人教A版高中數學必修第一冊3.1.2函數的表示法教學設計教材：人教A版高中數學必修第一冊課題：3.1.2函數的表示法一、內容和內容解析1.內容?在初中已經接觸過函數的三種表示法——解析法、列表法和圖象法的基礎上，明確三種表示法各自的特點；通過例題引出分段函數，滲透研究分段函數的一般思想方法.2.內容解析(1).對于函數，常用的表示法有解析法、列表法和圖象法，其中解析法和圖象法在后續的研究中起著非常重要的作用.(2)蘊含的數學思想和方法：函數的三種表示法之間的轉化蘊含了數形結合思想，分段函數的研究蘊含了分類討論思想.(3)知識的上下位關系：本節內容上承前面兩個課時所學的“函數概念”，在充分認識函數定義和函數三要素的基礎上，研究函數的表示法，給學生提供了一個從兩個變量之間的依賴關系、兩個實數集合之間的對應關系、函數圖象的幾何直觀等多個角度認識函數概念的機會,有利于學生在數學表達與抽象定義之間建立聯系，全面理解y=f(x)中f的意義.本節課的兩個例題都突出了圖象表示函數的直觀性，為后續利用圖像解決問題打下基礎.(4)育人價值：函數的解析式與圖象的綜合使用是向學生滲透數形結合，培養學生直觀想象素養很好的載體；分段函數的研究是向學生滲透分類討論，培養邏輯推理和數學運算素養很好的契機.(5)教學重點：引導學生歸納不同表示法各自的特點，使學生面對數學問題時，會根據不同的需要選擇恰當的方法（解析法、列表法、圖象法）表示函數.二、目標和目標解析1.目標(1)要選擇恰當的方法表示函數，發展數學抽象素養;(2)推理素養;1人教A版高中數學必修第一冊3.1.2函數的表示法教學設計（2課時）(3)經歷圖象（形）與解析式（數）的綜合使用，加強學生的數形結合觀念和直觀想象能力.2.目標解析達成上述目標的標志是：(1)面對實際情境時，會根據不同的需要選擇恰當的方法表示函數;(2)能從圖象和解析式兩個角度分別研究分段函數;(3)能根據解析式畫函數圖象，也能利用圖象理解解析式.三、教學問題診斷分析學生初中雖然學過函數的三種常用表示法，但是對于函數的認識多局限在一次函數、二次函數和反比例函數，對于這三種表示法各自的特點并沒有系統認識,尤其對于函數圖象的認識是非常狹隘的，重新認識函數圖象是教學的第一個難點.此外，學生對于分段函數整體性的理解，是教學的第二個難點.教學難點：函數圖像的認識，分段函數概念的理解.四、教學支持條件分析幫助學生整理歸納不同表示法的特點.此外，本節課中函數圖象貫穿始末，可以借助幾何畫板繪制精美的函數圖象，有助于學生感受圖象的直觀性.五、教學過程設計引導語：前面我們學習了函數的概念，我們知道函數是兩個非空數集間一種特殊的對應關系,我們常用抽象符號f來統一表示.但是，為了進一步研究函數的性質和應用，我們還需要深入學習函數的具體表示方法.（一）整理舊知，鋪墊新課問題1：請同學們回顧一下，初中，我們學習的函數表示法有哪些？師生活動：先由學生獨立思考并作答，師生幫助一起完善并配以3.1.1的具體實例.（1）解析法：就是用數學表達式表示兩個變量之間的對應關系.如教科書3.1.1中的問題1;（2）列表法：就是列出表格來表示兩個變量之間的對應關系.如教科書3.1.1中的問題4;（3）圖象法：就是用圖象表示兩個變量之間的對應關系.如教科書3.1.1中的問題3.設計意圖：通過復習初中所學函數的表示方法，回顧3.1.1中的具體實例，引入本節新課，體現知識間的聯系性和整體性.2人教A版高中數學必修第一冊3.1.2函數的表示法教學設計（2課時）（二）體驗方法，感悟特點??問題2某種筆記本的單價是5元，買x(x∈{1,2,,3,4,5})個筆記本需要y元.你能表示出函數y=f(x)嗎？師生活動：學生自主選擇合適的方法對函數進行表示，然后在小組內部交流，進行修正和完善.教師展示學生中有代表性的答案，注意強調“研究函數，先看定義域”，尤其注意函數圖象為五個離散的點.???設計意圖:讓學生回憶并熟悉三種表示法的具體呈現過程，并再次強調定義域的作用，使學生進一步理解函數的三種表示方法，建構自己的知識體系.追問1：相比于初中學過的函數圖象，你對函數的圖象有什么新的認識？學生對比初中一次函數、二次函數等函數的圖像，重新認識函數的圖象：函數圖像既可以是連續的曲線（或直線），也可以是離散的點.追問2：(教師調整散點的位置，學生辨析是否仍然表示函數)判斷一個圖形是不是函數圖象的依據是什么？師生活動：組織學生根據函數的定義辨析函數的圖象.教師總結：對于一個圖形，若垂直于x軸的直.x軸的交點橫坐標屬于定義域，則直線與圖形有一個交點，反之，直線與圖形無交點.設計意圖：完善對函數圖象的認識,加深學生對函數概念的理解.追問3：綜合上面的解題過程，比較函數的三種表示法，它們各自的特點是什么？?師生活動：小組討論，總結歸納三種表示法各自的特點，最后與教師一起總結出結論：?表示法解析法列表法圖象法特點一是簡明、全面地概括了變量間的關系；二是可以通過解析式求出任意一個自變量的值所對應的函數值.不需要計算就可以直接看出與自變量的值相對應的函數值.