樣的不等式，叫做一元一次不等式（linearinequalitywithoneunknown）.2.一元一次不等式的解法.例1解不等式3－x＜2x+6，并把它的解集表示在數軸上.［分析］要化成“x＞a”或“x＜a”的形式，首先要把不等式兩邊的x或常數項轉移到同一側，變成“ax＞b”或“ax＜b”的形式，再根據不等式的根本性質求得.解：兩邊都加上x，得3－x+x＜2x+6+x合并同類項，得3＜3x+6兩邊都加上－6,得3－6＜3x+6－6合并同類項，得－3＜3x兩邊都除以3，得－1＜x即x＞－1.這個不等式的解集在數軸上表示如下：下面大家仿照上面的步驟練習一下解一元一次不等式.［例2］解不等式≥，并把它的解集在數軸上表示出來.［生］解：去分母，得3（x－2）≥2（7－x）去括號，得3x－6≥14－2x移項，合并同類項，得5x≥20兩邊都除以5，得x≥4.這個不等式的解集在數軸上表示如下：三、課堂練習解下列不等式，并把它們的解集分別表示在數軸上：（1）5x＞－10;（2）－3x+12≤0;（3）＜;（4）－1＜.解：（1）兩邊同時除以5，得x＞－2.這個不等式的解集在數軸上表示如下：（2）移項，得－3x≤－12,兩邊都除以－3，得x≥4,這個不等式的解集在數軸上表示為：（3）去分母，得3（x－1）＜2（4x－5）,去括號，得3x－3＜8x－10,移項、合并同類項，得5x＞7,兩邊都除以5，得x＞,不等式的解集在數軸上表示為：（4）去分母，得x+7－2＜3x+2,移項、合并同類項，得2x＞3,兩邊都除以2，得x＞,不等式的解集在數軸上表示如下：1.5一元一次不等式與一次函數一、教學目的1.一元一次不等式與一次函數的關系.2.會根據題意列出函數關系式，畫出函數圖象，并利用不等關系進展比擬.二、教學過程1.一元一次不等式與一次函數之間的關系.作出函數y=2x－5的圖象，視察圖象答復下列問題.（1）x取哪些值時，2x－5=0（2）x取哪些值時，2x－5＞0（3）x取哪些值時，2x－5＜0（4）x取哪些值時，2x－5＞3（1）當y=0時，2x－5=0,∴x=,∴當x=時，2x－5=0.（2）要找2x－5＞0的x的值，也就是函數值y大于0時所對應的x的值，從圖象上可知，y＞0時，圖象在x軸上方，圖象上任一點所對應的x值都滿意條件，當y=0時，則有2x－5=0,解得x=.當x＞時，由y=2x－5可知y＞0.因此當x＞時，2x－5＞0;（3）同理可知，當x＜時，有2x－5＜0;（4）要使2x－5＞3,也就是y=2x－5中的y大于3，則過縱坐標為3的點作一條直線平行于x軸，這條直線與y=2x－5相交于一點B（4，3），則當x＞4時，有2x－5＞3.3.試一試假設y=－2x－5,則當x取何值時，y＞0首先要畫出函數y=－2x－5的圖象，如圖從圖象上可知，圖象在x軸上方時，圖象上每一點所對應的y的值都大于0，而每一個y的值所對應的x的值都在A點的左側，即為小于－2.5的數，由－2x－5=0,得x=－2.5,所以當x取小于－2.5的值時，y＞0.三、課堂練習1.已知y1=－x+3,y2=3x－4,當x取何值時，y1＞y2？你是怎樣做的？與同伴溝通.解：如圖1－24所示：當x取小于的值時，有y1＞y2.2.作出函數y1=2x－4與y2=－2x+8的圖象，并視察圖象答復下列問題：（1）x取何值時，2x－4＞0？（2）x取何值時，－2x+8＞0（3）x取何值時，2x－4＞0與－2x+8＞0同時成立？（4）你能求出函數y1=2x－4，y2=－2x+8的圖象與x軸所圍成的三角形的面積嗎？并寫出過程.解：圖象如下：分析：要使2x－4＞0成立，就是y1=2x－4的圖象在x軸上方的全部點的橫坐標的集合，同理使－2x+8＞0成立的x，即為函數y2=－2x+8的圖象在x軸上方的全部點的橫坐標的集合，要使它們同時成立，即求這兩個集合中公共的x，根據函數圖象與x軸交點的坐標可求出三角形的底邊長，由兩函數的交點坐標可求出底邊上的高，從而求出三角形的面積.［解］（1）當x＞2時，2x－4＞0;（2）當x＜4時，－2x+8＞0;（3）當2＜x＜4時，2x－4＞0與－2x+8＞0同時成立.（4）由2x－4=0,得x=2;由－2x+8=0,得x=4所以AB=4－2=2由得交點C（3，2）所以三角形ABC中AB邊上的高為2.所以S=×2×2=2.3.分別解不等式5x－1＞3（x+1）,x－1＜7－x所得的兩個解集的公共局部是什么？解：解不等式5x－1＞3（x+1）,得x＞2解不等式x－1＜7－x，得x＜4,所以兩個解集的公共局部是2＜x＜4.4.某商場安排投入一筆資金選購 一批緊俏商品，經過市場調查發覺：假設月初出售，可獲利15%，并可用本與利再投資其他商品，到月末又可獲利10%；假設月末出售可獲利30%，但要付出倉儲費用700元.請問根據商場的資金狀況，如何購銷獲利較多？解：設商場安排投入資金為x元，在月初出售，到月末共獲利y1元；在月末一次性出售獲利y2元，根據題意，得y1=15%x+（x+15%x）·10%=0.265x,y2=30%x－700=0.3x－700.（1）當y1＞y2,即0.265x＞0.3x－700時，x＜20000;（2）當y1=y2,即0.265x=0.3x－700時，x=20000;（3）當y1＜y2，即0.265x＜0.3x－700時，x＞20000.所以，當投入資金不超過20000元時，第一種銷售方式獲利較多；當投入資金超過20000元時，第二種銷售方式獲利較多.5.某醫院討論發覺了一種新藥，在試驗藥效時發覺，假設成人按規定劑量服用，則服藥后2小時時血液中含藥量最高，達每毫升6微克（1微克=10－3毫克），接著逐步衰減，10小時時血液中含藥量為每毫升3毫克，每毫升血液中含藥量y（微克），隨著時間x（小時）的變更如圖所示（成人按規定服藥后）.（1）分別求出x≤2與x≥2時，y與x之間的函數關系式；（2）根據圖象視察，假設每毫升血液中含藥量為4微克或4微克以上，在治療疾病時是有效的，則這個有效時間是多少？解：（1）當x≤2時，圖象過（0，0），（2，6）點，設y1=k1x,把（2，6）代入得，k1=3∴y1=3x.當x≥2時，圖象過（2，6），（10，3）點.設y2=k2x+b,則有得k2=－,b=∴y2=－x+（2）過y軸上的4點作平行于x軸的一條直線，于y1,y2的圖象交于兩點，過這兩點向x軸作垂線,對應x軸上的與，即在－=6小時間是有效的.1.6一元一次不等式組一、教學目的總結解一元一次不等式組的步驟與情形.二、教學過程某校今年冬季燒煤取暖時間為4個月。假設每月比安排多燒5噸煤，則取暖用煤總量將超過100噸；假設每月比安排少燒5噸煤，則取暖用煤總量缺乏68噸。該校安排每月燒煤多少噸？解：設該校安排每月燒煤x噸，根據題意，得4（x+5）>100,（1）且4（x-5）<68.（2）未知數x同時滿意（1）（2）兩個條件，把（1）（2）兩個不等式合在一起，就組成一個一元一次不等式組，記作4（x+5）>100,4（x-5）<68.