數學物理方法變分法第1頁，課件共43頁，創作于2023年2月

如果某個定解問題不能嚴格解出，但另一個與它差別甚微的定解問題能嚴格解出，那么就可以運用微擾法求近似解．量子力學教科書中一般都要介紹微擾法，限于課時，這里就不再重復介紹．近似解法涉及：變分法，有限差分法和模擬法等．

變分法是研究求解泛函極值（極大或極?。┑姆椒?，變分問題即是求泛函的極值問題．把定解問題轉化為變分問題，再求變分問題的解．第2頁，課件共43頁，創作于2023年2月變分法的優點:

(2)

變分法易于實現數學的統一化．因為一般而言，數學物理方程的定解問題都可以轉化為變分問題．尤其是前面介紹的斯特姆－劉維爾本征值問題可轉化為變分問題，變分法提供了施－劉型本征值問題的本征函數系的完備性等結論的證明；(1)變分法在物理上可以歸納定律．因為幾乎所有的自然定律都能用變分原理的形式予以表達；第3頁，課件共43頁，創作于2023年2月(3)

變分法是解數學物理定解問題常用的近似方法，其基本思想是把數學物理定解問題轉化為變分問題由直接解變分問題發展了一些近似解法，其中最有用的是里茨（Ritz）法．由于里茨法中的試探函數的選取較為麻煩，計算系數矩陣也十分困難，隨著計算機的展，又迅速發展了一種有限元法；

(4)

變分法的應用不僅在經典物理和工程技術域，而且在現代量子場論，現代控制理論和現代信息理論等高技術領域都有十分廣泛的應用．第4頁，課件共43頁，創作于2023年2月有限差分法：有限差分法把定解問題轉化為代數方程，然后通過電子計算機求定解問題的數值解．模擬法：即用一定的物理模型來模擬所研究的定解問題，而在模型上實測解的數值．

變分法是這些方法中最為重要和切實有效的方法，已經廣泛應用于科學研究和工程計算之中，限于篇幅故本書主要詳細介紹經典變分法的基本概念和理論．第5頁，課件共43頁，創作于2023年2月13.1變分法的基本概念定義：變分法變分問題

變分法就是求泛函極值的方法．變分問題即是求泛函的極值問題．一、泛函

變分法研究的對象是泛函，泛函是函數概念的推廣．為了說明泛函概念先看一個例題：第6頁，課件共43頁，創作于2023年2月

考慮著名的最速降線落徑問題。如圖13.1所示，已知A和B為不在同一鉛垂線和不同高度的兩點，要求找出A、B間的這樣一條曲線，當一質點在重力作用下沿這條曲線無摩擦地從A滑到B時，所需的時間T最?。畧D13.1第7頁，課件共43頁，創作于2023年2月我們知道，此時質點的速度是

因此從A滑到B所需的時間為即為（13.1.1）第8頁，課件共43頁，創作于2023年2月式中代表對求一階導數．我們稱上述的為的泛函，而稱為可取的函數類，為泛函的定義域。簡單地說，泛函就是函數的函數（不是復合函數的那種含義）．一般來說，設C是函數的集合，B是實數或復數的集合，如果對于C的任一元素在B中都有一個元素與之對應，則稱為的泛函，記為必須注意，泛函不同于通常講的函數．決定通常函數值的第9頁，課件共43頁，創作于2023年2月因素是自變量的取值，而決定泛函的值的因素則是函數的取形．如上面例子中的泛函T的變化是由函數（即從A到B的不同曲線）值，也不取決所引起的．它的值既不取決于某一個本身的變化于某一個值，而是取決于整個集合C中與的函數關系．定義：泛函泛函的核

泛函通常以積分形式出現，比如上面描述的最速降線落徑問題的式（13.1.1）．更為一般而又典型的泛函定義為

(13.1.2)其中稱為泛函的核．第10頁，課件共43頁，創作于2023年2月二、泛函的極值――變分法對于不同的自變量函數，與此相應的泛函也有不同的數值．找出一個確定的自變量函數，使泛函

