第九章振動和波2020/10/281第九章振動和波廣義的振動—物理量隨時間作周期性變化稱為振動。（2）周期性—在T時間內狀態能完全重復。

振動是自然界中最普遍的運動形式之一。振動和波在力學、聲學、電學、生物工程、自控等各領域都占有重要的地位。特點：（1）有平衡點，且具有重復性。Vibrationandwave機械振動—物體在某一位置附近作往復運動。

機械振動分類按振動規律分：簡諧、非簡諧、隨機振動。

其中簡諧振動是最基本最簡單的振動，復雜的振動都可以分解為一些簡諧振動的疊加。2020/10/282精品資料2020/10/2832020/10/284稱作諧振動的微分方程。

彈簧振子是理想模型Spring/harmonicOscillator在水平方向上：由牛頓第二定律，有：令：則有：§9-1簡諧振動一、簡諧振動的微分方程和運動方程（負號表示力與位移方向相反）幻燈片51、簡諧振動的微分方程2020/10/2852020/10/2862、運動學方程：由：可解得：或：一般寫成：本課程采用余弦形式因而簡諧振動是圍繞平衡位置的周期運動振動曲線簡諧振動的定義：若質點的位移與時間的關系可以用表示，質點的運動稱為諧振動。描述簡諧振動的物理量A、ω、φ，稱特征量。2020/10/287otx2020/10/2883、簡諧振動的加速度與速度由質點振動的速度質點振動的加速度質點振動的速度和加速度也是諧振動若位移x，滿足簡諧振動的判椐：或或則稱x作簡諧振動（較為廣泛，不僅適用于機械振動）2020/10/289(2)角頻率ω：angularfrequency振動的快慢周期T:Period頻率ν：(3)初相位：Phase描述運動狀態的量φ為初相位，InitialPhase(1)振幅A:amplitude離開平衡位置的最大距離（幅度、范圍）4、諧振動的三個特征量2020/10/28105、位移、速度和加速度的相位關系以上結果表明：(1)v,a與x的ω相同(2)(3)a與x方向相反，且成正比振幅x、v、a相位依次差π/2。寫成2020/10/2811二、初始條件確定振幅和初相位初始條件：寫為：得：即：Ф有兩個值，需（1）或（2）進行篩選。也可直接由（1）或由（2）求出φ。2020/10/2812三、坐標原點的選取對于振動方程的影響(以豎直彈簧振子為例)自由端,平衡位置以為坐標原點:以為坐標原點:在建立諧振子的振動方程時,選平衡位置為坐標原點最合適。2020/10/2813[例題1]

單擺SimplePendulum解：單擺受力如圖所示對懸掛點的力矩：由：若θ很小，則有：即：其中：動畫2020/10/28142020/10/2815[例題2]半徑為R的圓環靜止于刀口O點上,令其在自身平面內作微小擺動,證明其擺動為諧振,并計算其振動周期.證明:設圓環偏離角度為θ因此所作振動為諧振2020/10/2816四、諧振動的其它表示法1、振動曲線法（1）振動曲線的峰（或谷）對應的位移的大小即是振幅.（2）振動曲線上表示振動狀態相同的相鄰兩點對應的時間間隔就是周期T

。（3）由初狀態v0、x0可得出初相位φ。（4）尤其判斷振動的超前與落后非常直觀。2020/10/2817Rotatingvectormethod1.參考圓法

沿逆時針方向作勻速圓周運動的質點在某一直徑上（取在x軸）的投影的運動為簡諧振動。半徑R——振幅A角速度——角頻率ω

t時刻A矢量在x軸上的投影初始矢徑與x軸的交角—初相位動畫2.旋轉矢量用旋轉矢量法處理問題更直觀、更方便，必須掌握。表示出三個特征量2、旋轉矢量表示法2020/10/28182020/10/28192020/10/2820[例題3]一質點沿x軸作簡諧振動，振幅A=0.12m，周期T=2s，當t=0時，質點對平衡位置的位移x0=0.06m，此時向x軸正向運動。求：(1)此振動的表達式

