期末總復(fù)習(xí)第一部分向量代數(shù)與空間解析幾何1、向量的方向余弦（一）向量代數(shù)兩點間的距離模：方向余弦：2、數(shù)量積、向量積和混合積的幾何應(yīng)用（1）數(shù)量積的幾何應(yīng)用1）幾何表示：2）代數(shù)表示：2、數(shù)量積、向量積和混合積的幾何應(yīng)用（1）數(shù)量積的幾何應(yīng)用1）幾何表示：2）代數(shù)表示：3）幾何應(yīng)用：a.求模：b.求夾角：c.判別兩個向量垂直：（2）向量積的幾何應(yīng)用1）幾何表示：2）代數(shù)表示：（2）向量積的幾何應(yīng)用1）幾何表示：2）代數(shù)表示：3）幾何應(yīng)用：a.求同時垂直于兩個向量的向量：b.c.判別兩個向量平行：（3）混合積的幾何應(yīng)用1）代數(shù)表示：（3）混合積的幾何應(yīng)用1）代數(shù)表示：2）幾何應(yīng)用：a.平行六面體體積：b.判別三向量共面：（二）直線與平面1、平面方程及轉(zhuǎn)換關(guān)系1）一般式：2）點法式：3）截距式：2、直線方程及轉(zhuǎn)換關(guān)系1）一般式：2）對稱式：3）對參數(shù)式：3、直線與平面間的位置關(guān)系1）兩平面之間：兩平面垂直：兩平面平行：2）兩直線之間：兩直線垂直：兩直線平行：3）平面和直線之間：直線與平面垂直：直線與平面平行：4）點到平面的距離：4）點到平面的距離：（三）曲面與空間曲線（1）曲面方程（2）旋轉(zhuǎn)曲面一條平面曲線C繞一條定直線旋轉(zhuǎn)一周而成的曲面.定義:1）2）（3）柱面平行于定直線并沿定曲線C移動的直線l形成的軌跡叫做定義:柱面,曲線C叫做準線,l叫做母線.（3）柱面平行于定直線并沿定曲線C移動的直線l形成的軌跡叫做定義:柱面,曲線C叫做準線,l叫做母線.一般地,在三維空間中,方程缺哪個變量,則方程代表母線平行于該變量所代表軸的柱面.（4）空間曲線一般式（4）空間曲線一般式參數(shù)式（5）

投影曲線

（四）必須熟練掌握的常見的二次曲面的方程及其圖形（1）球面（2）橢球面（3）圓錐面（4）旋轉(zhuǎn)拋物面（5）圓柱面第二部分多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用一、多元函數(shù)的極限、連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)與全微分（一）基本內(nèi)容小結(jié)1、多元函數(shù)2、二元函數(shù)的極限與連續(xù)3、二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與全微分3、二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與全微分連續(xù)可偏導(dǎo)可微偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)（二）重點、難點及易錯點解析1、求二元函數(shù)在分段函數(shù)的分界點或不連續(xù)點處的偏導(dǎo)數(shù),需用偏導(dǎo)數(shù)定義.極限存在（三）常見的題型分析二、多元函數(shù)的微分法（一）基本內(nèi)容小結(jié)1.復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與全微分2.隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與全微分（二）重點、難點及易錯點解析兩者區(qū)別區(qū)別類似把z=f(u,x,y)中的u

及y

看作不變而對x

求偏導(dǎo)數(shù)把復(fù)合函數(shù)z=f[(x,y),x,y]中的y

看作不變而對

x

求偏導(dǎo)數(shù)（三）常見題型分析1.求復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與全微分（2）含有抽象函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)（二階混合偏）及全微分要點：含有抽象函數(shù)的二元復(fù)合函數(shù)二階偏導(dǎo)數(shù)的計算.要點：含有抽象函數(shù)的二元復(fù)合函數(shù)二階偏導(dǎo)數(shù)的計算.（2）含有抽象函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)（二階混合偏）及全微分2.求隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與全微分例設(shè)是由方程所確定的二元函數(shù)，求較麻煩對定點處，較簡單三、多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用（一）基本內(nèi)容小結(jié)1、空間曲線的切線及法平面2、空間曲面的切平面及法線（二）重點、難點、易錯點講解1、2、（三）