一般地，關于同一未知數的幾個一元一次不等式合在一起，就組成了一個一元依次不等式組。解下列不等式組（1）（2）（3）（4）（1）解：解不等式（1），得x＞1解不等式（2），得x＞－4.在同一條數軸上表示不等式（1），（2）的解集如下圖所以，原不等式組的解集是x＞1（2）解：解不等式（1），得x＜解不等式（2），得x＜在同一條數軸上表示不等式（1），（2）的解集.如下圖所以，原不等式組的解集是x＜（3）解：解不等式（1），得x＞解不等式（2），得x≤4.在同一條數軸上表示不等式（1），（2）的解集，如下圖所以，原不等式組的解集為＜x≤4.（4）解：解不等式（1），得x＞4.解不等式（2），得x＜3.在同一條數軸上表示不等式（1），（2）的解集如下圖所以，原不等式組的解集為無解.我們從每個不等式的解集，到這個不等式組的解集，細致視察，互相溝通，找出規律.（1）由得x＞1;（2）由;（3）由得＜x≤4;（4）由得，無解.兩個一元一次不等式所組成的不等式組的解集有以下四種情形.設a＜b,則（1）不等式組的解集是x＞b;（2）不等式組的解集是x＜a;（3）不等式組的解集是a＜x＜b;（4）不等式組的解集是無解.用語言簡潔表述為：同大取大；同小取小；大于小數小于大數取中間；大于大數小于小數無解.三、課堂練習解下列不等式組（1）（2）［解］（1）解不等式（1），得x＜2解不等式（2），得x＞3在同一數軸上表示不等式（1）、（2）的解集，所以，原不等式組無解.（2）解：解不等式（1），得x＞2解不等式（2），得x＞3在同一數軸上表示不等式（1），（2）的解集，如下圖所以，原不等式組的解集為x＞3.第二章分解因式2.1分解因式一、教學目的讓學生理解多項式公因式的意義，初步會用提公因式法分解因式.二、教學過程一塊場地由三個矩形組成，這些矩形的長分別為，，，寬都是,求這塊場地的面積.解法一：S=×+×+×=++=2解法二：S=×+×+×=（++）=×4=21.公因式與提公因式法分解因式的概念.把多項式ma+mb+mc寫成m與（a+b+c）的乘積的形式，相當于把公因式m從各項中提出來，作為多項式ma+mb+mc的一個因式，把m從多項式ma+mb+mc各項中提出后形成的多項式（a+b+c），作為多項式ma+mb+mc的另一個因式，這種分解因式的方法叫做提公因式法.2.例題講解［例1］將下列各式分解因式：（1）3x+6;（2）7x2－21x;（3）8a3b2－12ab3c（4）－24x3－12x2+28x.分析：首先要找出各項的公因式，然后再提取出來.解：（1）3x+6=3x+3×2=3（x+2）;（2）7x2－21x=7x·x－7x·3=7x（x－3）;（3）8a3b2－12ab3c=8a2b·ab－12b2c·ab+ab=ab（8a2b－12b2c+（4）－24x3－12x2+28x=－4x（6x2+3x－7）三、課堂練習1.寫出下列多項式各項的公因式.（1）ma+mb（m）（2）4kx－8ky（4k）（3）5y3+20y2（5y2）（4）a2b－2ab2+ab（ab）2.把下列各式分解因式（1）8x－72=8（x－9）（2）a2b－5ab=ab（a－5）（3）4m3－6m2=（4）a2b－5ab+9b=b（a2－5a（5）－a2+ab－ac=－（a2－ab+ac）=－a（a－b+c）（6）－2x3+4x2－2x=－（2x3－4x2+2x）=－2x（x2－2x+1）四、課后作業1.解：（1）2x2－4x=2x（x－2）;（2）8m2n+2mn=2mn（（3）a2x2y－axy2=axy（ax－y）;（4）3x3－3x2－9x=3x（x2－x－3）;（5）－24x2y－12xy2+28y3=－（24x2y+12xy2－28y3）=－4y（6x2+3xy－7y2）;（6）－4a3b3+6a2b=－（4a3b3－6a2b+2=－2ab（2a2b2－3（7）－2x2－12xy2+8xy3=－（2x2+12xy2－8xy3）=－2x（x+6y2－4y3）;（8）－3ma3+6ma2－12ma=－（3ma3－6ma2+12ma）=－3ma（a2－2a2.利用因式分解進展計算（1）121×0.13+12.1×0.9－12×1.21=12.1×1.3+12.1×0.9－1.2×12.1=12.1×（1.3+0.9－1.2）=12.1×1=12.1（2）2.34×13.2+0.66×13.2－26.4=13.2×（2.34+0.66－2）=13.2×1=13.2（3）當R1=20,R2=16,R3=12,π=3.14時πR12+πR22+πR32=π（R12+R22+R32）=3.14×（202+162+122）=25122.2提公因式法一、教學目的讓學生理解多項式公因式的意義，初步會用提公因式法分解因式.例1把a（x－3）+2b（x－3）分解因式.分析：這個多項式整體而言可分為兩大項，即a（x－3）與2b（x－3），每項中都含有（x－3）,因此可以把（x－3）作為公因式提出來.解：a（x－3）+2b（x－3）=（x－3）（a+2b）［例2］把下列各式分解因式:（1）a（x－y）+b（y－x）;（2）6（m－n）3－12（n－m）2.分析：雖然a（x－y）與b（y－x）看上去沒有公因式，但細致視察可以看出（x－y）與（y－x）是互為相反數，假設把其中一個提取一個“－”號，則可以出現公因式，如y－x=－（x－y）.（m－n）3與（n－m）2也是如此.解：（1）a（x－y）+b（y－x）=a（x－y）－b（x－y）=（x－y）（a－b）（2）6（m－n）3－12（n－m）2=6（m－n）3－12［－（m－n）］2=6（m－n）3－12（m－n）2=6（m－n）2（m－n－2）.二、做一做請在下列各式等號右邊的括號前填入“+”或“－”號，使等式成立:（1）2－a=__________（a－2）;（2）y－x=__________（x－y）;（3）b+a=__________（a+b）;（4）（b－a）2=__________（a－b）2;（5）－m－n=__________－（m+n）;（6）－s2+t2=__________（s2－t2）.解：（1）2－a=－（a－2）;（2）y－x=－（x－y）;（3）b+a=+（a+b）;（4）（b－a）2=+（a－b）2;（5）－m－n=－（m+n）;（6）－s2+t2=－（s2－t2）.三、課堂練習把下列各式分解因式：解：（1）x（a+b）+y（a+b）=（a+b）（x+y）;（2）3a（x－y）－（x－y=（x－y）（3a（3）6（p+q）2－12（q+p）=6（p+q）2－12（p+q）=6（p+q）（p+q－2）;（4）a（m－2）+b（2－m）=a（m－2）－b（m－2）=（m－2）（a－b）;（5）2（y－x）2+3（x－y）=2［－（x－y）］2+3（x－y）=2（x－y）2+3（x－y）=（x－y）（2x－2y+3）;（6）mn（m－n）－m（n－m）2=mn（m－n）－m（m－n）2=m（m－n）［n－（m－n）］=m（m－n）（2n－m）.