(2)t=T/4時，質點的位置、速度、加速度

(3)從初始時刻開始第一次通過平衡位置的時間解:(1)取平衡位置為坐標原點設其中A亦為已知，只需求φ由t=0s時，x0=0.06m，可得：在-π到π之間取值：2020/10/2821取哪一個值要看初始條件，由于：所以：由于t=0時，質點向正

x方向運動，所以v0>0因此，應取：于是，此簡諧振動的表達式：利用旋轉矢量法求解很直觀，根據初始條件就可畫出如圖所示的振幅矢量的初始位置，從而得到：2020/10/2822(2)將t=T/4=0.5s代入上兩式，以及位移表達式，可求得：此時旋轉矢量位置如圖：2020/10/2823(3)通過平衡位置時，x=0，由位置表達式，可得：由此可得：第一次通過，取k=1，又由于ω=π/s，所以：從起始時刻到第一次質點通過原點，振幅矢量轉過的角度為：故：有旋轉矢量圖可知：2020/10/2824[例題4]以余弦函數表示的簡諧振動的位移時間曲線如圖所示，試寫出其運動方程。解：設該簡諧振動的運動方程為根據已知條件求出各量代入上式即可由圖可知，A=2cm，當t=0時因為：v0<0,2020/10/2825畫出矢量圖：又知t=1s時，位移達到正的最大值，即：故：因而有：2020/10/2826簡諧振動的勢能：

五、簡諧振動的能量以水平的彈簧振子為例

簡諧振動的動能：2020/10/2827簡諧振動的總能量：彈性力是保守力，總機械能守恒，即總能量不隨時間變化。2020/10/2828勢能的時間平均值:動能的時間平均值:2020/10/2829

這些結論同樣適用于任何簡諧振動。總能的時間平均值:*振幅不僅給出簡諧振動運動的范圍，而且還反映了振動系統總能量的大小及振動的強度。*任一簡諧振動總能量與振幅的平方成正比*彈簧振子的動能和勢能的平均值相等，且等于總機械能的一半。

結論：2020/10/2830023.用余弦函數描述一些振子的振動，若速度---時間函數關系如圖，則振動的初相位為①π/6；②π/3；③π/2；④5π/604.無阻尼自由簡諧振動的周期和頻率由

所決定。對于給定的簡諧振動系統其振幅、初相位由

決定。振動系統本身的性質初始條件2020/10/28311.一彈簧振子作諧振動，總能量為E，如果諧振動振幅增加為原來的兩倍，重物的質量增為原來的4倍，則它的總能量E變為A:E/4;B:E/2;C:2E;D:4E本章作業：9-3，9-5，9-10，9-112020/10/2832代數方法：設兩個振動具有相同頻率，同一直線上運動，有不同的振幅和初相位§9-2簡諧振動的合成一、同方向、同頻率的簡諧振動的合成合振幅CompositionoftwoSHM仍然是同頻率的簡諧振動2020/10/2833由分別兩邊平方求和后整理得：2020/10/2834YX幾何方法：2020/10/2835上面得到：討論一：合振幅最大。當兩分振動同步時合振動的振幅等于兩分振動振幅之和2020/10/2836討論二：當時，討論三：一般情況：兩分振動反相位時合振動的振幅等于兩分振動振幅之差2020/10/2837例1。兩個同方向同頻率的簡諧振動，其合振動的振幅為20cm,與第一簡諧振動的相位差為φ-φ1=π/6,若第一個簡諧振動的振幅為則第二個諧振動的振幅為