常見的題型分析

曲面在某點處的切平面、空間曲線在某點處的切線1、曲面在某點處的切平面（1）設(shè)曲面方程為第一步：計算第二步：計算曲面的法向量第三步：分別寫出切平面和法線的方程（2）設(shè)曲面方程為第一步：取第二步：計算曲面的法向量第三步：利用點法式和對稱式分別寫出切平面和法線的方程四、方向?qū)?shù)與梯度（一）基本內(nèi)容小結(jié)1、方向?qū)?shù)2、梯度（二）常見的題型分析1、求函數(shù)在定點沿指定射線方向的方向?qū)?shù).2、求函數(shù)在定點處的最大方向?qū)?shù)（梯度方向）.五、多元函數(shù)的極值與最值（一）基本內(nèi)容小結(jié)1.無條件極值注意：駐點極值點即2.條件極值（二）常見的題型分析1.無條件極值問題（三）常見的題型分析1.無條件極值問題2.條件極值(最值)問題第三部分重積分一、

二重積分1.二重積分的定義及幾何意義（一）基本內(nèi)容小結(jié)2.二重積分的性質(zhì)3.二重積分的計算（二）重點、難點及易錯點解析1.直角坐標系下化二重積分為二次積分時,應(yīng)注意事項2.直角坐標系下如何確定積分次序?2.直角坐標系下如何確定積分次序?3.利用對稱性簡化二重積分計算（三）常見的題型分析1.計算二重積分計算二重積分的一般步驟:1)畫出積分區(qū)域D的草圖,考察D是否具有對稱性,被積函數(shù)是否具有奇偶性，或被積函數(shù)中部分項是否具有奇偶性.2)根據(jù)D的形狀和被積函數(shù)的形式選取適當?shù)淖鴺讼?3)根據(jù)D的類型和被積函數(shù)的特點選取適當?shù)姆e分次序.4)確定二次積分的積分限并計算二次積分.2.累次積分交換積分次序及計算交換積分次序的一般步驟:二、

三重積分（一）基本內(nèi)容小結(jié)1.三重積分的概念與性質(zhì)2.三重積分的計算法3.重積分的應(yīng)用（二）重點、難點及易錯點解析1.坐標系及積分方法的選擇1.坐標系及積分方法的選擇2.對稱性和奇偶性的應(yīng)用2.對稱性和奇偶性的應(yīng)用（三）常見的題型分析1、三重積分化為三次積分問題2、利用對稱性計算三重積分3、在三種坐標系下計算三重積分的問題4、重積分的應(yīng)用問題（主要是幾何應(yīng)用）第四部分曲線積分與曲面積分1、第一類曲線積分（對弧長）一、曲線積分一代二換三定限2、第二類曲線積分(對坐標)一代二換三定限3.兩類曲線積分的關(guān)系3、兩類曲線積分的關(guān)系4、格林公式5、平面上第二類曲線積分與路徑無關(guān)的幾個等價命題5、平面上第二類曲線積分與路徑無關(guān)的幾個等價命題二、曲面積分1、第一類曲面積分（對面積）1、第一類曲面積分（對面積）二代三換一投2、第二類曲面積分（對坐標）2、