補充練習把下列各式分解因式解：1.5（x－y）3+10（y－x）2=5（x－y）3+10（x－y）2=5（x－y）2［（x－y）+2］=5（x－y）2（x－y+2）;2.m（a－b）－n（b－a）=m（a－b）+n（a－b）=（a－b）（m+n）;3.m（m－n）+n（n－m）=m（m－n）－n（m－n）=（m－n）（m－n）=（m－n）2;4.m（m－n）（p－q）－n（n－m）（p－q）=m（m－n）（p－q）+n（m－n）（p－q）=（m－n）（p－q）（m+n）;5.（b－a）2+a（a－b）+b（b－a）=（b－a）2－a（b－a）+b（b－a）=（b－a）［（b－a）－a+b］=（b－a）（b－a－a+b）=（b－a）（2b－2a=2（b－a）（b－a）=2（b－a）22.3運用公式法（一）一、教學目的1.使學生理解運用公式法分解因式的意義；2.使學生駕馭用平方差公式分解因式.3.使學生理解，提公因式法是分解因式的首先考慮的方法，再考慮用平方差公式分解因式.二、教學過程1.請看乘法公式（a+b）（a－b）=a2－b2 （1）左邊是整式乘法，右邊是一個多項式，把這個等式反過來就是a2－b2=（a+b）（a－b） （2）左邊是一個多項式，右邊是整式的乘積.利用平方差公式進展的因式分解.第（1）個等式可以看作是整式乘法中的平方差公式，第（2）個等式可以看作是因式分解中的平方差公式.2.公式講解視察式子a2－b2,找出它的特點.答：是一個二項式，每項都可以化成整式的平方，整體來看是兩個整式的平方差.假設一個二項式，它可以化成兩個整式的平方差，就可以用平方差公式分解因式，分解成兩個整式的與與差的積.如x2－16=（x）2－42=（x+4）（x－4）.9m2－4n2=（3m）2－（2n=（3m+2n）（3m－23.例題講解［例1］把下列各式分解因式：（1）25－16x2;（2）9a2－b2.解：（1）25－16x2=52－（4x）2=（5+4x）（5－4x）;（2）9a2－b2=（3a）2－（b）2=（3a+b）（3a－b）.［例2］把下列各式分解因式:（1）9（m+n）2－（m－n）2;（2）2x3－8x.解：（1）9（m+n）2－（m－n）2=［3（m+n）］2－（m－n）2=［3（m+n）+（m－n）］［3（m+n）－（m－n）］=（3m+3n+m－n）（3m+3n－m+=（4m+2n）（2m+4=4（2m+n）（m+2n（2）2x3－8x=2x（x2－4）=2x（x+2）（x－2）說明：例1是把一個多項式的兩項都化成兩個單項式的平方，利用平方差公式分解因式；例2的（1）是把一個二項式化成兩個多項式的平方差，然后用平方差公式分解因式，例2的（2）是先提公因式，然后再用平方差公式分解因式，由此可知，當一個題中既要用提公因式法，又要用公式法分解因式時，首先要考慮提公因式法，再考慮公式法.三、課堂練習1.推斷正誤解：（1）x2+y2=（x+y）（x－y）; （×）（2）x2－y2=（x+y）（x－y）; （√）（3）－x2+y2=（－x+y）（－x－y）; （×）（4）－x2－y2=－（x+y）（x－y）. （×）2.把下列各式分解因式解：（1）a2b2－m2=（ab）2－m2=（ab+m）（ab－m）;（2）（m－a）2－（n+b）2=［（m－a）+（n+b）］［（m－a）－（n+b）］=（m－a+n+b）（m－a－n－b）;（3）x2－（a+b－c）2=［x+（a+b－c）］［x－（a+b－c）］=（x+a+b－c）（x－a－b+c）;（4）－16x4+81y4=（9y2）2－（4x2）2=（9y2+4x2）（9y2－4x2）=（9y2+4x2）（3y+2x）（3y－2x）3.解：S剩余=a2－4b2.當a=3.6,b=0.8時，S剩余=3.62－4×0.82=3.62－1.62=5.2×2=10.4（cm2）答：剩余局部的面積為10.4cm2.四、課后作業1.解：（1）a2－81=（a+9）（a－9）;（2）36－x2=（6+x）（6－x）;（3）1－16b2=1－（4b）2=（1+4b）（1－4b）;（4）m2－9n2=（m+3n）（m－3n）;（5）0.25q2－121p2=（0.5q+11p）（0.5q－11p）;（6）169x2－4y2=（13x+2y）（13x－2y）;（7）9a2p2－b2q=（3ap+bq）（3ap－bq）;（8）a2－x2y2=（a+xy）（a－xy）;2.解：（1）（m+n）2－n2=（m+n+n）（m+n－n）=m（m+2n）;（2）49（a－b）2－16（a+b）2=［7（a－b）］2－［4（a+b）］2=［7（a－b）+4（a+b）］［7（a－b）－4（a+b）］=（7a－7b+4a+4b）（7a－7b－4=（11a－3b）（3a－11（3）（2x+y）2－（x+2y）2=［（2x+y）+（x+2y）］［（2x+y）－（x+2y）］=（3x+3y）（x－y）=3（x+y）（x－y）;（4）（x2+y2）－x2y2=（x2+y2+xy）（x2+y2－xy）;（5）3ax2－3ay4=3a（x2－y4=3a（x+y2）（x－y2（6）p4－1=（p2+1）（p2－1）=（p2+1）（p+1）（p－1）.3.解：S環形=πR2－πr2=π（R2－r2）=π（R+r）（R－r）當R=8.45,r=3.45，π=3.14時，S環形=3.14×（8.45+3.45）（8.45－3.45）=3.14×11.9×5=186.83（cm2）答：兩圓所圍成的環形的面積為186.83cm2.Ⅵ.活動與探究把（a+b+c）（bc+ca+ab）－abc分解因式解：（a+b+c）（bc+ca+ab）－abc=［a+（b+c）］［bc+a（b+c）］－abc=abc+a2（b+c）+bc（b+c）+a（b+c）2－abc=a2（b+c）+bc（b+c）+a（b+c）2=（b+c）［a2+bc+a（b+c）］=（b+c）［a2+bc+ab+ac］=（b+c）［a（a+b）+c（a+b）］=（b+c）（a+b）（a+c）運用公式法（二）一、教學目的1.使學生會用完全平方公式分解因式.2.使學生學習多步驟，多方法的分解因式.二、教學過程在前面我們不僅學習了平方差公式（a+b）（a－b）=a2－b2而且還學習了完全平方公式（a±b）2=a2±2ab+b2三、新課推斷一個多項式是否為完全平方式，要考慮三個條件，項數是三項；其中有兩項同號且能寫成兩個數或式的平方；另一項是這兩數或式乘積的2倍.1.例題講解［例1］把下列完全平方式分解因式：（1）x2+14x+49;（2）（m+n）2－6（m+n）+9.［師］分析：大家先把多項式化成符合完全平方公式特點的形式，然后再根據公式分解因式.公式中的a,b可以是單項式，也可以是多項式.解：（1）x2+14x+49=x2+2×7x+72=（x+7）2（2）（m+n）2－6（m+n）+9=（m+n）2－2·（m+n）×3+32=［（m+n）－3］2=（m+n－3）2.