cm,第一、二兩個諧振動的相位差φ2---φ1=

。解：由矢量合成法則：202020/10/2838二、同方向、不同頻率的簡諧振動的合成

為了簡單起見，先討論兩個振幅相同，初相位也相同，在同方向上以不同頻率振動的合成。其振動表達式分別為：SamedirectionDifferentFrequency合成振動表達式：利用三角函數關系式：2020/10/2839當都很大，且相差甚微時，可將視為振幅變化部分，合成振動是以為角頻率的諧振動。其振幅變化的周期是由振幅絕對值變化來決定，即振動忽強忽弱，所以它是近似的諧振動，這種合振動忽強忽弱的現象稱為拍。一般情況下，合振動無明顯的周期性2020/10/2840單位時間內振動加強或減弱的次數叫拍頻顯然，拍頻是振動的頻率的兩倍。即拍頻為：應用：可用于校準鋼琴2020/10/28412020/10/2842XYω1ω2用旋轉矢量說明拍頻的頻率為，的頻率為每單位時間振動1追趕振動2次每追趕一次重合一次，振幅達到最大一次。拍頻為：音叉演示2020/10/2843三、方向垂直、同頻率簡諧振動的合成設一個質點同時參與了兩個振動方向相互垂直的同頻率簡諧振動，即2020/10/2844上式是個橢圓方程，說明質點的運動軌跡是橢圓，具體形狀由相位差決定。討論1

所以是在直線上的運動。2020/10/2845討論2所以是在直線上的振動。討論3

所以是在X軸半軸長為，

Y軸半軸長為的橢圓方程，且順時針旋轉。xy2020/10/2846質點的軌道是圓。X和Y方向的相位差決定旋轉方向。討論5討論4所以是在X軸半軸長為，

Y軸半軸長為的橢圓方程，且逆時針旋轉。xy討論6則為任一橢圓方程。綜上所述：兩個頻率相同的互相垂直的簡諧振動合成后，合振動在橢圓上進行（圓和直線是退化了的橢圓）。2020/10/28472020/10/2848四、垂直方向、不同頻率簡諧振動的合成一般是復雜的運動軌道不是封閉曲線，即合成運動不是周期性的運動。下面就兩種情況討論1。

視為同頻率的合成，不過兩個振動的相位差在緩慢地變化，所以質點運動的軌道將不斷地從下圖所示圖形依次的循環變化。當時是順時針轉；時是逆時針轉。2、如果兩個互相垂直的振動頻率成整數比，合成運動的軌道是封閉曲線，運動也具有周期。這種運動軌跡的圖形,稱為李薩如圖形。在示波器上，垂直方向與水平方向同時輸入兩個振動，已知其中一個頻率，則可根據所成圖形與已知標準的李薩如圖形去比較，就可得知另一個未知的頻率。2020/10/28492020/10/2850§9-3阻尼振動和受迫振動共振一、阻尼振動振幅隨時間減少的振動。1。阻尼的分類a.摩擦阻尼：機械能轉化為熱能b.輻射阻尼：能量輻射出去，形成波（音叉、樂器等）2。阻尼振動的方程振動系統受介質的粘滯阻力：DampedoscillationsForcedoscillationsResonance阻尼振動的動力學方程：令：稱為振動系統的固有角頻率，稱為阻尼系數。2020/10/2851（1）阻尼較小時:欠阻尼此方程的解：這種情況稱為欠阻尼，阻力使周期增大。由初始條件決定A和初相位,設即有：2020/10/2852欠阻尼a.周期T：一個位移極大到另一個極大出現的時間間隔。稱準周期運動。b.T比無阻尼時稍長。（2）阻尼較大時，方程的解：其中是積分常數，由初始條件來決定，這種情況稱為過阻尼。無振動發生。過阻尼2020/10/2853臨界阻尼稱之為臨界阻尼情況。它是振動系統剛剛不能作準周期振動，而很快回到平衡位置的情況，應用在天平調衡中。是由初始條件決定的積分常數。（3）如果方程的解：是從有周期性因子到無周期性的臨界點。2020/10/28542020/10/28551。諧振子的受迫振動：用周期性力驅動的振動。二、諧振子的受迫振動設強迫力阻尼力：是典型的常系數、二階、線性、非齊次微分方程。由微分方程理論：非齊次微分方程的通解=齊次微分方程的解+非齊次的一個特解。2。振動的特點：減幅振動和簡諧振動的疊加，t很大時，作ω=ω策的簡諧振動。2020/10/2856其解為：經過足夠長的時間，稱為定態解：該等幅振動的角頻率就是強迫力的頻率；穩定態時的振幅受迫振動的初相位：2020/10/2857討論：較小若很小，很大。求振幅對頻率的極值，得出共振的角頻率。

