2022-2023學年湖南省婁底市三塘中學高二數學理下學期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.利用數學歸納法證明“”時，從“”變到“””時，左邊應増乘的因式是(

)A.

B.

C.

D.參考答案：D2.設是定義在上的可導函數，則是為函數的極值點(

)A．充分不必要條件

B．必要不充分條件C．充要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：B略3.“x2﹣1＞0”是“x＞1”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：B【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【專題】轉化思想；定義法；不等式的解法及應用；簡易邏輯．【分析】由x2﹣1＞0，解得x＞1或x＜﹣1．即可判斷出結論．【解答】解：由x2﹣1＞0，解得x＞1或x＜﹣1．“x2﹣1＞0”是“x＞1”必要不充分條件．故選：B．【點評】本題考查了不等式的解法、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．4.若，且，則下列不等式一定成立的是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C5.下列說法中正確的是（）A．任一事件的概率總在（0，1）內B．不可能事件的概率不一定為0C．必然事件的概率一定為1D．概率為0的事件一定是不可能事件參考答案：C【考點】概率的基本性質．【分析】根據必然事件和不可能事件的定義解答即可．必然事件指在一定條件下一定發生的事件，發生的概率為1；不可能事件是指在一定條件下，一定不發生的事件，概率為0；不確定事件即隨機事件是指在一定條件下，可能發生也可能不發生的事件，概率在0和1之間．【解答】解：必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0，不確定事件的概率在0到1之間．故選C．6.已知拋物線C：y2=8x的焦點為F，準線為l，P是l上一點，Q是直線PF與C的一個交點，若=3，則|QF|=（）A． B． C．3 D．2參考答案：A【考點】拋物線的簡單性質．【分析】設l與x軸的交點為M，過Q向準線l作垂線，垂足為N，由=3，可得=，又|MF|=p=4，根據拋物線的定義即可得出．【解答】解：設l與x軸的交點為M，過Q向準線l作垂線，垂足為N，∵=3，∴=，又|MF|=p=4，∴|NQ|=，∵|NQ|=|QF|，∴|QF|=．故選：A．7.某單位有840名職工，現采用系統抽樣方法抽取42人做問卷調查，將840人按1，2，3，…，840隨機編號，則抽取的42個人中，編號落入區間[481，720]的人數為A．11

B．12

C．13

D．14參考答案：B8.已知，，，則（

）（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：D略9.已知函數，若△ABC中，角C是鈍角，那么（）A.B.C.D.參考答案：A試題分析：因為，所以，故函數在區間上是減函數，又都是銳角，且，所以，所以，故，選A．考點：1．應用導數研究函數的單調性；2．三角函數的圖象和性質．10.已知為正實數,且成等差數列,成等比數列,則的取值范圍是

(

)A.

B.

C.

D.參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.觀察如圖等式，照此規律，第n個等式為

．參考答案：n+（n+1）+…+（3n﹣2）=（2n﹣1）2【考點】F1：歸納推理；F4：進行簡單的合情推理．【分析】根據前4個式子的規律，利用歸納推理進行歸納即可．【解答】解：等式的右邊為1，9，25，49，即12，32，52，72…，為奇數的平方．等式的左邊為正整數為首項，每行個數為對應奇數的和，∴第n個式子的右邊為（2n﹣1）2，左邊為n+（n+1）+…+（3n﹣2），∴第n個等式為：n+（n+1）+…+（3n﹣2）=（2n﹣1）2．故答案為：n+（n+1）+…+（3n﹣2）=（2n﹣1）2．【點評】本題主要考查歸納推理的應用，觀察等式的取值規律，進行歸納是解決歸納推理的基本方法，考查學生的觀察和分析能力．12.甲、乙、丙三名同學中只有一人考了滿分，當他們被問到誰考了滿分時，甲說：丙沒有考滿分；乙說：是我考的；丙說：甲說真話．事實證明：在這三名同學中，只有一人說的是假話，那么得滿分的同學是_____．參考答案：甲試題分析：采用反證法，如果甲說的是假話，那丙就是滿分，那么乙也說的是假話，就不成立了，如果乙說的是假話，那乙沒有考滿分，丙也沒有考滿分，那只有甲考滿分．考點：1．合情推理；2．反證法．13.已知x＞0，y＞0，+=2，則2x+y的最小值為．參考答案：4【考點】基本不等式．【分析】由題意可得2x+y=（+）（2x+y）=（4+++），運用基本不等式即可得到最小值．【解答】解：∵x＞0，y＞0，+=2，∴2x+y=（+）（2x+y）=（4+++）≥（4+2）=4，當且僅當y=2x=2時取等號．故答案為：4．14.已知關于的不等式的解集為則關于的不等式的解集為_______參考答案：略15.函數y=+lgx的定義域是