［例2］把下列各式分解因式：（1）3ax2+6axy+3ay2;（2）－x2－4y2+4xy.［師］分析：對一個三項式，假設發覺它不能干脆用完全平方公式分解時，要細致視察它是否有公因式，若有公因式應先提取公因式，再考慮用完全平方公式分解因式.假設三項中有兩項能寫成兩數或式的平方，但符號不是“+”號時，可以先提取“－”號，然后再用完全平方公式分解因式.解：（1）3ax2+6axy+3ay2=3a（x2+2xy+y2=3a（x+y）（2）－x2－4y2+4xy=－（x2－4xy+4y2）=－［x2－2·x·2y+（2y）2］=－（x－2y）2四、課堂練習1.（1）是完全平方式x2－x+=x2－2·x·+（）2=（x－）2（2）不是完全平方式，因為3ab不符合要求.（3）是完全平方式m2+3mn+9n2=（m）2＋2×m×3n+（3n）2=（m+3n）2（4）不是完全平方式2.（1）x2－12xy+36y2=x2－2·x·6y+（6y）2=（x－6y）2;（2）16a4+24a2b2+9=（4a2）2+2·4a2·3b2+（3b2=（4a2+3b2）（3）－2xy－x2－y2=－（x2+2xy+y2）=－（x+y）2;（4）4－12（x－y）+9（x－y）2=22－2×2×3（x－y）+［3（x－y）］2=［2－3（x－y）］2=（2－3x+3y）2五、課后作業1.（1）x2y2－2xy+1=（xy－1）2;（2）9－12t+4t2=（3－2t）2;（3）y2+y+=（y+）2;（4）25m2－80m+64=（5（5）+xy+y2=（+y）2;（6）a2b2－4ab+4=（ab－2）22.（1）（x+y）2+6（x+y）+9=［（x+y）+3］2=（x+y+3）2;（2）a2－2a（b+c）+（b+c）=［a－（b+c）］2=（a－b－c）2;（3）4xy2－4x2y－y3=y（4xy－4x2－y2）=－y（4x2－4xy+y2）=－y（2x－y）2;（4）－a+2a2－a=－（a－2a2+a3=－a（1－2a+a2=－a（1－a）2.3.設兩個奇數分別為x、x－2,得x2－（x－2）2=［x+（x－2）］［x－（x－2）］=（x+x－2）（x－x+2）=2（2x－2）=4（x－1）第三章分式3.1分式一、教學目的1.在現實情境中進一步理解用字母表示數的意義，開展符號感.2.理解分式產生的背景與分式的概念，理解分式與整式概念的區分與聯絡.3.駕馭分式有意義的條件，相識事物間的聯絡與制約關系.二、教學過程Ⅰ.創設問題情境，引入新課面對日益嚴峻的土地沙化問題，某縣確定分期分批固沙造林，一期工程安排在確定期限固沙造林2400公頃，實際每月固沙造林的面積比原安排多30公頃，結果提早4個月完成任務.原安排每月固沙造林多少公頃？這一問題中有哪些等量關系？假設原安排每月固沙造林x公頃，則原安排完成一期工程須要____________個月，實際完成一期工程用了____________個月.根據題意，可得方程____________.根據題意，我認為這個問題的等量關系是：實際固沙造林所用的時間+4=原安排固沙造林所用的時間.（1）這個問題的等量關系也可以是：原安排每月固沙造林的公頃數+30=實際每月固沙造林的公頃數.（2）在這個問題中，涉與到了三個根本量：工作量、工作效率、工作時間.工作量=工作效率×工作時間.假設用第（1）個等量關系列方程，應如何設出未知數呢？因為第（1）個等量關系是工作時間的關系，因此需用已知條件與未知數表示出工作時間.題中的工作量是已知的.因此需設出工作效率即原安排每月固沙造林x公頃.原安排完成一期工程需個月，實際完成一期工程需c個月，根據等量關系（1）可列出方程：+4=.用等量關系（2）設未知數，列方程呢？因為等量關系（2）是工作效率之間的關系，根據題意，應設出工作時間.不妨設原安排x個月完成一期工程，事實上完成一期工程用了（x－4）個月，則原安排每月固沙造林的公頃數為公頃，實際每月固沙造林公頃，根據題意可得方程.同學們視察我們列出的兩個方程，有什么新的發覺？我們設出未知數后，用字母表示數的方法，列出幾個代數式，表示出我們須要的根本量.如，,.這些代數式與整式不同.我們雖然列出了方程，但分母中含有字母，要求出它的解，似乎很不簡潔.像這樣的代數式同整式有很大的不同，而且它是以分數的形式出現的，它們是不同于整式的一個很大的家族，我們把它們叫做分式.2.例題講解（1）下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？5x－7,3x2－1,,,－5,,,.（2）①當a=1，2時，分別求分式的值.②當a為何值時，分式有意義？③當a為何值時，分式的值為零？（1）中5x－7,3x2－1,,－5,是整式；,,是分式.（2）解：①當a=1時，==1;當a=2時，==.②當分母的值等于零時，分式沒有意義，除此以外，分式都有意義.由分母2a=0，得a所以，當a取零以外的任何實數時，分式有意義.③分式的值為零，包含兩層意思：首先分式有意義，其次，它的值為零.因此a的取值有兩個要求：所以，當a=－1時，分母不為零，分子為零，分式為零.三、隨堂練習1.當x取什么值時，下列分式有意義？（1）；（2）;（3）分析：當分母的值為零時，分式沒有意義，除此以外，分式都有意義.解：（1）由分母x－1=0，得x=1.所以，當x取除1以外的任何實數時，分式都有意義.（2）由分母x2－9=0，得x=±3.所以，當x取除3與－3以外的任何實數時，分式都有意義.（3）由分母x2+1可知，x取任何實數時，x2是一個非負數，所以x2+1不管x取何實數時，x2+1都不會為零.即x取任何實數，都有意義.2.把甲、乙兩種飲料按質量比x∶y混合在一起，可以調制成一種混合飲料，調制1kg這種混合飲料需多少甲種飲料？解：根據題意，調制1kg這種混合飲料需kg甲種飲料.3.2分式的乘除法一、教學目的1.分式乘除法的運算法則，2.會進展分式的乘除法的運算.二、教學過程探究、溝通——視察下列算式：猜一猜×= ÷=視察上面運算，可知：兩個分數相乘，把分子相乘的積作為積的分子，把分母相乘的積作為積的分母；兩個分數相除，把除數的分子與分母顛倒位置后，再與被除數相乘.即×=;這里字母a,b,c,d都是整數，但a,c,d不為零.1.分式的乘除法法則兩個分式相乘，把分子相乘的積作為積的分子，把分母相乘的積作為積的分母；兩個分式相除，把除式的分子與分母顛倒位置后再與被除式相乘.2.例題講解［例1］計算：（1）·;（2）·.分析：（1）將算式比照乘除法運算法則，進展運算；（2）強調運算結果如不是最簡分式時，確定要進展約分，使運算結果化為最簡分式.解：（1）·=（2）·［例2］計算：（1）3xy2÷;（2）÷分析：（1）將算式比照分式的除法運算法則，進展運算；（2）當分子、分母是多項式時，一般應先分解因式，并在運算過程中約分，可以使運算簡化，避開走彎路.解：（1）3xy2÷=3xy2·==x2;（2）÷3.