共振的振幅。振幅有極大值三、共振1。位移共振：A達到最大值的振動狀態（受迫振動）2020/10/2858當強迫力的頻率為某一值時，穩定受迫振動的位移振幅出現最大值的現象，叫做位移共振，簡稱共振（resonance)。發生位移共振時,因振幅最大,所以振動系統能量最大,系統形變最厲害.2。速度共振(1)時,速度振幅達到極大值,叫做速度共振.此時系統動能也達到最大值,也叫能量共振.2020/10/2859(2)速度振幅隨阻尼的減小而增大,但共振頻率皆為阻尼為零3.共振的危害及應用.利：樂器利用之可提高音效、選擇節目、器官成像（核磁共振）害：橋梁、建筑物等易受破壞。作業：9-69-89-129-132020/10/2860彈性波聲波、水波、電磁波都是物理學中常見的波。各種類型的波有其特殊性，但也有普遍的共性。例如，聲波需要介質才能傳播，電磁波卻可在真空中傳播，光波是一種電磁波。機械振動在彈性介質中的傳播稱為機械波。下面以機械波為例介紹波的一些物理概念。但它們都有類似的波動方程。ElasticWave2020/10/28612.彈性波產生的條件:(1)要有振源(波源)(2)要有傳播振動的彈性媒質3.橫波和縱波(TransversalWaveandLongitudinalWave)(1)橫波:傳播方向與振動方向垂直(繩上波)(2)縱波:傳播方向與振動方向平行(空氣中聲波)任一波例如，水面波、地表波，都能分解為橫波與縱波來進行研究。由彈性力組合的連續介質一.基本概念1.彈性波:機械振動在彈性媒質中的傳播ElasticWaveGenerationandPropagation§9-4彈性波的產生與傳播2020/10/28622020/10/28632020/10/2864(1)波面:t時刻相位相同的點組成的面(波陣面)波線波面波面波線(2)波前:某時刻在最前面的波面(3)波射線:沿波的傳播方向作的射線（也稱波線）在各向同性均勻介質中，波線與波陣面垂直.4.波的幾何描述——波面、波線、波前

WaveSurface，Line（normal），Front2020/10/28652020/10/2866二.平面簡諧波PlaneHarmonicWave1.簡諧波:(簡諧振動在空間的傳播)特點:(1)波傳到的區域中，每個質元在平衡位置附近作簡諧振動,而振動以一定的速度由近及遠傳播.(2)后振動的質點比先振動的質點的狀態落后一段時間.2.描述簡諧波的物理量(1)波速u:

單位時間內某一振動狀態(或振動相位)所傳播的距離稱為波速，也稱之相速。

取決于媒質(與頻率無關)2020/10/2867B.固體中橫波:縱波:其中:G——切變彈性模量Y——楊氏彈性模量A.液體、氣體中(僅有縱波)B——液體或氣體的容變彈性模量ρ——媒質的密度在同一種固體媒質中，橫波波速比縱波波速小些。(2)波長λ（WaveLength):波傳播過程中,同一波線上兩個相鄰的、相位差為2π的兩質元間的距離。反映了波的空間周期性。2020/10/2868(4)頻率—單位時間內質點振動的次數,或單位時間內波動前進的距離中所包含的完整波長的數目。(5)關系式(3)波的周期T：波傳過一個波長的時間，或一個完整的波通過波線上某一點所需要的時間叫做波的周期T。與振源的振動周期相同.反映了波的時間周期性.2.若媒質無吸收，各點的振幅相同，設為A。波線波面波線上各點的振動可以代表媒質中各質點的振動。結論：波線上各點的振動表達式即為平面簡諧波的波函數。平面簡諧波的特點：1、波線上一點的振動狀態與過該點的波面上各點的振動狀態相同。2020/10/2869已知：1、原點o的振動表達式2、波速為，方向沿軸正方向求任意點p在t的振動表達式。任意點p的振動表達式為：任意點p振動的狀態是原點o在時間前振動過的狀態。§9-5平面簡諧波的波函數一、波函數：能夠定量表達空間中任意點振動的數學表達式稱為波函數二、平面簡諧波的波函數2020/10/2870(3)波函數的幾種不同的形式：2020/10/2871三、波函數的物理意義:(1)當x給定時,設x=x0,則有:其中:表示x0處質點的振動情況(振動方程)(2)當t給定,設t=t0,則有:即y=y(x),表示t=t0時刻的波形圖注意:波動曲線與振動曲線的區別振動曲線波形波動曲線表示波線上各點的位移分布。2020/10/2872(3).當x,t均變化,y=y(x,t)表示不同時刻,不同平衡位置處各質元的位移。波函數描述了波形(相位)的傳播,速度為u.在△t時間內,整個波形以速度u向前推進了△x=u△t，u也稱為相速度。2020/10/28732020/10/2874(4).由波函數可求得各質元的振動速度、位移、加速度由此可知，波函數描述波動狀態注意：v和u的不同2020/10/2875左行波的波函數：所以p點的運動方程，也就是左行波的波動方程：