第二類曲面積分（對坐標）二代三定號一投3、兩類曲面積分之間的關(guān)系4、高斯公式4、高斯公式三、重點、難點、易錯點解析2、利用格林公式計算第二類曲線積分常見的錯誤3、利用高斯公式計算曲面積分常見的錯誤4、一個重要的結(jié)論四、常見的題型分析1、第一類曲線積分（對弧長）的計算一代二換三定限方法：化為定積分一代二換三定限注意：1）可用曲線方程簡化被積函數(shù);2）可用對稱性簡化計算（同二重積分）.2、第二類曲線積分（對坐標）的計算方法：（1）化為定積分1）直接法一代二換三定限一代二換三定限2）舍舊取新法2）舍舊取新法兩個路徑都可選擇（2）利用格林公式,化為二重積分注意格林公式的條件及挖補法的應(yīng)用.3、第一類曲面積分（對面積）的計算方法：化為二重積分二代三換一投注意：（1）可用曲面方程簡化被積函數(shù);（2）可用對稱性簡化計算（同三重積分）.4、第二類曲面積分（對坐標）的計算方法：（1）化為二重積分1）直接法二代三定號一投2）轉(zhuǎn)化為第一類曲面積分3）轉(zhuǎn)化為對同一坐標的曲面積分（不推薦）（2）利用高斯公式，轉(zhuǎn)化為三重積分（2）利用高斯公式，轉(zhuǎn)化為三重積分注意高斯公式的條件.5、積分與路徑無關(guān)的判定（二元函數(shù)全微分求積）5、積分與路徑無關(guān)的判定（二元函數(shù)全微分求積）取特殊路徑完成計算（圖1）取特殊路徑完成計算（圖2）L第五部分無窮級數(shù)1、數(shù)項級數(shù)收斂性判別（1）利用級數(shù)收斂的必要條件比值判別法，根值判別法，比較判別法2、幾個常見的級數(shù)（3）

交錯級數(shù)：萊布尼茨定理（4）

任意項級數(shù)：絕對收斂和條件收斂一、基本內(nèi)容小結(jié)（2）

正項級數(shù)（判別發(fā)散）（1）幾何級數(shù)：（2）調(diào)和級數(shù)：（3）P

級數(shù)：任意項級數(shù)收斂性判斷的一般步驟：（1）檢驗（3）用正項級數(shù)審斂法檢驗是否收斂？則原級數(shù)絕對收斂，從而收斂，（4）若發(fā)散，但是用比值或根值法判斷的，則原級數(shù)也發(fā)散。是否成立？若否，則原級數(shù)發(fā)散。若是或難求，則進行下一步；若是，否則，進行下一步；（2）若原級數(shù)為正項級數(shù)或交錯級數(shù)，則可用正項級數(shù)或萊布尼茨判別法檢驗其收斂性，否則進行下一步（5）用性質(zhì)或其它方法。3、冪級數(shù)的收斂半徑和收斂域求冪級數(shù)（1）利用極限（3）判定冪級數(shù)在端點（2）確定收斂半徑R及收斂區(qū)間處的收斂性，收斂域的一般步驟：（4）收斂域等于收斂區(qū)間加收斂的端點。說明（1）冪級數(shù)中不能出現(xiàn)“缺項”。（2）對冪級數(shù)要先做變換轉(zhuǎn)化為性質(zhì)2：冪級數(shù)且逐項積分后所得級數(shù)的和函數(shù)s(x)

在收斂域I上可積，并有逐項積分公式其收斂半徑與原級數(shù)相同。4、冪級數(shù)和函數(shù)的分析性質(zhì)性質(zhì)1：冪級數(shù)的和函數(shù)s(x)

在收斂域I上連續(xù).性質(zhì)3：冪級數(shù)的和函數(shù)s(x)

在收斂區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，并有逐項求導(dǎo)公式逐項求導(dǎo)后所得級數(shù)其收斂半徑與原級數(shù)相同。函數(shù)展開成冪級數(shù)5、函數(shù)展開成冪級數(shù)1）直接法2）間接法

