第2課時(shí)指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用關(guān)鍵能力探究探究點(diǎn)一利用單調(diào)性求解簡單的不等式【典例1】(1)已知:23-2x<,求x的取值范圍.(2)若x1,x2為方程2x=的兩個(gè)實(shí)數(shù)解,求x1+x2.【思維導(dǎo)引】轉(zhuǎn)化成代數(shù)不等式求解.【解析】(1)因?yàn)?3-2x<,所以3-2x<4-3x2,解得<x<1.(2)2x=?x=-1?x2+x-1=0?x1+x2=-1.【類題通法】解指數(shù)不等式的方法指數(shù)不等式是指數(shù)中含有未知數(shù)的不等式.主要有以下類型:af(x)>ag(x)或af(x)<ag(x).解法:af(x)>ag(x)?或af(x)<ag(x)?或【定向訓(xùn)練】不等式≥1的解集為________.

【解析】原不等式變形為:,因?yàn)?lt;1,所以≤0,同解變形為解得:<x≤1,所以原不等式的解集為.答案:

探究點(diǎn)二求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間【典例2】求復(fù)合函數(shù)y=的單調(diào)區(qū)間.【思維導(dǎo)引】按照復(fù)合函數(shù)“同增異減”的方法求解.【解析】令u=x2-2x,則原函數(shù)變?yōu)閥=,因?yàn)閡=x2-2x=(x-1)2-1在(-∞,1]上單調(diào)遞減,在[1,+∞)上單調(diào)遞增,且y=在R上是減函數(shù),所以y=在(-∞,1]上單調(diào)遞增,在[1,+∞)上單調(diào)遞減,即y=的單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞,1],單調(diào)遞減區(qū)間是[1,+∞).【類題通法】復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法(1)研究y=af(x)型單調(diào)區(qū)間時(shí),當(dāng)a>1時(shí),y=af(x)與f(x)單調(diào)性相同;0<a<1時(shí),y=af(x)與f(x)單調(diào)性相反.(2)研究y=f(ax)型單調(diào)區(qū)間時(shí),要注意ax屬于f(u)的增區(qū)間還是減區(qū)間,其中u=ax.【定向訓(xùn)練】求函數(shù)y=的單調(diào)區(qū)間.【解析】令t=x2-4x+3,則y=3t.①當(dāng)x∈[2,+∞)時(shí),t=x2-4x+3單調(diào)遞增,而y=3t在R上是增函數(shù),故y=的單調(diào)遞增區(qū)間是[2,+∞).②當(dāng)x∈(-∞,2]時(shí),t=x2-4x+3單調(diào)遞減,而y=3t在R上是增函數(shù),故y=的單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,2].探究點(diǎn)三指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用【典例3】已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)=.(1)求a,b的值.(2)判斷并證明f(x)在R上的單調(diào)性.(3)求該函數(shù)的值域.【思維導(dǎo)引】(1)利用奇函數(shù)的定義列出a,b的方程組,求解a,b的值.(2)利用增函數(shù)、減函數(shù)的定義去判斷.(3)采用恰當(dāng)?shù)姆椒▽⒎质叫秃瘮?shù)變形為只有分子(或分母)含有未知數(shù)的形式更容易求值域.【解析】(1)因?yàn)閒(x)是R上的奇函數(shù),所以即解得(2)f(x)在R上是增函數(shù),證明如下:由(1)知f(x)=.設(shè)x1,x2∈R,且x1<x2,則f(x1)-f(x2)=因?yàn)閥=2x是R上的增函數(shù),且x1<x2,所以<0.又因?yàn)?+1)(+1)>0,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),所以f(x)在R上是增函數(shù).(3)f(x)=由2x>0,得2x+1>1,所以0<<2,所以-1<1-<1,即-1<f(x)<1,所以函數(shù)f(x)的值域?yàn)?-1,1).【類題通法】1.形如y=f(ax)(a>0,且a≠1)的函數(shù)的單調(diào)性的求法(1)定義法,即“取值—作差—變形—定號(hào)”.其中,在定號(hào)過程中需要用到指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性.(2)利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的規(guī)律來判斷.一般用換元法即可,但應(yīng)注意在變量的值域和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的雙重作用下,函數(shù)值域的變化情況.(1)堅(jiān)持“定義域優(yōu)先”的原則:如果定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱,可立刻判定此函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).(2)正確利用變形技巧:耐心分析f(x)和f(-x)的關(guān)系,必要時(shí)可利用f(x)±f(-x)=0來判定.(3)巧用圖象的特征:在解答有圖象信息的選擇、填空題時(shí),可根據(jù)奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱,偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱,進(jìn)行快速判定.【定向訓(xùn)練】已知函數(shù)f(x)=ex+a·e-x,x∈R.(1)當(dāng)a=1時(shí),證明:f(x)為偶函數(shù).(2)若f(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【解析】(1)當(dāng)a=1時(shí),f(x)=ex+e-x,定義域(-∞,+∞)關(guān)于原點(diǎn)對稱,而f(-x)=e-x+ex=f(x),所以f(x)為偶函數(shù).(2)設(shè)x1,x2∈[0,+∞)且x1<x2,則f(x1)-f(x2)=因?yàn)閤1<x2,函數(shù)y=ex為增函數(shù),所以又f(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增,所以f(x1)<f(x2),故f(x1)-f(x2)<0,所以-a>0恒成立,即a<對任意的0≤x1<x2恒成立,所以a≤1,故實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-∞,1].【課堂小結(jié)】課堂素養(yǎng)達(dá)標(biāo)2x-1=3的解為 ()【解析】2x-1=3,即32(2x-1)=,所以4x-2=,所以x=.2.若指數(shù)函數(shù)f(x)=ax的圖象過點(diǎn)(2,4),則滿足a2x+1<a3-2x的x的取值范圍是 ()A.x< B.x> C.x>2 D.x<2【解析】選A.因?yàn)閒(2)=4,所以a2=4,所以a=2(a=-2舍),所以22x+1<23-2x,所以2x+1<3-2x,所以x<.3.已知函數(shù)f(x)=+a為奇函數(shù),則a=________.

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù),所以f(0)=0,即+a=0,所以a=.答案:

4.已知函數(shù)f(x)=(1)若a=-1,求f(x)的單調(diào)區(qū)間.(2)若f(x)的最大值為3,求a的值.【解析】(1)當(dāng)a=-1時(shí),f(x)=,令g(x)=-x2-4x+3,由于g(x)在(-∞,-2]上單調(diào)遞增,在[-2,+∞)上單調(diào)遞減,而y=在R上單調(diào)遞減,所以f(x)在(-∞,-2]上單調(diào)遞減,在[-2,+∞)上單調(diào)遞增,即函