p點的振動狀態傳到O

點需用時間：（5）沿x軸負向傳播的情況:已知:p點的相位超前于O點相位：2020/10/2876[例題1]3082如圖,一平面波在介質中以速度u=20m/s沿x軸負方向傳播,已知A點振動方程為:y=3cos4πt(SI)求：

(1)以A點為坐標原點寫出波動方程(波函數)(2)以距A點5m處的B點為坐標原點,寫出波動方程.解:(1)若以A為原點,則有:x處t時刻的振動,與A處t+x/u時刻的振動相同,因而x處的振動為:x2020/10/2877X處質元的振動為：要點:抓住沿波的傳播方向上各點相位依次落后的特點。x(2)以距A點5m處的B點為坐標原點,寫出波動方程.B點的振動方程為：2020/10/2878[例題2]一平面余弦波,波線上各質元的振幅和角頻率分別為A和ω,波沿x軸正向傳播,波速為u,設某一瞬時的波形如圖所示,并取圖示瞬時為計時起點(1)分別以O和P為坐標原點,寫出該波的波函數.(2)確定在t=0時刻,距點O分別為x=λ/8和x=3λ/8兩處質元振動速度的大小和方向.解:(1)取O點為坐標原點,設O點振動方程為:其中:為已知,現求,由圖知,t=0時,2020/10/2879故:于是可得:波函數為:若取P點為坐標原點,點P作簡諧振動的運動方程為:由波形圖可知,t=0時刻:因此則有:（后來的位移向負方向增大）因而有:2020/10/2880(2)求質元的振動速度:X處:沿y軸負向沿y軸正向步驟:1.建立坐標系,選取計時起點2.求原點的振動方程3.由右行波或左行的規律,求x點的振動方程.2020/10/2881[例題3]已知A點振動方程為:求下列情況下的波函數.2020/10/2882作業：9-149-159-179-192020/10/2883一、波函數的幾種不同的形式（右行波）：復習左行波在x出現的地方加一負號步驟:1.建立坐標系,選取計時起點2.根據傳播方向以及波的傳播規律,求p點的振動方程（p點在x處）。建立波函數的條件：1、某點的振動表達式2、波速（大小和方向u）2020/10/2884補充內容：

惠更斯原理一、惠更斯原理表述：媒質中任一波陣面上的各點，都是發射子波的新波源，其后任意時刻，這些子波的包絡面就是新的波陣面。Huygens'principle波傳播時遇到障礙物或進入另一種媒質時，如何傳播？可用于解釋波的傳播、反射、折射、衍射等現象。2020/10/2885荷蘭物理學家，1678年提出惠更斯原理2020/10/28862020/10/28872020/10/2888一.波的疊加原理（獨立性原理）§9-6波的疊加原理波的干涉若有幾列波同時在介質中傳播，則:1.它們各自將以原有的振幅、頻率和波長獨立傳播；2.在幾列波相遇處，質元的位移等于各列波單獨傳播時在該處引起的位移的矢量和。稱波的疊加原理。能分辨不同的聲音正是這個原因；疊加原理的重要性在于可以將任一復雜的波分解為簡諧波的組合。爆炸產生的沖擊波就不滿足線性方程，所以疊加原理不適用。波疊加2020/10/28892020/10/28902020/10/2891二.波的干涉(波相遇時的一種特殊現象)1.干涉現象:

兩波相遇,在媒質中某些位置的點振幅始終最大，某些位置振幅始終最小，而其它位置，振動的強弱介乎二者之間,保持不變。稱這種振動的穩定分布為干涉現象。2.相干條件：滿足相干條件的波源稱為相干波源。（3）具有恒定的相位差（2）振動方向相同兩相干波的振幅相近或相等時干涉現象明顯。（1）兩波源具有相同的頻率2020/10/2892波的干涉之模擬演示圖2020/10/28932020/10/28943.定量公式:設有兩個頻率相同的波源和其振動表達式為：傳播到P點引起的振動為：在P

點的振動為同方向同頻率振動的合成。2020/10/2895下面討論干涉現象中的強度分布在P

點的合成振動為：其中：由于波的強度正比于振幅的平方，所以合振動的強度為：對空間不同的位置，都有恒定的，因而合強度在空間形成穩定的分布，即有干涉現象。2020/10/2896干涉相長的條件：干涉相消的條件：當兩相干波源為同相波源時，相干條件寫為：稱為波程差相長干涉相消干涉2020/10/2897[例題一](例1)如圖所示,在同一媒質中相距為20m的兩平面簡諧波源S1和S2作同方向,同頻率(ν=100Hz)的諧振動,振幅均為A,且A=0.05m,點S1為波峰時,點S2恰為波谷,波速u=200m/s,求兩波源連線上因干涉而靜止的各點位置.解:選S1處為坐標原點O,向右為x軸正方向,設點S1的振動初相位為零,由已知條件可得波源S1和S2作簡諧振動的運動方程分別為:S1發出的向右傳播的波的波函數為:S2發出的向左傳播的波的波函數為:2020/10/2898因干涉而靜止的點的條件為:化簡上式,得:將λ=u/ν=2m代入,可得:所以在兩波源的連線上因干涉而靜止的點的位置分別為:2020/10/2899駐波是干涉的特例。當頻率與繩長調整適當，繩上分段振動，某些點振幅特大，某些點不動，稱為駐波。駐波的特點不是振動的傳播，而是媒質中各質點都作穩定的振動。1.駐波:分別沿X軸正、負方向傳播的同振幅、同頻率的兩列相干波，其合成波就是典型的駐波。三.駐波2.特征:(1)無波形的跑動(與行波不同)(2)振幅A=A(x)(3)有些點不動(波節),有些點振動最強(波腹)(4)兩相鄰的分段相位相反,同一分段相位相同動畫2020/10/281002020/10/28101設有兩列相干波，分別沿X軸正、負方向傳播，選初相位均為零的表達式為：3.駐波的形成:其合成波稱為駐波表達式：實物演示2020/10/28102利用三角函數關系求出駐波的表達式：振動因子它表示各點都在作簡諧振動，各點振動的頻率相同，是原來波的頻率。但各點振幅隨位置的不同而不同。振幅因子此式為振動表達式。無波形的跑動現象（即非行波）2020/10/28103振幅最大的點稱為波腹，對應于的各點；因此：波腹的位置為：波節的位置為：

討論:(1)駐波的振幅駐波的特點不是振動的傳播，而是媒質中各質點都作穩定的振動振幅為零的點稱為波節，對應于的各點。即:即:2020/10/28104從上式得相鄰波腹間的距離為：可得相鄰波節間的距離也為相鄰波腹與波節間的距離為

因此可用測量波腹間的距離，來確定波長。應用(2)駐波的相位時間部分提供的相位對于所有的x是相同的，而空間變化帶來的相位是不同的。2020/10/28105內，在范圍內，在波節兩側點的振動相位相反。同時達到反向最大或同時達到反向最小。速度方向相反。是波節，在范圍如考查波節兩邊的振幅，