利用已知的冪級數(shù)展開式，通過變量替換、四則運算、逐項求導(dǎo)或逐項積分等方法，得到函數(shù)的冪級數(shù)展開式。6、傅里葉級數(shù)的收斂定理說明：上述結(jié)論同樣適用l=的情形。二、重點、難點、易錯點解析1、絕對收斂判別法判別級數(shù)斂散性問題若正項級數(shù)收斂,則級數(shù)絕對收斂，當然收斂.若正項級數(shù)發(fā)散,級數(shù)一定發(fā)散.但是如果用比值法（根值法）判別級數(shù)發(fā)散,則級數(shù)一定發(fā)散.2、冪級數(shù)收斂點（發(fā)散點）的分布律（Abel定理）3、缺項冪級數(shù)的收斂半徑求法4、滿足收斂定理條件的以2l為周期的函數(shù)f(x)與其傅里葉展式的和函數(shù)S(x)的關(guān)系三、常見的題型分析1、常數(shù)項級數(shù)斂散性的判別（包括絕對收斂與條件收斂性）.2、求冪級數(shù)的收斂半徑、收斂域.3、求冪級數(shù)的和函數(shù).4、把函數(shù)展開成冪級數(shù).5、傅里葉級數(shù)的收斂定理.6、確定傅里葉展開式中指定項的傅里葉系數(shù).7、把函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)（包括正余弦級數(shù)）.典型例題例1：設(shè)求解：例2：設(shè)求解：例3：設(shè)求解：例4：設(shè)是由方程解：兩邊取全微分所確定的二元函數(shù)，求整理并解得例4：設(shè)是由方程解：兩邊取全微分所確定的二元函數(shù)，求整理并解得例5：曲線在點（A）xoy

面；（B）yoz

面；（C）zox

面；的切線一定平行于（）。（D）平面解：取C例6：求曲面上同時垂直于平面與平面解：取的切平面方程。設(shè)切點為例7：在橢球面上，求距離平面的最近點和最遠點。解：設(shè)(x,y,z)

為橢球面上任意一點則該點到平面的距離為問題1：在約束條件下，求距離d

的最大最小值。由于d

中含有絕對值，為便于計算，考慮將問題1轉(zhuǎn)化為下面的等價問題問題2：在條件下，求函數(shù)的最大最小值。問題1：在約束條件下，求距離d

的最大最小值。（1）作拉格朗日函數(shù)（2）聯(lián)解方程組（1）作拉格朗日函數(shù)（2）聯(lián)解方程組求得兩個駐點：對應(yīng)的距離為例1：在橢球面上，求距離平面的最近點和最遠點。解：問題1：在約束條件下，求距離d

的最大最小值。求得兩個駐點：對應(yīng)的距離為（3）判斷：由于駐點只有兩個，且由題意知最近距離和最遠距離均存在。所以最近距離為最遠距離為答案:例9：試證：例10:計算由直線y=x

及曲線所圍平面區(qū)域。利用對稱性和被積函數(shù)的奇偶性計算二、三重積分；在二重、三重積分的計算過程中，要注意對稱性。例5：計算其中D

由直線y=x,y=1,及x=1所圍平面區(qū)域三重積分在直角坐標系中“先二后一”的計算方法；例12：提示：再對用“先二后一”的方法計算，并用對稱性給出另外兩項的結(jié)果。例13：提示：利用對稱性、被積函數(shù)奇偶性及“先二后一”法（5）利用柱面坐標計算三重積分例14：繞z

軸旋轉(zhuǎn)一周而成曲面與平面z=8所圍空間立體例15：設(shè)橢球面

的表面積為a，則20a提示：利用曲面方程及對稱性例16：設(shè)則提示：利用曲線方程及對稱性0例3：提示：利用高斯公式及橢球體的體積。例17：設(shè)f(x)在(0,+)上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，L是由點提示：利用積分與路徑無關(guān)，并取新路徑：A(1,2)到點B(2,8)的直線段，計算（30）例18：計算由拋物面與圓柱面及坐標面在第一卦限中所圍曲面外側(cè)。提示：利用高斯公式及（三重積分）柱面坐標例19：計算再由坐標原點沿x

軸到B(2,0)。解：其中，L為由點A(1,1)沿曲線到坐標原點，分析：應(yīng)用格林公式補充：例20：若冪級數(shù)在x=-2處收斂，則此冪級數(shù)在x=5

處（

）