做一做通常購置同一品種的西瓜時，西瓜的質量越大，花費的錢越多.因此人們盼望西瓜瓤占整個西瓜的比例越大越好.假設我們把西瓜都看成球形，并把西瓜瓤的密度看成是勻稱的，西瓜的皮厚都是d，已知球的體積公式為V=πR3（其中R為球的半徑），則（1）西瓜瓤與整個西瓜的體積各是多少？（2）西瓜瓤與整個西瓜的體積比是多少？（3）買大西瓜合算還是買小西瓜合算？我們不妨設西瓜的半徑為R,根據題意，可得：（1）整個西瓜的體積為V1=πR3;西瓜瓤的體積為V2=π（R－d）3.（2）西瓜瓤與整個西瓜的體積比為：=（）3=（1－）3.（3）我認為買大西瓜合算.由=（1－）3可知，R越大，即西瓜越大，的值越小，（1－）的值越大，（1－）3也越大，則的值也越大，即西瓜瓤占整個西瓜的體積比也越大，因此，買大西瓜更合算.三、隨堂練習1.計算：（1）·;（2）（a2－a）÷;（3）÷2.化簡：（1）÷;（2）（ab－b2）÷解：1.（1）·===;（2）（a2－a）÷=（a2－a）×==（a－1）2=a2－2a（3）÷=×==（x－1）y=xy－y.2.（1）÷=（x－2）（x+2）=x2－4.（2）（ab－b2）÷=（ab－b2）×==b.3.3分式的加減法一、教學目的1.同分母的分式的加減法的運算法則與其應用.2.簡潔的異分母的分式相加減的運算.二、教學過程問題一：從甲地到乙地有兩條路，每條路都是3km，其中第一條是平路，第二條有1km的上坡路、2km的下坡路.小麗在上坡路上的騎車速度為vkm/h,在平路上的騎車速度為2vkm/h,在下坡路上的騎車速度為3vkm/h,則（1）當走第二條路時，她從甲地到乙地需多長時間（2）她走哪條路花費的時間少？少用多長時間？則他錄入3000字文稿比手抄少用多少時間？答案：問題一，根據題意可得下列線段圖：（1）當走第二條路時，她從甲地到乙地須要的時間為（+）h.（2）走第一條路，小麗從甲地到乙地須要的時間為h.但要求出小麗走哪條路花費的時間少.就須要比擬（+）與的大小，少用多少時間，就須要用它們中的較大者減去較小者，便可求出.假設要比擬（+）與的大小，就比擬難了，因為它們的分母中都含有字母.比擬兩個數的大小，我們可以用作差法.例如有兩個數a,b.假設a－b＞0，則a＞b;假設a－b=0,則a=b；假設a－b＜0,則a＜b.明顯（+）與中含有字母，但它們也是用來表示數的，所以我認為可以用實數比擬大小的方法來做.假設用作差的方法，例如（+）－，如何推斷它大于零，等于零，小于零呢？做一做（1）+=____________.（2）－=____________.（3）－+=____________.同分母的分數的加減是分母不變，把分子相加減，例如+－==－.我認為分母一樣的分式相加減與同分母的分數相加減一樣，應當是分母不變，把分子相加減.解：（1）+==;解：（2）－=;解：（3）－+異分母的分數加減時，可利用分數的根本性質通分，把異分母的分數加減法化成同分母的分數加減法［例1］計算：（1）+;（2）+［例1］中的第（1）題，一個分母是a,另一個分母是5a，利用分式的根本性質，只需將第一個分式化成=即可.解：（1）+=+（2）+=+三、計算：（1）－;（2）+;（3）－解：（1）－==;（2）+=+==;（3）－=－3.4分式方程一、教學目的1.理解分式方程的一般步驟.2.理解解分式方程驗根的必要性.二、教學過程解方程+=2－（1）去分母，方程兩邊同乘以分母的最小公倍數6，得3（3x－1）+2（5x+2）=6×2－（4x－2）.（2）去括號，得9x－3+10x+4=12－4x+2,（3）移項，得9x+10x+4x=12+2+3－4,（4）合并同類項，得23x=13,（5）使x的系數化為1，兩邊同除以23，x=.例1解方程：－=4解：方程兩邊同乘以2x，得600－480=8x解這個方程，得x=15檢驗：將x=15代入原方程，得左邊=4，右邊=4，左邊=右邊,所以x=15是原方程的根.例2.解方程：（1）=;（2）+=2.［分析］先總結解分式方程的幾個步驟，然后解題.解：（1）=去分母，方程兩邊同乘以x（x－1），得3x=4（x－1）解這個方程，得x=4檢驗：把x=4代入x（x－1）=4×3=12≠0，所以原方程的根為x=4.（2）+=2去分母，方程兩邊同乘以（2x－1），得10－5=2（2x－1）解這個方程，得x=檢驗：把x=代入原方程分母2x－1=2×－1=≠0.所以原方程的根為x=.第四章相像圖形4.1線段的比一、教學目的1.知道線段比的概念.2.會計算兩條線段的比.3.熟記比例的根本性質，并能進展證明與運用.二、教學過程1.兩條線段的比的概念兩條線段的比就是兩條線段長度的比.比方：線段a的長度為3厘米，線段b的長度為6米，所以兩線段a,b的比為3∶6=1∶2,對嗎？不對，因為a、b的長度單位不一樣，所以不對.留意：在量線段時要選用同一個長度單位.2..例題在某市城區地圖（比例尺1∶9000）上，新安大街的圖上長度與光華大街的圖上長度分別是16cm、10cm.（1）新安大街與光華大街的實際長度各是多少米？（2）新安大街與光華大街的圖上長度之比是多少？它們的實際長度之比呢？解：（1）根據題意，得因此，新安大街的實際長度是16×9000=144000（cm）,144000cm=1440m;光華大街的實際長度是10×9000=90000（cm）90000cm=900m.（2）新安大街與光華大街的圖上長度之比是16∶10=8∶5新安大街的實際長度與光華大街的實際長度之比是144000∶90000=8∶5由例2的結果可以發覺：三、隨堂練習1.在比例尺為1∶8000的某學校地圖上，矩形運動場的圖上尺寸是1cm×2cm，矩形運動場的實際尺寸是多少？解：根據題意，得矩形運動場的圖上長度∶矩形運動場的實際長度=1∶8000因此，矩形運動場的長是2×8000=16000（cm）=160（m）矩形運動場的寬是1×8000=8000（cm）=80（m）所以，矩形運動場的實際尺寸是長為160m,寬為80m.四、活動與探究為了參與北京市申辦2008年奧運會的活動，假設有兩邊長分別為1，a（其中a＞1）的一塊矩形綢布，要將它剪裁出三面矩形彩旗（面料沒有剩余），使每條彩旗的長與寬之比與原綢布的長與寬之比一樣，畫出兩種不同裁剪方法的示意圖，并寫出相應的a的值.解：方案（1）：∵長與寬之比與原綢布的長與寬之比一樣，（*）解得：a=方案（2）：由（*）得∴x=,a=方案（3）：由（*）得∴y=且∴z=由=a得a=方案（4）：由（*）得∴b=n=1－m=a2－1∵m+n=1∴1－+a2－1=1∴a=（負值舍去）4.2黃金分割一、教學目的明白黃金分割二、教學過程如圖：點C把線段AB分成兩條線段AC與AB，假設=則稱線段AB被點C黃金分割，點C叫做線段AB的黃金分割點，AC與AB的比叫做黃金比。4.3形態一樣的圖形一、教學目的在諸多圖形中能找出形態一樣的圖形，并能畫形態一樣的圖形.二、教學過程在實際生活與數學學習中，我們經常會看到很多形態一樣的圖形，請從下圖中找出形態一樣的圖形.