具有極值（極小或極大），這種泛函的極小值與極大值統稱為泛函的極值．引入泛函的概念后，對于上述的最速降線落徑問題變為泛函的極小值問題．物理學中常見的有光學中的費馬(Fermat)原理，分析力學中的哈密頓(Hamiton)原理等，都是泛函的極值問題．第11頁，課件共43頁，創作于2023年2月即直接分析所提出的問題；另一類叫間接法，即把問題轉化為求解微分方程．為討論間接方法，先介紹變分和泛函的變分．三、變分

定義：變分

如果我們將泛函取極值時的函數（或函數曲線）定義為并定義與函數曲線鄰近的曲線（或略為變形的定義：變分法：所謂的變分法就是求泛函極值的方法．研究泛函極值問題的方法可以歸為兩類：一類叫直接法，第12頁，課件共43頁，創作于2023年2月曲線）作為比較曲線，記為其中是一個小參數；是一個具有二階導數的任意選定函數，規定它在一個小范圍內變化，這限制主要保證泛函在極值處連續．在研究泛函極值時，通常將固定，而令變化，這樣規定的好處在于：建立了由參數到泛函值之間的對應關系，因此泛函就成為了參數的普通函數．原來泛函的極值問題就成為第13頁，課件共43頁，創作于2023年2月普通函數對的求極值的問題．同時，函數曲線的變分定義為(13.1.3)因此可得(13.1.4)這里代表對求一階導數．

所以(13.1.5)即變分和微分可以交換次序．

第14頁，課件共43頁，創作于2023年2月

(13.1.6)在極值曲線附近，泛函

的增量，定義為(13.1.7)依照上述約定，當時，泛函增量的線性主要部分定義為泛函的變分，記為四、泛函的變分定義：泛函的變分泛函的增量變分問題泛函的變分定義為

(13.1.8)第15頁，課件共43頁，創作于2023年2月

在求一元或多元函數的極值時，微分起了很大的作用；同樣在研究泛函極值問題時，變分起著類似微分的作用．因此，通常稱泛函極值問題為變分問題；稱求泛函極值的方法為變分法．解

注意：最后一步利用了一般在邊界上函數變分為零的事實，即例1

計算泛函的變分第16頁，課件共43頁，創作于2023年2月13．2泛函的極值

泛函的極值問題，一般來說是比較復雜的．因為它與泛函包含的自變量個數，未知函數的個數以及函數導數的階數等相關．另外，在求泛函極值時，有的還要加約束條件，且約束條件的類型也有不同，等等．下面我們首先討論泛函的極值的必要條件．第17頁，課件共43頁，創作于2023年2月一、泛函的極值的必要條件――歐拉－拉格朗日方程

設的極值問題有解（13.2.1）

現在推導這個解所滿足的常微分方程，這是用間接法研究泛函極值問題的重要一環．設想這個解有變分則可視為參數的函數而當時，第18頁，課件共43頁，創作于2023年2月對應于式(13.2.1),即為取極值．于是原來的泛函極值問題，就化為一個求普通函數的極值問題．由函數取極值的必要條件，有即有（13.2.2）第19頁，課件共43頁，創作于2023年2月

1.泛函表示為一個自變量，一個函數及其一階導數的積分形式泛函表示為一個自變量，一個函數及其一階導數的積分形式，（13.1.2）若考慮兩端固定邊界的泛函問題：積分是在區域內通過兩點的任意曲線進行的，其中第20頁，課件共43頁，創作于2023年2月泛函中為由于兩端固定，所以要求，即．由(13.1.8)，有（13.2.3）第21頁，課件共43頁，創作于2023年2月式(13.2.3)的積分號下既有，又有，對第二項應用分部積分法可使積分號下出現(13.2.4)根據（17.2.2）,所以

,再根據（13.2.4）故有（13.2.5）第22頁，課件共43頁，創作于2023年2月因為并且是任意的，所以

(13.2.6)

