第1課時函數的單調性必備知識·自主學習(1)定義導思1.怎樣描述函數的圖象上升、下降的性質？2.什么是函數的單調區間？函數增函數減函數圖示

條件設函數f(x)的定義域為I，區間D?I：如果?x1，x2∈D，當x1<x2時，都有___________都有___________結論f(x)在區間D上單調_____f(x)在區間D上單調_____f(x1)<f(x2)f(x1)>f(x2)遞增遞減(2)本質：函數的單調性反映的是兩個變量的對應變換規律，定量地刻畫了函數在區間上圖象的變化趨勢，是函數諸多性質中最核心、最本質的性質.(3)應用：證明函數的單調性、比較大小、解不等式、求參數范圍等.【思考】函數單調性的定義中，能否將“?”改為“?”？提示：不能，一些特殊的值滿足并不能說明函數的單調性.(1)單調函數：當函數在它的定義域上單調遞增(減)時，就稱它是增(減)函數；(2)單調性與單調區間：如果函數y=f(x)在區間D上單調遞增或單調遞減，那么就說函數y=f(x)在這一區間具有(嚴格的)_______，區間D叫做y=f(x)的__________.單調性單調區間【思考】函數y=f(x)在定義域內的每一個區間D1，D2，…上都單調遞減，那么函數在定義域上是減函數嗎？你能舉例說明嗎？提示：不是.如函數y=在(-∞，0)，(0，+∞)上都單調遞減，但在定義域上不具有單調性.【基礎小測】1.辨析記憶(對的打“√”，錯的打“×”)(1)函數f(x)=x2，因為-1<2，且f(-1)<f(2)，則函數是增函數. ()(2)函數f(x)=在(-∞，0)∪(0，+∞)上是減函數. ()(3)函數f(x)在某一區間D上要么是單調遞增要么是單調遞減. ()提示：(1)×.函數f(x)=x2在R上不具有單調性.(2)×.函數f(x)=的減區間為(-∞，0)，(0，+∞)，不能用“并”表示.(3)×.常數函數不具有嚴格的單調性.2.函數y=f(x)的圖象如圖所示，其減區間是 ()

A.[-4，4] B.[-4，-3]∪[1，4]C.[-3，1] D.[-4，-3]，[1，4]【解析】選D.由圖象知函數在[-4，-3]以及[1，4]上單調遞減，則對應的減區間為[-4，-3]，[1，4].3.(教材二次開發：例題改編)若函數f(x)=(2k-1)x+1是減函數，則實數k的取值范圍是_______.

【解析】由題意知，2k-1<0，解得k<.答案：

關鍵能力·合作學習類型一利用圖象求函數的單調區間(數學抽象、直觀想象)【題組訓練】1.(2020·龍巖高一檢測)圖中是定義在區間[-5，5]上的函數y=f(x)，則下列關于函數f(x)的說法錯誤的是 ()A.函數在區間[-5，-3]上單調遞增B.函數在區間[1，4]上單調遞增C.函數在區間[-3，1]∪[4，5]上單調遞減D.函數在區間[-5，5]上沒有單調性2.(2020·海淀高一檢測)下列函數中，在區間(0，1)上單調遞增的是()A.y=|x|-2 B.y=|x-3|C.y= D.y=-x23.(2020·周口高一檢測)函數y=|x|(1-x)在區間A上單調遞減，那么區間A是 ()A.(-∞，0) B.C.[0，+∞) D.(-∞，0)，【解析】1.選C.若一個函數出現兩個或兩個以上的單調區間時，不能用“∪”連接.2.選A.根據題意，依次分析選項：對于A，y=|x|-2=在區間(0，1)上單調遞增，符合題意；對于B，y=|x-3|=在區間(0，1)上單調遞減，不符合題意；對于C，y=，在區間(0，1)上單調遞減，不符合題意；對于D，y=-x2，在區間(0，1)上單調遞減，不符合題意.3.選D.y=|x|(1-x)=