（1）與（3）；（2）與（13）；（4）與（11）；（5）與（10）；（6）、（7）、（8）、（9）分別是形態一樣的圖形.三、課堂練習1.解：（1）在直角坐標系中描出點O（0，0），A（1，2），B（2，4），C（3，2），D（4，0），先用線段順次連接點O，A，B，C，D，然后用線段連接A，C兩點，得到了字母A的圖形（2）填表1如下：表1（x,y）O（0,0）A（1,2）B（2,4）C（3,2）D（4,0）（2x,y）O1（0,0）A1（2,2）B1（4,4）C1（6,2）D1（8,0）分別連接O1A1，A1B1，B1C1，C1D1，A1得到的圖形還是字母A.填寫表2如下：表2（x,y）O（0,0）A（1,2）B（2,4）C（3,2）D（4,0）（x,2y）O2（0,0）A2（1,4）B2（2,8）C2（3,4）D2（4,0）連接如下圖所得圖形還是字母A.填寫表3如下： 表3（x,y）O（0,0）A（1,2）B（2,4）C（3,2）D（4,0）（2x,2y）O3（0,0）A3（2,4）B3（4,8）C3（6,4）D3（8,0）連接如下圖得到的圖形還是字母A.（3）在上述所得圖形中，第1個圖形與第4個圖形形態一樣.4.4相像多邊形一、教學目的經驗探究圖形的形態、大小，圖形的邊、角之間的關系，駕馭相像多邊形的定義以與相像比，并能根據定義推斷兩個多邊形是否是相像多邊形．二、教學過程1．探究相像多邊形的定義下圖中的兩個多邊形分別是幻燈片上的多邊形ABCDEF與銀幕上的多邊形A1B1C1D1E1F1，它們的形態(1)在上圖的兩個多邊形中，是否有相等的內角？設法驗證你的揣測．(2)在上圖的兩個多邊形中，相等內角的兩邊是否成比例？2．視察下面兩組圖形，(1)中的兩個圖形相像嗎？為什么？(2)中的兩個圖形呢？與同伴溝通．2．假設兩個多邊形不相像，則它們的各角可能對應相等嗎？它們的各邊可能對應成比例嗎？(1)中的兩個圖形不相像．因為相像形須要滿意兩個條件，一個是對應角相等，一個是對應邊成比例．雖然(1)中的兩個圖形對應邊成比例，但對應角不相等，所以兩個圖形不相像．(2)中的兩個圖形也不相像．因為它們的對應邊不成比例，所以兩個圖形不相像．3．假設兩個多邊形不相像，則它們的對應角也可能都相等，如(2)中的兩個圖形；假設兩個多邊形不相像，則它們的對應邊也可能成比例，如(1)中的兩個圖形對應邊成比例，但對應角不相等．三、活動與探究紙張的大小如圖，將一張長、寬之比為的矩形紙ABCD依次不斷對折，可以得到矩形紙BCFE，AEML，GMFH，LGPN．(1)矩形ABCD、BCFE、AEML、GMFH、LGPN長與寬的比變更了嗎？(2)在這些矩形中，有成比例的線段嗎？(3)你認為這些大小不同的矩形相像嗎？解：(1)矩形ABCD、BCFE、AEML、GMFH、LGPN長與寬的比不變更．設紙的寬為a，長為a，則BC＝a，BE＝aAE＝a，ME＝MF＝，HF＝aLG＝a，LN＝∴＝a∶a＝＝a∶＝a∶＝所以這五個矩形的長與寬的比不變更．(2)在這些矩形中有成比例的線段．(3)這些大小不同的矩形都相像．4.5相像三角形一、教學目的1.駕馭相像三角形的定義、表示法，并能根據定義推斷兩個三角形是否相像.2.能根據相像比進展計算.二、教學過程1.相像三角形的定義與記法假設△ABC∽△DEF，則哪些角是對應角？哪些邊是對應邊？對應角有什么關系？對應邊呢？由前面相像多邊形的性質可知，對應角應相等，對應邊應成比例.所以∠A=∠D、∠B=∠E、∠C=∠F.2.（1）兩個全等三角形確定相像嗎？為什么？（2）兩個直角三角形確定相像嗎？兩個等腰直角三角形呢？為什么？（3）兩個等腰三角形確定相像嗎？兩個等邊三角形呢？為什么？解：（1）兩個全等三角形確定相像.因為兩個全等三角形的對應邊相等，對應角相等，由對應邊相等可知對應邊確定成比例，且相像比為1，因此滿意相像三角形的兩個條件，所以兩個全等三角形確定相像.（2）兩個直角三角形不確定相像.因為雖然都是直角三角形，但也只能確定有一對角即直角相等，其他的兩對角可能相等，也可能不相等，對應邊也不確定成比例，所以它們不確定相像.兩個等腰直角三角形確定相像.因為兩個等腰直角三角形Rt△ABC與Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，則∠A=∠B=∠D=∠E=45°，所以有∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F.再設△ABC中AC=b，△DEF中DF=a，則AC=BC=b，AB=bDF=EF=a，DE=a所以兩個等腰直角三角形確定相像.（3）兩個等腰三角形不確定相像.因為等腰只能說明一個三角形中有兩邊相等，但另一邊不固定，因此這兩個等腰三角形中有兩邊對應成比例，兩底邊的比不確定等于對應腰的比，因此不用再去討論對應角滿意什么條件，就可以確定這兩個等腰三角形不確定相像.兩個等邊三角形確定相像.因為等邊三角形的各邊都相等，各角都等于60度，因此這兩個等邊三角形確定有對應角相等、對應邊成比例，所以它們確定相像.［師］由上可知，在特別的三角形中，有的相像，有的不相像.兩個全等三角形確定相像.兩個等腰直角三角形確定相像.兩個等邊三角形確定相像.兩個直角三角形與兩個等腰三角形不確定相像.3.例題1.如圖，有一塊呈三角形形態的草坪，其中一邊的長是20m，在這個草坪的圖紙上，這條邊長5cm，其他兩邊的長都是3.5cm，求該草坪其他兩邊的實際長度.解：草坪的形態與其圖紙上相應的形態相像，它們的相像比是2000∶5=400∶1假設設其他兩邊的實際長度都是xcm，則x=3.5×400=1400（cm）=14（m）所以，草坪其他兩邊的實際長度都是14m.2.如圖,已知△ABC∽△ADE,AE=50cm,EC=30cm,BC=70cm,∠BAC=45°,∠ACB=40°，求（1）∠AED與∠ADE的度數；（2）DE的長.解：（1）因為△ABC∽△ADE.所以由相像三角形對應角相等，得∠AED=∠ACB=40°在△ADE中，∠AED+∠ADE+∠A=180°即40°+∠ADE+45°=180°,所以∠ADE=180°－40°－45°=95°.（2）因為△ABC∽△ADE，所以由相像三角形對應邊成比例，得即所以DE==43.75（cm）.4.6探究三角形相像的條件一、教學目的1.駕馭三角形相像的斷定方法1.2.會用相像三角形的斷定方法1來證明與計算.二、教學過程1.做一做.（1）畫一個△ABC，使得∠BAC=60°，與同伴溝通，你們所畫的三角形相像嗎？（2）與同伴合作，一人畫△ABC，另一人畫△A′B′C′,使得∠A與∠A′都等于給定的∠α，∠B與∠B′都等于給定的∠β，比擬你們畫的兩個三角形，∠C與∠C′相等嗎？對應邊的比相等嗎？這樣的兩個三角形相像嗎？變更∠α、∠β的大小，再試一試。2.例題.（1）已知△ABC與△A′B′C′中，∠B=∠B′=75°，∠C=50°，∠A′=55°，這兩個三角形相像嗎？