行列式行列式按行列展開第1頁，課件共29頁，創作于2023年2月一、余子式、代數余子式的概念二、行列式按行（列）展開三、代數余子式的性質與應用第一章行列式主要內容：第2頁，課件共29頁，創作于2023年2月一、余子式、代數余子式所在的第i行和第j列在n階行列式中，把元素的余子式（complementminor），記作階行列式叫做元素劃去后，剩下來的代數余子式（algebraiccomplementminor），而前面附以符號后，叫做元素的來表示，即用符號第3頁，課件共29頁，創作于2023年2月例如4階行列式中元素的余子式和代數余子式分別為：第4頁，課件共29頁，創作于2023年2月引理一個階行列式，如果其中第行所有元素除外都為零，那末這行列式等于與它的代數余子式的乘積，即．例如第5頁，課件共29頁，創作于2023年2月證當位于第一行第一列時,即有又從而再證一般情形,此時第6頁，課件共29頁，創作于2023年2月得把D中的第i行依次與第i-1行，第i-2行，第1行對調第7頁，課件共29頁，創作于2023年2月得再把D中的第j列依次與第j-1列，第j-2列，第1列對調第8頁，課件共29頁，創作于2023年2月第9頁，課件共29頁，創作于2023年2月中的余子式元素在行列式中的余子式仍然是在第10頁，課件共29頁，創作于2023年2月故得于是有第11頁，課件共29頁，創作于2023年2月在運用定理3來計算行列式時，總是按含0最多的行或列來展開行列式，因為0位置的代數余子式乘以0后仍然是0。第12頁，課件共29頁，創作于2023年2月例1證明：第13頁，課件共29頁，創作于2023年2月證：由定理3將行列式按第1行展開，對這個n－1階行列式再按第1行展開有：這樣逐步推下去，則得到

第14頁，課件共29頁，創作于2023年2月例2

計算的值。第15頁，課件共29頁，創作于2023年2月

第16頁，課件共29頁，創作于2023年2月第17頁，課件共29頁，創作于2023年2月證：用數學歸納法所以當時，(1)式成立。因為第18頁，課件共29頁，創作于2023年2月假設(1)對于n-1階范德蒙德行列式成立，按第1列展開，并把每列的公因子提出，就有第19頁，課件共29頁，創作于2023年2月

n-1階范德蒙德行列式第20頁，課件共29頁，創作于2023年2月推論行列式任一行（列）的元素與另一行（列）的對應元素的代數余子式乘積之和等于零，即證把行列式D按第j行展開，有第21頁，課件共29頁，創作于2023年2月第i行同理，相同把換成，可得第j行當時，第22頁，課件共29頁，創作于2023年2月關于代數余子式的重要性質其中第23頁，課件共29頁，創作于2023年2月例4設D的(i，j)元的余子式和代數余子式依次記作和，求第24頁，課件共29頁，創作于2023年2月解：第25頁，課件共29頁，創作于2023年2月第26頁，課件共29頁，創作于2023年2月小結一、余子式與代數余子式二、行列式按行（列）展開（重點）三、代數余子式的性質與應用（難點）第27頁，課件共29頁，創作于2023年2月課后作業1）作業：書上25頁習題一第5（2），6（4）（5），

8（1）