再結合二次函數圖象可知函數y=|x|(1-x)的單調遞減區間是(-∞，0)，【解題策略】圖象法求函數單調區間的步驟(1)作圖：作出函數的圖象.(2)結論：上升圖象對應單調遞增區間，下降圖象對應單調遞減區間.【補償訓練】畫出函數y=|x|(x-2)的圖象，并指出函數的單調區間.【解析】y=|x|(x-2)=函數的圖象如圖所示.由函數的圖象知：函數的單調遞增區間為(-∞，0]和[1，+∞)，單調遞減區間為[0，1].類型二利用定義證明函數的單調性(數學抽象、邏輯推理)【典例】證明函數f(x)=在區間(2，+∞)上單調遞減.四步內容理解題意條件：函數f(x)=，x∈(2，+∞)結論：函數f(x)在(2，+∞)上單調遞減思路探求任取x1，x2∈(2，+∞)，且x1<x2?f(x1)>f(x2)?函數在(2，+∞)上單調遞減四步內容書寫表達

因為2<x1<x2，所以x2-x1>0，所以f(x1)-f(x2)>0，即f(x1)>f(x2).所以函數f(x)=在(2，+∞)上單調遞減.注意書寫的規范性：①x1，x2取值任意且分大小；②變形是解題關鍵.題后反思利用定義法證明函數單調性的關鍵是作差之后的變形，且變形的結果是幾個因式乘積的形式.【解題策略】利用定義證明函數單調性的步驟【題組訓練】(2020·哈爾濱高一檢測)求證：函數f(x)=--1在區間(-∞，0)上單調遞增.【證明】?x1，x2∈(-∞，0)，且x1<x2<0，因為f(x1)-f(x2)=由題設可得，x1-x2<0，x1·x2>0，所以f(x1)-f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，故函數f(x)=--1在區間(-∞，0)上單調遞增.【拓展延伸】(1)當f(x)>0時，函數y=與y=f(x)的單調性相反，對于f(x)<0也成立.(2)在公共定義域內，兩增函數的和仍為增函數，增函數減去一個減函數所得的函數為增函數.(3)函數f(x)與f(x)+c(c為常數)具有相同的單調性.(4)當c>0時，函數f(x)與cf(x)具有相同的單調性；當c<0時，函數f(x)與cf(x)具有相反的單調性.2.函數y=x+(a≠0)的單調性(1)若a>0，函數y=x+的圖象如圖1所示，則函數y=x+的單調增區間是(-∞，-]和[，+∞)，單調減區間是(-，0)和(0，).(2)若a<0，其圖象如圖2所示，函數y=x+在(-∞，0)和(0，+∞)上均單調遞增，即y=x+的單調增區間為(-∞，0)和(0，+∞).【拓展訓練】(2020·杭州高一檢測)函數y=2x+的單調遞增區間為_______.

【解析】y=2，由對勾函數的圖象可知，單調遞增區間為(-∞，-)和(，+∞).答案：(-∞，-)和(，+∞)類型三函數單調性的簡單應用(數學抽象、邏輯推理)

角度1利用單調性解不等式

【典例】(2020·佛山高一檢測)函數f(x)在[0，+∞)上單調遞減，且f(2)=-1，則滿足f(2x-4)>-1的實數x的取值范圍是 ()A.(3，+∞) B.(-∞，3)C.[2，3) D.[0，3)【思路導引】從定義域，單調性兩個方面列不等式求范圍.【解析】選C.因為f(2)=-1，所以由f(2x-4)>-1得，f(2x-4)>f(2)，且f(x)在[0，+∞)上單調遞減，所以0≤2x-4<2，解得2≤x<3，所以滿足f(2x-4)>-1的實數x的取值范圍是[2，3).【變式探究】本例的條件若改為“單調遞增”，試求x的取值范圍.【解析】因為f(2)=-1，所以由f(2x-4)>-1，得f(2x-4)>f(2)，又f(x)在[0，+∞)上單調遞增，所以2x-4>2，解得x>3.角度2分段函數的單調性

【典例】(2020·宜春高一檢測)已知函數f(x)=是增函數，則實數a的取值范圍是_______.