為什么？（2）已知一個三角形的兩個角分別是70°與65°，你能畫一個與這個三角形相像的三角形嗎？解：（1）在△ABC中，∵∠B=75°，∠C=50°∴∠A=55°∴∠B=∠B′,∠A=∠A′∴△ABC∽△A′B′C′（2）先任作一條線段BC.分別以BC為角的頂點，作∠MBC=70°，∠NCB=65°.BM與CN相交于點A.則△ABC為與原三角形相像的三角形.三、課堂練習1.在△ABC中，∠A=70°，∠B=60°∴∠C=50°∴∠A=∠D，∠C=∠E.∴△ABC∽△DFE.2.∵DC∥AB∴∠CDB=∠DBA，∠DCA=∠CAB.∴△CDO∽△ABO.3.∵AB⊥AO，DB⊥AB∴∠A=∠B=90°∵∠ACO=∠BCD∴△ACO∽△BCD即∴AO=100（m）所以峽谷的寬AO為100m.4.如圖.AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD、BE相交于F，則圖中相像三角形共有幾對？它們分別是哪些？為什么？解：圖中相像三角形共有六對，它們分別是①△ADC∽△BEC,②△ADC∽△AEF,③△BEC∽△BDF,④△BDF∽△AEF,⑤△BDF∽△ADC,⑥△AEF∽△BEC.∵AD⊥BC,BE⊥AC∴∠ADB=∠ADC=∠AEB=∠CEB=90°（1）在△ADC與△BEC中∵∠ADC=∠BEC=90°∠C=∠C∴△ADC∽△BEC（2）在△ADC與△AEF中∵∠ADC=∠AEF=90°∠DAC=∠EAF∴△ADC∽△AEF（3）在△BEC與△BDF中∵∠BEC=∠BDF=90°∠EBC=∠DBF∴△BEC∽△BDF.（4）在△BDF與△AEF中∵∠BDF=∠AEF=90°，∠BFD=∠AFE∴△BDF∽△AEF.（5）由△BEC∽△ADC得∠DBF=∠DAC∵∠BDF=∠ADC=90°∴△BDF∽△ADC（6）由△BEC∽△ADC，得∠EBC=∠EAF∵∠AEF=∠BEC∴△AEF∽△BEC4.7測量旗桿的高度一、教學目的1．通過測量旗桿的高度的活動，穩固相像三角形有關學問，積累數學活動的閱歷．2．熟識測量工具的運用技能，理解小鏡子運用的物理原理．二、教學過程

1.新課講解好，外邊陽光明媚，天公做美，助我們順當完成我們今日的活動課目——測量旗桿的高度．首先我們應當清晰測量原理．請同學們根據預習與討論狀況分組說明三種測量方法的數學原理．從圖中我們可以看出人與陽光下的影子與旗桿與陽光下的影子構成了兩個相像三角形，即△EAD∽△ABC，因為直立于旗桿影子頂端處的同學的身高與他的影長以與旗桿的影長均可測量得出，根據可得BC＝，代入測量數據即可求出旗桿BC的高度．方法2．利用標桿．當旗桿頂部、標桿的頂端與眼睛恰好在一條直線上時，因為人所在直線AD與標桿、旗桿都平行，過眼睛所在點D作旗桿BC的垂線交旗桿BC于G，交標桿EF于H，于是得△DHF∽△DGC．因為可以量得AE、AB，觀測者身高AD、標桿長EF，且DH＝AE，DG＝AB由得GC＝∴旗桿高度BC＝GC＋GB＝GC＋AD．方法3利用鏡子的反射．這里涉與到物理上的反射鏡原理，觀測者看到旗桿頂端在鏡子中的像是虛像，是倒立旗桿的頂端C′，∵△EAD∽△EBC′且△EBC′≌△EBC∴△EAD∽△EBC，測出AE、EB與觀測者身高AD，根據，可求得BC＝．通過下表比照說明測量數據的誤差狀況，以與測量方法的優劣性．比照上表，結合各組實際操作中遇到的問題，我們綜合大家討論狀況做出如下結論：1．測量中允許有正常的誤差．我校旗桿高度為20m，同學們本次測量獲得勝利．2．方法一與方法三誤差范圍較小，方法二誤差范圍較大，因為肉眼觀測帶有技術性，不如干脆測量、儀器操作得到數據精確．3．大家一樣認為方法一簡潔易行，是個好方法．4．方法三用到了物理學問，可以考察我們綜合運用學問解決問題的實力．5．同學們提出“通過測量角度能否求得旗桿的高度呢”．有大膽的設想，老師很佩服，在大家學習了三角函數后信任會有更多的測量方法呢！三、課堂練習高4m的旗桿在程度地面上的影子長6m，此時測得旁邊一個建筑物的影子長24m，求該建筑物的高度．圖4-37分析：畫出上述示意圖，即可發覺：△ABC∽△A′B′C′所以＝于是得，BC＝＝16(m)．即該建筑物的高度是16m．4.8相像多邊形的性質一、教學目的1相像三角形對應高的比，對應角平分線的比與對應中線的比與相像比的關系.2.相像多邊形的周長比，面積比與相像比的關系.3.相像多邊形的周長比，面積比在實際中的應用.二、教學過程1.鉗工小王打算根據比例尺為3∶4的圖紙制作三角形零件，如圖4－38，圖紙上的△ABC表示該零件的橫斷面△A′B′C′，CD與C′D′分別是它們的高.（1）,,各等于多少？（2）△ABC與△A′B′C′相像嗎？假設相像，請說明理由，并指出它們的相像比.（3）請你在圖4－38中再找出一對相像三角形.（4）等于多少？你是怎么做的？與同伴溝通.解：（1）===（2）△ABC∽△A′B′C′∴△ABC∽△A′B′C′，且相像比為3∶4.（3）△BCD∽△B′C′D′.（△ADC∽△A′D′C′）∵由△ABC∽△A′B′C′得∠B=∠B′∵∠BCD=∠B′C′D′∴△BCD∽△B′C′D′（同理△ADC∽△A′D′C′）（4）=∵△BDC∽△B′D′C′2.已知△ABC∽△A′B′C′，△ABC與△A′B′C′的相像比為k.（1）假設CD與C′D′是它們的對應高，則等于多少？（2）假設CD與C′D′是它們的對應角平分線,則等于多少？假設CD與C′D′是它們的對應中線呢？從剛剛的做一做中可知，若△ABC∽△A′B′C′，CD、C′D′是它們的對應高，則==k.如圖，△ABC∽△A′B′C′，CD、C′D′分別是它們的對應角平分線，則==k.∵△ABC∽△A′B′C′∴∠A=∠A′,∠ACB=∠A′C′B′∵CD、C′D′分別是∠ACB、∠A′C′B′的角平分線.∴∠ACD=∠A′C′D′∴△ACD∽△A′C′D′∴==k.如下圖中，CD、C′D′分別是它們的對應中線，則==k.∵△ABC∽△A′B′C′∴∠A=∠A′，==k.∵CD、C′D′分別是中線∴===k.∴△ACD∽△A′C′D′∴==k.由此可知相像三角形還有以下性質.相像三角形對應高的比、對應角平分線的比與對應中線的比都等于相像比.3.例題講解如上圖所示，在等腰三角形ABC中，底邊BC=60cm,高AD=40cm，四邊形PQRS是正方形.（1）△ASR與△ABC相像嗎？為什么？（2）求正方形PQRS的邊長.解：（1）△ASR∽△ABC，理由是：四邊形PQRS是正方形SR∥BC（2）由（1）可知△ASR∽△ABC.根據相像三角形對應高的比等于相像比，可得設正方形PQRS的邊長為xcm，則AE=（40－x）cm，所以解得：x=24所以，正方形PQRS的邊長為24cm.三、課堂練習假設兩個相像三角形對應高的比為4∶5,則這兩個相像三角形的相像比是多少？對應中線的比，對應角平分線的比呢？（都是4∶5）.如下圖，CD是Rt△ABC的斜邊AB上的高.