．參考答案：（0，2]考點：函數的定義域及其求法．專題：常規題型．分析：根據函數的結構，可以知道要使函數有意義需要滿足：被開放式大于等于零以及真數大于零，解不等式組即可．解答： 解：由題意知，所以0＜x≤2，即函數的定義域為（0，2]，故答案為（0，2]．點評：本題考察函數定義域的求法，從解析式來看這是該類題目中比較簡單、比較基礎的了．16.已知雙曲線的右焦點為，若直線上存在點，使得，其中為坐標原點，則雙曲線的離心率的最小值為

．參考答案：2設直線與軸交于H點，設，則，而，所以，化簡得，解得，則雙曲線的離心率的最小值為2.17.若拋物線的焦點在直線x﹣2y﹣4=0上，則此拋物線的標準方程是

．參考答案：y2=16x或x2=﹣8y

【考點】拋物線的標準方程．【分析】分焦點在x軸和y軸兩種情況分別求出焦點坐標，然后根據拋物線的標準形式可得答案．【解答】解：當焦點在x軸上時，根據y=0，x﹣2y﹣4=0可得焦點坐標為（4，0）∴拋物線的標準方程為y2=16x當焦點在y軸上時，根據x=0，x﹣2y﹣4=0可得焦點坐標為（0，﹣2）∴拋物線的標準方程為x2=﹣8y故答案為：y2=16x或x2=﹣8y【點評】本題主要考查拋物線的標準方程．屬基礎題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數（a為實數）．（I）討論函數的單調性；（II）若在上的恒成立，求a的范圍；參考答案：（I）見解析；（Ⅱ）【分析】(Ⅰ)求得函數的導數令，解得或，根據根的大小三種情況分類討論，即可求解．（II）依題意有在上的恒成立，轉化為在上的恒成立，設，，利用導數求得函數的單調性與最大值，即可求解．【詳解】(Ⅰ)由題意，函數，則令，解得或，①當時，有，有，故在上單調遞增；②當時，有，隨的變化情況如下表：極大極小

由上表可知在和上單調遞增，在上單調遞減；③同②當時，有，有和上單調遞增，在上單調遞減；綜上，當時，在和上單調遞增，在上單調遞減；當時，在上單調遞增；當時，在和上單調遞增，在上單調遞減．（II）依題意有在上的恒成立，即在上的恒成立，故在上的恒成立，設，，則有…（*）易得，令，有，，隨的變化情況如下表：

極大

由上表可知，又由（*）式可知，故的范圍為．【點睛】本題主要考查導數在函數中的綜合應用，以及恒成立問題的求解，著重考查了轉化與化歸思想、邏輯推理能力與計算能力，對于恒成立問題，通常要構造新函數，利用導數研究函數的單調性，求出最值，進而得出相應的含參不等式，從而求出參數的取值范圍；也可分離變量，構造新函數，直接把問題轉化為函數的最值問題．19.如圖，在三棱柱中，側棱底面，為棱中點．，，．（Ⅰ）求證：平面．（Ⅱ）求證：平面．（Ⅲ）在棱的上是否存在點，使得平面平面？如果存在，求此時的值；如果不存在，說明理由．參考答案：見解析（Ⅰ）證明：連接交于點，連接，在中，，分別是，中點，∴．又∵平面，平面，∴平面．（Ⅱ）∵底面，平面，∴，又∵為棱中點，，∴，∵點，∴平面，∴，∵為中點，，∴，又∵．在與中，，∴，∴，∴，∵點，∴平面．（Ⅲ）存在點，當時成立，設中點為，連接，，∵，分別為，中點，∴，∵為中點，∴，∴，∵平面，∴平面，又∵平面．∴平面平面．20.已知,,,其中.(I)若與的圖像在交點(2,)處的切線互相垂直,求的值;(II)若是函數的一個極值點,和1是的兩個零點,且∈(,求;(III)當時,若,是的兩個極值點,當|-|>1時,求證:|-|>3-4.參考答案：(I),

由題知,即

解得(II)=,由題知,即解得=6,=-1

∴=6-(-),=∵>0,由>0,解得0<<2;由<0,解得>2∴在(0,2)上單調遞增,在(2,+∞)單調遞減,故至多有兩個零點,其中∈(0,2),∈(2,+∞)

又>=0,=6(-1)>0,=6(-2)<0∴∈(3,4),故=3

(III)當時,=,=,由題知=0在(0,+∞)上有兩個不同根,,則<0且≠-2,此時=0的兩根為-,1,

由題知|--1|>1,則++1>1,+4>0

又∵<0,∴<-4,此時->1則與隨的變化情況如下表:(0,1)1(1,-)-(-,+∞)-0+0-

極小值

極大值

∴|-|=極大值-極小值=F(-)―F(1)=―)+―1,

設,則,,∵<-4,∴>―,∴>0,∴在(―∞,―4)上是增函數,<從而在(―∞,―4)上是減函數,∴>=3-4所以|-|>3-4.21.如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1.（Ⅰ）證明PC⊥AD；（Ⅱ）求二面角