【思路導引】分別考查x≥1，x<1，分界點三個方面的因素求范圍.【解析】因為函數f(x)=在(-∞，+∞)上單調遞增，又函數y=ax2-ax-1的對稱軸為x=1，所以解得-≤a<0.答案：

【解題策略】利用函數的單調性解不等式主要依據函數單調性的定義和性質，將符號“f”脫掉，列出關于未知量的不等式(組)，然后求解，要注意函數的定義域.首先分析每段上的單調性，其次是分界點處函數值的大小，如果是增函數，則分界點左側值小于等于右側值，如果是減函數，則分界點左側值大于等于右側值.【題組訓練】1.(2020·沈陽高一檢測)f(x)=x|x|，若f(2m+1)+f(1-m)>0，則m的取值范圍是 ()A.(-∞，-1) B.(-∞，-2)C.(-1，+∞) D.(-2，+∞)【解析】選D.因為f(x)=x|x|=所以f(x)在R上是增函數，且f(-x)=-f(x)，所以由f(2m+1)+f(1-m)>0得，f(2m+1)>f(m-1)，所以2m+1>m-1，解得m>-2，所以m的取值范圍為(-2，+∞).2.定義域在R上的函數f(x)滿足對任意的x1，x2∈R，且x1≠x2，都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0，則有 ()A.f(-2)<f(1)<f(3) B.f(1)<f(-2)<f(3)C.f(3)<f(-2)<f(1) D.f(3)<f(1)<f(-2)【解析】1，x2∈R，且x1≠x2，都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0，當x1<x2時，x1-x2<0，則f(x1)-f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)；當x1>x2時，x1-x2>0，則f(x1)-f(x2)>0，即f(x1)>f(x2).可得函數f(x)是在R上的增函數，所以f(-2)<f(1)<f(3).3.已知函數f(x)=是定義在R上的減函數，則實數a的取值范圍是_______.

【解析】根據題意，函數f(x)=是R上的減函數，必有≥1，且a-4<0，且1-(a+1)+7≥(a-4)+5，解得1≤a≤3，即a的取值范圍為[1，3].答案：[1，3]【補償訓練】(2020·無錫高一檢測)已知f(x)=x2-(m+2)x+2在[1，3]上單調，則實數m的取值范圍為_______.

【解析】根據題意，f(x)=x2-(m+2)x+2為二次函數，其對稱軸為x=，因為f(x)在[1，3]上單調，則有≤1或≥3，解得m≤0或m≥4，即m的取值范圍為m≤0或m≥4.答案：m≤0或m≥4【典例備選】抽象函數的單調性(數學抽象、邏輯推理)【典例】(2020·撫順高一檢測)函數f(x)對任意的m，n∈R，都有f(m+n)=f(m)+f(n)-1，并且x>0時，恒有f(x)>1.(1)求證：f(x)是增函數.(2)若f(3)=4，解不等式f(a2+a-5)<2.【思路導引】(1)按照單調性的定義，構造f(x2)-f(x1)，再判斷符號.(2)將2化為f(x0)的形式，再利用單調性解不等式.【解析】(1)設x1，x2∈R，且x1<x2，則x2-x1>0，所以f(x2-x1)>1，f(x2)-f(x1)=f((x2-x1)+x1)-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)，所以f(x)是R上的增函數.(2)因為m，n∈R，不妨設m=n=1，所以f(1+1)=f(1)+f(1)-1，即f(2)=2f(1)-1，f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)-1=2f(1)-1+f(1)-1=3f(1)-2=4，所以f(1)=2.所以f(a2+a-5)<f(1)，因為f(x)為增函數，所以a2+a-5<1，得-3<a<2，即a∈(-3，2).【解題策略】關于抽象函數的單調性證明(1)證明抽象函數的單調性的根本還是單調性的定義，要圍繞構造定義式展開思維.(2)構造定義式的依據是已知的抽象函數的性質關系式，需要靈活進行自變量的賦值、拆分、組合，直到構造出f(x1)-f(x2)，再利用已知條件展開化簡.【跟蹤訓練】若f(x)的定義域為(0，+∞)，當0<x<1時，f(x)<0，且對一切x，y>0，滿足f()=f(x)-f(y).(1)證明函數f(x)是增函數.(2)若f(6)=1，解不等式f(x+3)-f()<2.【解析】(1)因為當0<x<1時，f(x)<0，?x1，x2∈(0，+∞)，x1<x2，則0<<1，f(x1)-f(x2)=f()<0，所以f(x1)<f(x2)，所以函數f(x)是增函數.(2)因為f(6)=1，所以2=1+1=f(6)+f(6)，所以不等式f(x+3)-f()<2，等價為不等式f(x+3)-f()<f(6)+f(6).所以f(3x+9)-f(6)<f(6)，即f()<f(6)，因為f(x)在(0，+∞)上單調遞增，所以解得-3