等差數(shù)列及應(yīng)用一些概念：數(shù)列：按一定順序排成的一列數(shù)(有限數(shù)列或無限數(shù)列).比如1.2.3.4.5……或1.3.5.2.6.4……或1.1.1.1.1等.項：數(shù)列中的每個數(shù)都稱為項.首項：數(shù)列中的第一項.末項：數(shù)列中的最后一項.項數(shù)：數(shù)列中共有的項的個數(shù).等差數(shù)列：如果一個數(shù)列從第二項起,每一項與它前一項的差等于同一個常數(shù),那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列.等差數(shù)列特點:(1)任意相鄰兩項的差都相等,這個差叫做公差.(2)這個公差是唯一的,是個常數(shù).常用公式：公式符號說明:sn表示等差數(shù)列的總和.a1表示等差數(shù)列的首項.an表示等差數(shù)列的末項.d表示等差數(shù)列的公差.n表示等差數(shù)列的項數(shù).等差數(shù)列的總和=(首項+末項)×項數(shù)÷2

即sn=(a1+an)×n÷2.項數(shù)=(末項-首項)÷公差+1

即n=(an-a1)÷d+1末項=首項+公差(項數(shù)-1)即an=a1+(n-1)×d首項=末項-公差(項數(shù)-1)即a1=an-(n-1)×d公差=(末項-首項)÷(項數(shù)-1)

即d=(an-a1)÷(n-1)等差數(shù)列(奇數(shù)個數(shù))的總和=中間項×項數(shù)常見問題：(1)找規(guī)律題,求出數(shù)列中某一項.(2)會求數(shù)列中某些項的和.(3)會判斷一個數(shù)列是不是等差數(shù)列.例1

判斷下列數(shù)列是不是等差數(shù)列(1)1,2,1,2,1,2……(2)1,2,4,6,8,10……(3)1,2,1,2,1,2,1.(4)1,1,1,1,1……(5)a,a,a,a,a…...(6)a,a,a,a,a.(7)3,7,11……(8)3,7,11,15,19.分析(1)不是(2)不是(3)不是(4)是,公差為0.(5)是公差為0.(6)是公差為0.(7)是,公差為11-3=4.(8)是,公差為4.說明：判斷一個數(shù)列是否為等差數(shù)列,應(yīng)嚴格依照等差數(shù)列的定義來進行例2(1):等差數(shù)列0,3,6……的第45項是多少？(2):等差數(shù)列0,3,6……的第n項是多少？(3):已知等差數(shù)列0,3,6……,問45是這個數(shù)列的第幾項？分析:(1)很顯然這個等差數(shù)列的公差是3-0=3.所以結(jié)果為：0+(45-1)×3=44×3=11×12=132

(2)與(1)類似,結(jié)果為：0+(n-1)×3=3×n-3.(3)0+(n-1)×3=45解得：n=16.說明：這種類型的題考察的是對公式的靈活應(yīng)用.熟練掌握等差數(shù)列中首項、末項、公差、總和、項

數(shù)的關(guān)系.即知三求五例3計算下面各題(1)3+7+11+……+99(2)2+5+8+…+23+26+29(3)(2+4+…+100)-(1+3+…+99)分析：(1)易看出這組加數(shù)組成的數(shù)列是等差數(shù)列.公差是4,首項是3,末項是99,但是項數(shù)不易看出.如何求？

由關(guān)系：末項=首項+公差×(項數(shù)-1)得到：項數(shù)=(末項-首項)÷公差+1

項數(shù)=(99-3)÷4+1=25原式=(3+99)×25÷2=1275(2)項數(shù)=(29-2)÷3+1=10原式=(2+29)×10÷2=155(3)法一：同(1)和(2)解法一樣法二：原式=(2-1)+(4-3)+…(100-99)=50

行程問題行程問題的簡單認識：

行程問題是反映物體勻速運動的應(yīng)用題.行程問題涉及的變化較多,有的涉及一個物體的運動,有的涉及兩個物體的運動,有的涉及三個物體的運動.涉及兩個物體運動的,又有“相向運動”（相遇問題）、“同向運動”（追及問題）和“相背運動”（相離問題）三種情況.但歸納起來,不管是“一個物體的運動”還是“兩個物體的運動”,不管是“相向運動”、“同向運動”,還是“相背運動”,他們的特點是一樣的,具體地說,就是它們反映出來的數(shù)量關(guān)系是相同的,都可以歸納為:速度×?xí)r間=路程。