結論：*兩個相鄰波節之間的點其振動相位相同。同時達到最大或同時達到最小。速度方向相同。2020/10/281062020/10/28107[例題2]一列沿x軸方向傳播的入射波的波函數為在x=0處反射,反射點為一節點求:(1)反射波的波函數.(2)合成波的波函數

(3)波腹,波節的位置坐標.解:(1)由于有相位突變,故反射波的波函數為:(2)根據波的疊加原理,合成波的波函數為:2020/10/28108(3)形成波腹的各點,振幅最大,即:亦即:故波腹坐標為:形成波節各點,振幅最小,即:(x,x'只取負值及零)2020/10/28109當波從波疏媒質垂直入射到波密媒質界面上反射時，有半波損失，形成的駐波在界面處是波節。反之，當波從波密媒質垂直入射到波疏媒質界面上反射時，無半波損失，界面處出現波腹。四.半波損失：入射波在反射時發生反相的現象稱為半波損失。折射率較大的媒質稱為波密媒質；折射率較小的媒質稱為波疏媒質.有半波損失某一時刻無半波損失2020/10/281102020/10/281112020/10/281123.一彈簧振子作諧振動，總能量為E，如果諧振動振幅增加為原來的兩倍，重物的質量增為原來的4倍，則它的總能量E變為A:E/4;B:E/2;C:2E;D:4E2。已知：A,T,求：從B到C所需的最短時間2020/10/281136.A、B兩彈簧的倔強系數分別為kA,kB,其質量均可忽略不計，今將二彈簧連接起來并豎直懸掛，當系統靜止時，彈簧的彈性勢能EpA與EpB之比2020/10/281147.在t=0時，周期為T振幅為A的單擺分別處于圖a、b、c三種狀態，若選單擺的平衡位置為x軸的原點，x軸指向右方，則單擺作小角度擺動的振動表達式（用余弦表示）分別為2020/10/281158.一簡諧波沿x軸正向傳播，λ=4m,T=4s,x=0處振動曲線如圖：（1）寫出x=0處質點振動方程；（2）寫出波的表達式；（3）畫出t=1s時的波形。解：（1）t=0時：（2）（3）2020/10/281169.兩余弦波沿OX軸傳播，波動方程為：試確定OX軸上的合振幅為0.06m的那些點的位置。解：2020/10/28117作業：9-209-219-222020/10/28118一、波函數的幾種不同的形式（右行波）：復習左行波在x出現的地方加一負號步驟:1.建立坐標系,選取計時起點2.根據傳播方向以及波的傳播規律,求p點的振動方程（p點在x處）。建立波函數的條件：1、某點的振動表達式2、波速（大小和方向u）2020/10/28119§9-7波的能量聲波波的傳播過程:（1）振動狀態的傳播(相位)（2）能量的傳播1.行波的能量以弦上橫波為例,其波函數為:取AB段為研究對象μ為弦的質量線密度(1)AB段的動能:一、波的能量2020/10/28120(2)AB段的勢能:彈性勢能應為張力T在線元伸長的過程中所作的功,即:代入上式,得:△x很小2020/10/28121利用了(3)總機械能:(4)能量密度:單位體積中的能量。(5)平均能量密度(對t求平均)ρ為質量密度2020/10/28122(6)特點:A.相位、大小均相同(注意與振動能量相區別)

極大

能量極小

能量極小B.若x一定,總機械能并非常量與彈簧振子能量不同。C.若t一定,上圖中波形2020/10/28123D.能量以速度u傳播(由w的公式可看出)2.波的能流密度與波的強度(1)能流（EnergyFlow）—單位時間內垂直通過某一截面的能量稱為波通過該截面的能流，或叫能通量。為截面所在位置的能量密度所以，能流為：顯然能流是隨時間周期性變化的。但它總為正值設波速為u，在時間內通過垂直于波速截面的能量:2020/10/28124(2)平均能流:在一個周期內能流的平均值稱為平均能流(3)能流密度:通過垂直于波動傳播方向的單位面積的平均能流稱為平均能流密度，通常稱為能流密度或波的強度。換句話說，能流密度是單位時間內通過垂直于波速方向的單位截面的平均能量。

