軸對稱第十三章知識點1：軸對稱和軸對稱圖形

1．下列交通標(biāo)志中，是軸對稱圖形的是（）

ABCDC2．如圖，如果直線l是多邊形ABCDE的對稱軸，其中∠A＝120°，∠C＝110°，那么∠CDE的度數(shù)等于（）

A．40° B．60°

C．70° D．80°

D3．如圖，△ABC和△ADE關(guān)于直線MN對稱，則下列結(jié)論中不正確的是（）

A．△ABC和△ADE周長相等

B．△ABC和△ADE面積相等

C．∠DAC＝∠BAE

D．直線MN平分DE

D知識點2：關(guān)于x軸、y軸對稱的點的坐標(biāo)

4．點（－1，2）關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo)是（）

A．（1，2） B．（1，－2）

C．（－1，－2） D．（2，－1）

5．點P（3，4）關(guān)于y軸對稱的點的坐標(biāo)是（）

A．（3，－4） B．（－3，4）

C．（－4，－3） D．（－4，3）

CB6．已知點P1（a＋1，4）和P2（2，b）關(guān)于y軸對稱，則a－b的值為（）

A．－7 B．－1 C．1 D．5

A知識點3：線段的垂直平分線的性質(zhì)

7．如圖，△ABC中，DE是AC的垂直平分線，AE＝10，△ABD的周長是40，則△ABC的周長是（）

A．70 B．60

C．50 D．40

B8．如圖，△ABC中，∠B＝35°，∠BAC的平分線AD交BC于點D，若DE垂直平分AB，則∠C的度數(shù)為（）

A．80° B．75°

C．65° D．60°

9．如圖，在△ABC中，AB、AC的垂直平分線分別交BC于點E、F，若∠BAC＝110°，則∠EAF為

（）

A．35° B．40°

C．45° D．50°

BB知識點4：等腰三角形的性質(zhì)

10．如圖，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，下列結(jié)論中不正確的是（）

A．D是BC中點B．AD

平分∠BAC

C．AB＝2BDD．∠B＝∠C

C11．如圖，在△ABC中，AD＝BD＝AC，∠B＝25°，則∠DAC為（）

A．70° B．75°

C．80° D．85°

12．如圖，在△ABC中，AC＝BC，D、E分別是AB、AC上一點，且AD＝AE，連接DE并延長交BC的延長線于點F，若DF＝BD，則∠A的度數(shù)為（）

A．30 B．36

C．45 D．72

CA13．如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，M是AD上一點，且AM＝DM，BM＝CM.

求證：△ABM≌△DCM.

∵AD∥BC，∴∠AMB＝∠MBC，∠DMC＝∠MCB，∵BM＝CM，∴∠MBC＝∠MCB，∴∠AMB＝∠DMC，在△ABM和△DCM中，

，∴△ABM≌△DCM.14．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，BC＝CD，BE⊥CD于E.

求證：AD＝ED.

∵AD∥BC，∴∠BDA＝∠DBC，∵BC＝CD，∴∠DBC＝∠BDE，∴∠BDA＝∠BDE，又AB⊥AD，BE⊥CD，∴∠A＝∠BED＝90°，在△ABD和△EBD中，

，∴△ABD≌△EBD，∴AD＝ED.15.如圖，△ABC中，AD⊥BC于D，AD＝CD，E是AD上一點，BD＝DE.

（1）求證：AB＝CE；

（2）若∠ACE＝20°，求∠BAD的度數(shù)．

(1)∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠CDE＝90°，在△ABD和△CED中，

，∴△ABD≌△CED，∴AB＝CE.（2）若∠ACE＝20°，求∠BAD的度數(shù)．

(2)在Rt△ACD中，∵AD＝CD，∴∠DCA＝∠DAC＝45°，∴∠ECD＝∠ACD－∠ACE＝25°，由(1)得△ABD≌△CED，∴∠BAD＝∠ECD＝25°.知識點5：等腰三角形的判定

16．如圖，已知AC⊥BC，BD⊥AD，

AC與BD交于O，AC＝BD.

求證：△OAB是等腰三角形．

∵AC⊥BC，BD⊥AD，∴∠ADB＝∠BCA＝Rt∠，在Rt△ABD和Rt△BAC中，

，∴Rt△ABD≌Rt△BAC，∴∠ABD＝∠BAC，∴OA＝OB，∴△OAB是等腰三角形．17．長方形具有對邊平行的特征，將長方形ABCD按如圖所示折疊．

（1）若∠FEC＝64°，求∠1的度數(shù)；

（2）求證：△EFG是等腰三角形．

(1)由折疊得∠GEF＝∠CEF＝64°，∴∠GEB＝52°，∵AD∥BC，∴∠1＝∠GEB＝52°.(2)由折疊得∠GEF＝∠CEF，∵AD∥BC，∴∠GFE＝∠CEF，∴∠GEF＝∠GFE，∴EG＝FG，∴△EFG是等腰三角形．18．如圖，AB∥CD，E是BC的中點，DE平分∠ADC，延長DE交AB的延長線于F.