（1）則圖中有幾對相像三角形.（2）若AD=9cm,CD=6cm,求BD.（3）若AB=25cm,BC=15cm,求BD.解：（1）∵CD⊥AB∴∠ADC=∠BDC=∠ACB=90°在△ADC與△ACB中∠ADC=∠ACB=90°∠A=∠A∴△ADC∽△ACB同理可知，△CDB∽△ACB∴△ADC∽△CDB所以圖中有三對相像三角形.（2）∵△ACD∽△CBD即∴BD=4（cm）（3）∵△CBD∽△ABC∴BD==9（cm）.4.9圖形的放大與縮小一、教學目的1.復習位似圖形定義2.能利用圖形的位似將一個圖形放大或縮小.二、教學過程請同學們視察下圖，要作出一個新圖形，使新圖形與原圖形對應線段的比為2∶1，看一看有幾種方法？橡皮筋法，方格紙放大法，電腦放大在圖形外取一點作射線找比例線段也可以作出.主要是找比例線段得到的是相像圖形，對應頂點連線都過確定點，它符合位似圖形，得到的一對圖形是位似圖.我們今日就利用位似將上面圖形放大到要求比例.圖（一）圖（二）圖（一）：在原圖上取幾個關鍵點A、B、C、D、E、F、G，作射線AP，BP，CP，DP，EP，FP，GP，在這些射線上依次取點A′，B′，C′，D′，E′，F′，G′，使PA′=2AP，PB′=2BP，PC′=2CP，PD′=2DP，PE′=2EP，PF′=2FP，PG′=2GP；順次連接點A′，B′，C′，D′，E′，F′，G′，A′，所得到的圖形就是符合要求的圖形.圖（二）：在原圖上取關鍵點A、B、C、D、E、F、G，作射線PA，PB，PC，PD，PE，PF，PG，在這些射線上依次取點A′,B′,C′，D′，E′，F′，G′，使PA=AA′，PB=BB′，PC=CC′，PD=DD′，PE=EE′,PF=FF′，PG=GG′，順次連接點A′，B′，C′，D′，E′，F′，G′，A′，所得到的圖形就是符合條件的圖形.利用位似將圖形放大或縮小的作圖步驟.第一步：在原圖上選取關鍵點若干個,并在原圖外任取一點P.第二步：以點P為端點向各關鍵點作射線.第三步：分別在射線上取關鍵點的對應點，滿意放縮比例.第四步：順次連接截取點.即可得到符合要求的新圖形.簡記方法:1.選點2.作射線3.定對應點4.連線三、課堂練習下列說法正確嗎？為什么？1.分別在△ABC的邊AB、AC上取點D、E,使DE∥BC,則△ADE是△ABC縮小后的圖形.答案：正確因為AD＜AB,AE＜AC由△ABC∽△ADE得＜1所以說△ADE是△ABC縮小后的圖形.如圖所示.2.分別在△ABC的邊AB、AC的延長線上取點D、E,使DE∥BC,則△ADE是△ABC放大后的圖形.答案：正確.由已知得AD＞AB,AE＞AC又∵△ABC∽△ADE＞1所以說△ADE是△ABC放大后的圖形.如圖所示.3.分別在△ABC的邊AB、AC的反向延長線上取點D、E,使DE∥BC,則△ADE是△ABC放大后的圖形.答案：不正確.也可能是縮小后的圖形.如圖所示:四、課后練習三角形的頂點坐標分別是A（2,2）,B（4,2）,C（6,4）,試將△ABC縮小,使縮小后的△DEF與△ABC對應邊比為1∶2.解：將A（2,2），B（4,2），C（6,4）三點的橫坐標、縱坐標都縮小為原來的得D（1,1）,E（2,1）,F（3,2）后,順次連結D,E,F,D,即可得到縮小后的△DEF.如圖所示.第五章數據的搜集與處理5.1每周干家務活的時間一、教學目的：1、 經驗調查、搜集數據的過程，感受抽樣的必要性。2、 理解普查、抽樣調查、總體、個體、樣本等概念，理解普查與抽樣調查的應用，并選擇適宜的調查方法，解決有關現實問題。3、 進一步開展統計意識，培育學生熱愛勞動、勇于理論的優良品質。二、教學過程：1、活動與探究同學們，你們每天在家都幫父母做家務活嗎？主要做些什么呢？每周大約多長時間呢？你們每周干家務活時間的平均數、中位數、眾數是什么2、介紹新學問（1）普查：為了確定的目的而對考察對象進展的全面調查。（2）總體：所考察對象的全體。（如上述問題中的總體為“全班同學每周干家務活的平均時間的全體”，留意這里“考察對象”不是學生而是學生干家務活的時間。）（3）個體：組成總體的每一個考察對象。（如上述問題中的個體為“全班每一個同學每周干家務活的平均時間”）3、想一想為了精確理解全國人口狀況，我國每10年進展一次全國性人口普查，在這一事例中，你能說出總體、個體分別是什么嗎？5.2數據的搜集一、教學目的1.會實行合理的調查方法搜集數據，并能對數據進展加工、整理.2.進一步理解、駕馭抽樣調查與普查各自的優、缺點.二、教學過程1.例題講解為了理解你所在地區老年人的安康狀況，你打算怎樣搜集數據？下面分別是小明、小穎、小華三位同學的調查結果：小明：在公園里調查了1000名老年人，他們一年中生病的次數如下表：表（一）比擬一下上述兩種表示各自的優越性.小穎：在醫院調查了1000名老年病人，他們一年中生病的次數如下表所示：（表一）比擬一下小明與小穎所得數據的差異，是什么緣由造成的？小華：調查了10名老年鄰居，他們一年中生病的次數如下表所示：小明調查的對象選自公園里的老年人.常去公園里活動的老年人，平常確定留意身體的保健，確定留意修身、養性、加強體育熬煉，所以身體較安康.另一方面，公園建在城市里，相對于農村中的老年人去公園的較少.這1000人中不同文化程度，不同職業，城市與鄉村等等不同層次的老人是否都有所選取.選取人數的比例是否合理，是否具有代表性與廣泛性都是我們在搜集數據中應當考慮的.所以，我認為小明搜集的數據缺乏代表性與廣泛性.小穎搜集的數據來自醫院看病的1000名老年人.這局部人相對體質較弱.我認為用這些數據得到的調查結果不精確.因為搜集的數據缺乏代表性與廣泛性.小華僅僅調查了10位老年人.因為樣本太小了，所以不能據此推斷某地區老年人的安康狀況.抽樣調查應留意什么？抽樣時要留意樣本的代表性與廣泛性.在現實生活中，當我們所要考察的總體中包含的個體數很多，有時總體中個數較多且總體有明顯差異的幾個局部組成時，我們應留意抽出的樣本就必需有較強的代表性.每個局部都應抽取到，而且應留意各局部的比例.廣泛性是指總體中的每個個體均有被選的可能.5.3頻數與頻率（一）一、教學目的1.駕馭頻數、頻率的概念.2.會求一組數據的頻數與頻率.二、教學過程1.例題講解下面是小亮調查的八（1）班50位同學喜愛的足球明星，結果如下：根據上面結果，你能很快說出該班同學最喜愛的足球明星嗎？他的數據表示方式是什么？你能設計出一個比擬好的表示方式嗎？（二）此種表示方式的優點是簡潔明了，一眼可以看出哪個最多、哪個最少.我們小組采納如下方式表示數據.此種表示方式的優點是直觀，一目了然.不僅可以很快推斷出哪個最多，哪個最少，還可比擬出差異是否懸殊很大.從上表可以看出，A、B、C、D出現的次數有的多，有的少，或者說它們出現的頻繁程度不同.我們稱每個對象出現的次數為頻數（absolute,frequency）.而每個對象出現的次數與總次數的比值為頻率（relativefrequency）.分別計算A、B、C、D的頻