直觀形象地表示自變量的變化，相應的函數值變化的趨勢，有利于我們研究函數的某些性質.設計意圖：讓學生總結歸納三種表示法各自的特點，明確了特征，才能靈活運用.（三）例題講解，強化認識3人教A版高中數學必修第一冊3.1.2函數的表示法教學設計（2課時）例1.畫出函數y=|x|的圖像.師生活動：教師出示問題后，先讓學生獨立思考，之后可引導學生對含有絕對值的函數y=|x|進行,這里的函數圖象是由兩條射線組成的一條折線，這是因為從解析式看，自變量取值在不同的范圍時，函數有不同的對應關系,引入分段函數概念.段函數形式.最后，總結思路:分別畫出每段的函數圖象，并注意端點的開閉即可.??.的轉化有助于加強學生數形結合觀念.追問：生活中，有很多可以用分段函數描述的實際問題，你可以舉出一些例子嗎？師生活動：學生獨立思考，列舉生活中與分段函數有關的實例.設計意圖：考查學生的理解、掌握的程度.加深學生對分段函數的理解，體會其普遍性與應用價值.??例2：給定函數f(x)=x+1,g(x)=(x+1),x∈R.(1)在同一直角坐標系中畫出函數f(x),g(x)的圖象;(2)?x∈R,用M(x)表示f(x),g(x)中的較大者，記為M(x)=max{f(x),g(x)}.例如，當x=1時，M(1)=max{f(1),g(1)}=max{2，4}=4.請分別用圖象法和解析法表示函數M(x).師生活動：給學生充分時間畫圖，有初中的基礎，學生基本都可畫出函數f(x),g(x)的圖象.然后給出第（2）問，并對函數M(x)做適當解讀：當x每取一個值時，f(x),g(x)各有唯一一個函數值與之對應，而M(x)對應的則是這兩個函數值中的較大者，由函數定義可知，M(x)是x的函數.引導學生從圖象上對f(x),g(x)M(x)的函數值,學生很自然地根據圖1得到圖2所示的函數M(x)利用圖象和解方程知識，學生即可順利求出M(x)的解析式.g(x)=(x+1)2f(x)=x+1M(x)人教A版高中數學必修第一冊3.1.2函數的表示法教學設計（2課時）圖1圖1圖2圖2追問：剛才我們首先研究了圖象，從圖象得出了解析式.那么，你還能用其他方法研究M(x)嗎？f(x),g(x)的大小關系進行分類討論，先得到M(x)的解析式，再根據解析式分段畫出M(x)的圖象.設計意圖：例2同時研究兩個函數，考察學生對新概念的分析理解能力，感受分段函數的另一種構造方式及其圖象和解析式的求法，加深對分段函數的理解與運用.兩種解題思路對比使用，滲透數形結合的思想.變式:給定函數f(x)=x+1,g(x)=(x+1),x∈R.?x∈R,用m(x)表示f(x),g(x)中的較小者，記為m(x)=min{f(x),g(x)}.你能用圖象法和解析法表示函數m(x)嗎？師生活動：學生自主完成，然后找代表分享思路與結果.有了例題的鋪墊，學生對函數m(x)的理解應比較到位，解決此問題會相對順利.設計意圖：創設類似的問題情境，檢驗學生對例2的掌握程度，加深學生對解題方法的理解.思考：所有函數都能用解析法表示嗎？列表法與圖象法呢？請舉出實例加以說明。先找學生代表回答.3.1.1的問題3、問題43.1.1的問題1不能用列表法表示；狄利克雷函數不能用圖象法表示.??設計意圖：突出三種方法各自的局限性，從而在處理實際問題時選擇合適的表示方法.（四）課堂小結教師引導學生回顧本節課的學習內容，并引導學生從以下幾個方面進行總結：（1）本節課我們是如何學習函數表示法的？請總結我們的學習過程.（2）函數的常用表示法有哪些？各有怎樣的特點？（3）本節課的學習過程體現了哪些數學思想?學生自主總結、交流分享，教師提煉概括：本節課我們首先梳理初中學過的三種常用的函數表示法，在此基礎上，我們實踐了函數的不同表示，體會了三種表示法各自的特點.特別地，我們發現函數的圖象既可以是連續的曲線、直線，還可以是折線、甚至是離散的點等.解題中我們還學習了一種新的函數,叫做分段函數...5人教A版高中數學必修第一冊3.1.2函數的表示法教學設計（2課時）（五）布置作業：(1)基礎性作業：教材第69頁練習1-3題,第73頁習題3.1第7，10題;(2)提高性作業：完成教材第73頁習題3.1第11-13題;談談你對函數圖像有什么新的認識？(3)探究性作業：請從生活中舉出一些函數的例子，并用合適的方式表示出來.六、目標檢測設計A組：適用普通高中學生1．下列三個圖形中，是函數圖象的是（??）（1）（2）（3）A．（1）（2）答案：B．B．（2）（3）C．（2）D．（3）x+2(x≤-1){22．設f(x)=x(-1<x<2)，2x(x≥2)（1）在下列直角坐標系中畫出f(x)的圖象；（2）若f(t)=3，求t的值．答案：（1）函數圖象略;（2）t=3.3．已知函數f(x)=x|x-m|(x∈R)，且f(1)=0．（1）求m的值，并用分段函數的形式來表示f(x)；（2）在平面直角坐標系內作出函數f(x)的圖象.2x-x(x≥1)答案：（1）m=1；f(x)=x|x-1|={（2）函數圖象略.