相向而行的公式：相遇時間=距離÷速度和（甲的速度×?xí)r間+乙的速度×?xí)r間=距離）。相背而行的公式：相背距離=速度和×?xí)r間。（甲的速度×?xí)r間+乙的速度×?xí)r間=相背距離）同向而行的公式：（速度慢的在前，快的在后）追及時間=追及距離÷速度差。若在環(huán)形跑道上,（速度快的在前，慢的在后）追及距離=速度差×?xí)r間。追及距離÷時間=速度差基本公式：距離=速度×?xí)r間速度=距離÷時間時間=距離÷速度行程問題類型：

1.流水行船問題2.環(huán)形路上的多次相遇問題3.電梯問題4.發(fā)車問題5.接送問題6.追及問題7.相遇問題8.過橋問題

解答問題時的注意事項：

(1)必須弄清楚物體運動的具體情況,如運動的方向(相向，相背，同向),出發(fā)的時間(同時,不同時),出發(fā)的地點(同地，不同地),運動的結(jié)果(相遇、相距多少、交錯而過、追擊).(2)如果兩人同時出發(fā),那么他們所用的時間是相等的.(3)行程問題是“速度”問題.(4)盡可能采用作線段圖的方法,正確反映數(shù)量之間變化關(guān)系,幫助分析思考.

數(shù)形結(jié)合思想

(5)碰到綜合性問題可先把綜合問題分解成幾個單一問題，然后逐個解決.(6)關(guān)鍵確定行程過程中的關(guān)系相遇與背離問題相遇(背離)路程÷速度和=時間相遇(背離)路程÷時間=速度和時間×速度和=相遇(背離)路程

追擊問題

追及時間=路程差÷速度差速度差=路程差÷追及時間追及時間×速度差=路程差

(7)環(huán)形跑道上的距離是圓的周長(8)靈活思考,有時整體思考問題.例1小王騎車到城里開會,以每小時12千米的速度行駛.2小時可以到達,車行了15分鐘后,發(fā)現(xiàn)忘記帶文件,以原速度返回原地,這時他每小時行多少千米才能按時到達？

分析：發(fā)現(xiàn)是一個物體的運動,所以只需考慮基本公式即可.所要求的是速度,所以考慮速度=路程÷時間所以只要找出路程、時間

路程=12×2=24(千米)時間=2-2×1/4=3/2(千米)速度=路程÷時間=24÷3/2=16(千米/小時)例2甲、乙兩輛汽車同時分別從A、B兩站相對開出.第一次在甲車離A站90千米處相遇.相遇后兩車繼續(xù)以原速前進,到達目的地后又立刻返回.第二次相遇在離A站50千米處.求A、B兩站之間的路程.

A、150千米B、160千米C、180千米D、200千米

分析:讀完題要提取的信息是:兩個物體運動,運動方向:相對運動,運動結(jié)果:相遇,出發(fā)時間:同時,運動地點:不同地.但與前一題不同的是:此題沒有提到時間(甲與乙相同)與速度,所以用公式很難進行.轉(zhuǎn)化思路:找與全程有關(guān)的量,甲、乙兩輛汽車同時從A、B兩站相對開出到第二次相遇共行了3個全程。由于兩車合行一個全程時，甲車行90千米。在兩車兩次相遇的三個全程中，甲車共行了90×3=270(千米)，這時離A站正好有50千米，加上50即為兩個全程270+50=320(千米)。所以A、B兩站之間的路程是320÷2=160(千米)。答案選擇B例3小明坐在公交車上看到姐姐向相反的方向走，1分鐘后小明下車向姐姐追去，如果他的速度比姐姐快1倍，汽車速度是小明步行的5倍，小明要多少分鐘才能追上姐姐？（）A、5.5B、10C、11D、20分析:提取到的信息:三個物體運動:小明、姐姐、汽車.運動方向:姐姐與汽車反向,小明與姐姐同向.運動時間:不同時.整個運動過程分成兩段，第一段是姐姐和汽車（小明在汽車上）做背離運動，第二段是小明下車追姐姐（是追及問題）。