（1）求證：△BFE≌△CDE；

（2）求證：AE⊥DF.

(1)∵AB∥CD，∴∠F＝∠CDE，在△BFE和R△CDE中，

，∴△BFE≌△CDE.（2）求證：AE⊥DF.

(2)∵AB∥CD，∴∠F＝∠CDE，∵DE平分∠ADC，∴∠CDE＝∠ADF，∴∠F＝∠ADF，∴AD＝AF，由(1)得△BFE≌△CDE，∴DE＝FE，∴AE⊥DF.19．如圖，△ABC中，AB＝AC，延長BC至D，使CD＝BC，點E在邊AC上，EF∥BD，CF∥AB，連接BF、DE.求證：（1）CE＝CF；（2）BF＝DE.

(1)∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵CF∥AB，∴∠ABC＝∠FCD，∴∠ACB＝∠FCD，又∵EF∥BD，∴∠CEF＝∠ACB，∠CFE＝∠FCD，∴∠CEF＝∠CFE，∴CE＝CF.（2）BF＝DE.

(2)由(1)得∠ACB＝∠FCD，∴∠BCF＝∠DCE，在△BCF和△DCE中，

，∴△BCF≌△DCE，∴BF＝DE.知識點6：等邊三角形的性質(zhì)

20．如圖，△ABC是等邊三角形，BD是AC邊上的高，延長BC至E，使DB＝DE.

（1）求∠BDE的度數(shù)；

（2）求證：△CED為等腰三角形．

(1)∵DB＝DE，∴∠E＝∠DBE，∵△ABC是等邊三角形，∴∠ACB＝∠ABC＝60°，∵△ABC是等邊三角形，BD是高，∴∠DBC＝30°，∴∠E＝∠DBE＝30°，∴∠BDE＝120°；（2）求證：△CED為等腰三角形．

(2)∵∠ACB＝60°，∠E＝30°，∴∠CDE＝∠ACB－∠E＝30°，∴∠CDE＝∠E，∴CD＝CE，∴△CED是等腰三角形．21．已知：如圖，△ABC是等邊三角形，D、E分別是BC、CA上的點，且BD＝CE.

（1）求證：AD＝BE；

（2）求∠AFE的度數(shù)．

(1)∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠C，在△ABD和△BCE中，

，∴△ABD≌△BCE，∴AD＝BE；（2）求∠AFE的度數(shù)．

(2)由(1)得△ABD≌△BCE，∴∠BAD＝∠CBE，∴∠AFE＝∠ABF＋∠BAD＝∠ABF＋∠CBE＝∠ABC＝60°.22．如圖，△ABC是等邊三角形，D為邊BA延長線上一點，連接CD，以CD為一邊作等邊△CDE，連接AE.（1）求證：△ACE≌△BCD；

（2）求證：AE∥BC.

(1)∵△ABC與△CDE為等邊三角形，∴BC＝AC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB＋∠ACD＝∠DCE＋∠ACD，即∠BCD＝∠ACE，在△ACE和△BCD中，

，∴△ACE≌△BCD；（2）求證：AE∥BC.

(2)由(1)得△ACE≌△BCD，∴∠EAC＝∠B，∵∠B＝∠ACB，∴∠EAC＝∠ACB，∴AE∥BC.知識點7：等邊三角形的判定

23．如圖，點P在等邊△ABC內(nèi)，點D在△ABC外，且∠ABP＝∠ACD，BP＝CD.

（1）求證：△ABP≌△ACD；

（2）求證：△APD是等邊三角形．

(1)∵△ABC為等邊三角形，∴AB＝AC.在△ABP與△ACD中，

，∴△ABP≌△ACD(SAS).（2）求證：△APD是等邊三角形．

(2)由(1)得△ABP≌△ACD，∴AP＝AD，∠BAP＝∠CAD.∴∠PAD＝∠PAC＋∠CAD＝∠PAC＋∠BAP＝∠BAC＝60°，∴△APD是等邊三角形．24．在等邊三角形ABC中，點E在AB上，點D在CB的延長線上，且AE＝BD，

（1）當(dāng)點E為AB的中點時，

如圖1，求證：EC＝ED；

(1)在等邊△ABC中，AB＝BC＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°，∵E為AB中點，∴AE＝EB＝BD，∴∠ECB＝

∠ACB＝30°，∠EDB＝∠DEB＝

∠ABC＝30°，∴∠EDB＝∠ECB，∴EC＝ED；（2）當(dāng)點E不是AB的中點時，如圖2，過點E作EF∥BC交AC于點F，

求證：△AEF是等邊三角形；

(2)∵EF∥BC，∴∠AEF＝∠ABC＝60°，∠AFE＝∠C＝60°，∴∠A＝∠AEF＝∠AFE，∴△AEF為等邊三角形；（3）在第（2）小題的條件下，EC與ED還相等嗎，請說明理由．(3)EC＝ED；理