平均能流能流密度是矢量，其方向與波速方向相同。2020/10/28125借助于上式和能量守恒可討論波傳播時振幅的變化：在均勻不吸收能量的媒質中傳播的平面波，在行進方向上振幅不變。討論:

平面波和球面波的振幅證明：因為在一個周期內通過和面的能量應該相等所以,平面波振幅相等：2020/10/28126所以振幅與離波源的距離成反比。如果距波源1個單位距離的振幅為A則距波源r處的振幅為球面波由于振動的相位隨距離的增加而落后的關系，與平面波類似，球面簡諧波的波函數：2020/10/28127(4)波的吸收實際上，波在媒質中傳播時，媒質總要吸收一部分能量。吸收的能量轉換為媒質的內能和熱。因此，波的振幅要減小、波的強度將減弱，這種現象稱之為吸收。α為吸收系數,取決于媒質和波的頻率。2020/10/28128二、

聲波

聲波是機械縱波頻率高于20000赫茲的叫做超聲波。*聲的產生、傳播和接收。為聽覺服務，如聲音的音質、音響效果；聲學在建筑學方面的應用，噪聲的避免等。聲波測井。20到20000赫茲之間能引起聽覺的稱為可聞聲波，簡稱聲波。頻率低于20赫茲的叫做次聲波；*利用聲的傳播特性研究媒質的微觀結構；利用聲波的作用來促進化學反應，為科技服務。研究的分類：聲的概念不再局限于聽覺范圍，幾乎是振動和機械波的同義詞。聲波20000Hz20Hz超聲波次聲波2020/10/28129設在彈性媒質中有一平面余弦縱波，為密度,為聲速媒質中有聲波傳播時的壓力(壓強)與無聲波傳播時的靜壓力之差稱為聲壓。

聲壓由體彈性模量的定義：應變為：稀疏區聲壓為負，稠密區聲壓為正值。由于疏密的周期性，聲壓也是周期變化。2020/10/28130所以聲壓為：聲壓的振幅為：

聲強、聲強級*聲強就是聲波的平均能流密度。即單位時間內通過垂直于傳播方向單位面積的聲波能量。2020/10/28131式中加速度的振幅：由此可知，聲強與頻率的平方，振幅的平方成正比。這樣的超聲波在幾個毫米范圍內有比重力加速度g大十多萬倍的正負加速度和幾百個大氣壓，可見它的威力。因此，有重要的應用。聲強超聲波的頻率高，而波長在毫米數量級。壓強振幅約大氣壓。加速度已達重力加速度的上百萬倍；2020/10/28132引起人的聽覺的聲波，還有一定的聲強范圍。大約為10－12瓦/米2

～1瓦/米2。聲強太小聽不見，太大會引起痛覺。定義聲強級L為：單位為貝耳(Bel)1Bel=10dB單位為分貝(dB)*聲強級由于可聞聲強的數量級相差懸殊，通常用聲強級來描述聲強的強弱。聲音的響度是人對聲音的主觀感覺。規定聲強

I0=10-12瓦/米2作為測定聲強的標準有的地方規定戶外聲音不得大于100分貝。

如炮聲聲強1瓦/米2

，聲強級120分貝。2020/10/28133

超聲波、次聲波*超聲波：頻率高，波長短，定向傳播性好；穿透性好，在液體、固體中傳播時，衰減很小，能量高等。定位、測距、探傷、顯象，隨著激光全息的發展聲全息也日益發展，它在地質、醫學等領域有重要的意義；近來在超聲延時方面有新的發展，因為它的波速比電磁波速低。由于能量大而集中可用來切削、焊接，鉆孔，清洗機件還可用來處理種子和催化。特點用途超聲波的傳播速度對于介質的密度、濃度、成分、溫度、壓力的變化很敏感。利用這些可間接測量其他有關物理量。這種非聲量的聲測法具有測量精密度高、速度快的優點；2020/10/28134頻率在10－4～20赫芝之間的機械波，人耳聽不到。*次聲波因為