上式(13.2.6)稱為歐拉（Euler）－拉格朗日（Lagrange）方程，簡稱為E-L方程．此即泛函取極值的必要條件．即泛函的極值函數必須是滿足泛函的變分的函數類．因此，第23頁，課件共43頁，創作于2023年2月把泛函的極值問題稱為變分問題．

注明：E-L方程是泛函取極值的必要條件，而不是充分條件．如果討論充分條件，則要計算二階變分，并考慮其正、負值,但對于實際問題中，當泛函具有明確的物理涵義，極值的存在性往往間接地在問題的提法中就可以肯定，所以極值的存在性是不成問題的，只要解出E-L方程，就可以得到泛函的極值．

E-L方程除了上面給出的形式(13.2.6)之外，另外還有四種特殊情況：第24頁，課件共43頁，創作于2023年2月(1)不顯含且因為若E-L方程等價于

（13.2.7）第25頁，課件共43頁，創作于2023年2月(2)不依賴于且則E-L方程化為（13.2.8）(3)不依賴于且則E-L方程化為（13.2.9）第26頁，課件共43頁，創作于2023年2月由此可見僅為的函數．(4)關于是線性的：則E-L方程化為（13.2.10）

對于含有一個自變量，多個變量函數，以及有較高階變量函數導數的泛函，類似上面的推導可得如下結論：第27頁，課件共43頁，創作于2023年2月2.泛函表示為多個函數的積分形式則與此泛函極值問題相應的E-L方程為（13.2.11）第28頁，課件共43頁，創作于2023年2月3.泛函的積分形式中含有高階導數與此泛函極值問題相應的E-L方程為（13.2.12）第29頁，課件共43頁，創作于2023年2月4.泛函的積分形式中含有多元函數設為的二元函數，則與此泛函極值問題相應的E-L方程為（13.2.13）第30頁，課件共43頁，創作于2023年2月不顯含，故其E-L方程為（13.2.7）式令故有例2

試求解最速降線落徑問題，即變分問題解目前，我們只能用間接方法來求解，由于第31頁，課件共43頁，創作于2023年2月令分離變量得到再令代入上式得到即得到第32頁，課件共43頁，創作于2023年2月此即為擺線的參數方程，積分常數可由初始位置（圖13.1的A,B兩點）決定．13.2.2泛函的條件極值問題

在許多泛函的極值問題中，變量函數還受到一些附加條件的限制，其中最常見和重要的一種是以積分形式表示的限制條件（13.2.14）第33頁，課件共43頁，創作于2023年2月即所謂的等周問題：

(13.2.15)（注：這種問題之所以稱為等周問題，是因為在歷史上起源于求一條通過兩點，長度固定為l的曲線使面積取極大值）第34頁，課件共43頁，創作于2023年2月其中為常數．此類問題可以仿照普通函數的條件極值問題的拉格朗日乘子法．即將附加條件(13.2.14)乘以參數，求其變分后，加到泛函取極值的必要條件中得到于是問題轉化為不帶條件的由上式所表示的變分問題．

其對應的E-L方程為第35頁，課件共43頁，創作于2023年2月這是通過和兩點的之下使泛函取極值的必要條件．它實際上是一個關于在附加條件（13.2.14）的二階常微分方程．其通解中含有三個參數，即和兩個積分常數．它們可由條件（13.2.14）來確定.和附加條件第36頁，課件共43頁，創作于2023年2月

例3

求的極值，其中是歸一化的，即，且已知

解本題是求泛函的條件極值問題，可化為變分問題對應的E-L方程為其通解為第37頁，課件共43頁，創作于2023年2月代入附加條件得到代入歸一化條件得到于是得到，故原極值問題的解為而題中要求的泛函的極值為第38頁，課件共43頁，創作于2023年2月當時，極值函數使得泛函數取得最小值例4

求泛函在條件下的極值曲線.解

此時則偏導數第39頁，課件共43頁，創作于2023年2月.對應的Euler方程為其通解為代入邊界條件可得所以極值曲線為

第40頁，課件共43頁，創作于2023年2月13.3光學中的泛函極值典型例子泛函極值問題的求解,通常有兩